Малоугловое приближение

Упрощение основных тригонометрических функций

Примерно одинаковое поведение некоторых (тригонометрических) функций при x → 0

Малоугловые аппроксимации можно использовать для аппроксимации значений основных тригонометрических функций при условии, что рассматриваемый угол мал и измеряется в радианах :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}}$

Эти приближения имеют широкий спектр применения в областях физики и техники , включая механику , электромагнетизм , оптику , картографию , астрономию и информатику . ^{[1] [2]} Одна из причин этого заключается в том, что они могут значительно упростить дифференциальные уравнения , на которые не нужно отвечать с абсолютной точностью.

Существует несколько способов продемонстрировать справедливость малоугловых приближений. Самый прямой метод — усечь ряд Маклорена для каждой из тригонометрических функций. В зависимости от порядка аппроксимации аппроксимируется как или как . ^[3] ${\displaystyle \textstyle \cos \theta }$ ${\displaystyle 1}$ ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

Обоснования

Графика

Точность аппроксимации можно увидеть ниже на рисунках 1 и 2. Когда величина угла приближается к нулю, разница между аппроксимацией и исходной функцией также приближается к 0.

• 
  Рисунок 1. Сравнение основных нечетных тригонометрических функций с θ . Видно, что по мере приближения угла к 0 аппроксимации становятся лучше.
• 
  Рисунок 2. Сравнение cos θ с 1 —θ ²/2. Видно, что по мере приближения угла к 0 приближение становится лучше.

Геометрический

Красный участок справа, d , представляет собой разницу между длинами гипотенузы H и прилежащей стороны A. Как показано, H и A почти одинаковой длины, что означает, что cos θ близок к 1 иθ ²/2помогает убрать красный цвет.

$${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$$

Противоположный катет O примерно равен длине синей дуги s . Сбор фактов из геометрии, s = Aθ , из тригонометрии, sin θ =О/ЧАСи tan θ =О/А, а из рисунка O ≈ s и H ≈ A приводит к:

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$

Упрощение листьев,

$${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

Исчисление

Используя теорему о сжатии , ^[4] можно доказать, что

$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$$

θ ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$

Более внимательное применение теоремы о сжатии доказывает, что

$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$$

θ ${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }$

Наконец, правило Лопиталя говорит нам, что

$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$

θформулу двойного угла ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}$ ${\displaystyle \theta =2A}$ ${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

алгебраический

Малоугловое приближение для синусоидальной функции.

Разложение Маклорена (разложение Тейлора около 0) соответствующей тригонометрической функции имеет вид ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$$

θ

$${\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots }$$

Легко видеть, что второй по значимости член (третьего порядка) выпадает как куб первого члена; таким образом, даже для не такого уж маленького аргумента, такого как 0,01, значение второго наиболее значимого члена имеет порядок0,000 001 или1/10 000первый срок. Таким образом, можно безопасно аппроксимировать:

$${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$$

В более широком смысле, поскольку косинус небольшого угла очень близок к 1, а тангенс определяется как синус, разделенный на косинус,

$${\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta ,}$$

Двойные числа

Используя ряд Маклорена косинуса и синуса и подставляя его в θ=θε, где ε — это символ, используемый в двойных числах, часто считающихся похожими на бесконечно малую величину, с квадратом 0, в результате получается, что cos(θε)=1 и грех(θε)=θε. Эти приближения удовлетворяют тождеству Пифагора, поскольку cos²(θε)+sin²(θε)=1²+(θε)²=1+θ²ε²=1+θ²0=1.

Ошибка приближений

Рисунок 3. График относительных ошибок для малоугловых аппроксимаций.

На рис. 3 показаны относительные погрешности малоугловых аппроксимаций. Углы, при которых относительная погрешность превышает 1%, следующие:

• cos θ ≈ 1 при примерно 0,1408 радиан (8,07°)
• tan θ ≈ θ примерно на 0,1730 радиан (9,91 °)
• sin θ ≈ θ примерно при 0,2441 радиан (13,99°)
• потому что θ ≈ 1 -θ ²/2около 0,6620 радиан (37,93 °)

Сумма и разность углов

Теоремы сложения и вычитания углов сводятся к следующему, когда один из углов мал ( β ≈ 0):

Конкретное использование

Астрономия

В астрономии угловой размер или угол изображения удаленного объекта часто составляет всего несколько угловых секунд , поэтому он хорошо подходит для приближения малого угла. ^[6] Линейный размер ( D ) связан с угловым размером ( X ) и расстоянием от наблюдателя ( d ) по простой формуле:

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265}}}$

где X измеряется в угловых секундах.

Номер206 265 примерно равно количеству угловых секунд в круге (1 296 000 ), разделенный на 2π , или количество угловых секунд в 1 радиане.

Точная формула

${\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000}}\right)}$

и приведенное выше приближение следует, когда tan X заменяется на X .

Движение маятника

Приближение косинуса второго порядка особенно полезно при вычислении потенциальной энергии маятника , которую затем можно применить с помощью лагранжиана для нахождения косвенного (энергетического) уравнения движения.

При расчете периода простого маятника используется малоугловое приближение синуса, чтобы можно было легко решить полученное дифференциальное уравнение путем сравнения с дифференциальным уравнением, описывающим простое гармоническое движение .

Оптика

В оптике малоугловые приближения составляют основу параксиального приближения .

Волновая интерференция

Аппроксимации синусоидального и касательного малого угла используются в отношении эксперимента с двумя щелями или дифракционной решетки для упрощения уравнений, например, «расстояние между полосами» = «длина волны» × «расстояние от щели до экрана» ÷ «расстояние между щелями». ^[7]

Строительная механика

Приближение малого угла также появляется в строительной механике, особенно в анализе устойчивости и бифуркации (в основном для колонн с осевой нагрузкой, готовых подвергнуться потере устойчивости ). Это приводит к значительным упрощениям, хотя и за счет точности и понимания истинного поведения.

Пилотирование

Правило 1 из 60 , используемое в аэронавигации, основано на приближении малого угла, а также на том факте, что один радиан равен примерно 60 градусам.

Интерполяция

Формулы сложения и вычитания с небольшим углом можно использовать для интерполяции между значениями тригонометрической таблицы :

Пример: грех(0,755)

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Тощий треугольник
• Малые колебания маятника
• Параксиальное приближение
• Версинус и гаверсинус
• Эксекант и эксекант

Рекомендации

1. Холброу, Чарльз Х.; и другие. (2010), Современная вводная физика (2-е изд.), Springer Science & Business Media, стр. 30–32, ISBN 978-0387790794.
2. Плеша, Майкл; и другие. (2012), Инженерная механика: статика и динамика (2-е изд.), Высшее образование McGraw-Hill, стр. 12, ISBN 978-0077570613.
3. "Малоугловое приближение | Блестящая математическая и научная вики" . блестящий.орг . Проверено 22 июля 2020 г.
4. Ларсон, Рон; и другие. (2006), Исчисление одной переменной: ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Cengage Learning, стр. 85, ISBN 0618606254.
5. Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках . Уайли. п. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.
6. Грин, Робин М. (1985), Сферическая астрономия, Издательство Кембриджского университета, стр. 19, ISBN 0521317797.
7. «Щелевая интерференция».