Операд

Обобщение свойств ассоциативности

В математике операда — это структура, состоящая из абстрактных операций , каждая из которых имеет фиксированное конечное число входов (аргументов) и один выход, а также спецификацию того, как составить эти операции. При наличии операды определяется алгебра над как множество вместе с конкретными операциями на этом множестве, которые ведут себя точно так же, как абстрактные операции . Например, существует операда Ли, такая, что алгебры над являются в точности алгебрами Ли ; в некотором смысле абстрактно кодирует операции, которые являются общими для всех алгебр Ли. Операда относится к своим алгебрам так же, как группа относится к своим групповым представлениям . ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

История

Операды берут свое начало в алгебраической топологии ; они были введены для характеристики итерационных пространств циклов Дж . Майклом Бордманом и Райнером М. Фогтом в 1968 году ^{[1] [2]} и Дж. Питером Мэем в 1972 году ^[3].

Мартин Маркл, Стив Шнайдер и Джим Сташефф пишут в своей книге об операдах: ^[4]

«Название операда и формальное определение впервые появились в начале 1970-х годов в работе Дж. Питера Мэя «Геометрия пространств итерированных циклов», но годом или более ранее Бордман и Фогт описали ту же концепцию под названием категории операторов в стандартной форме , вдохновленные PROP и PACT Адамса и Маклейна. На самом деле, существует обилие предыстории. Вайбель [Вэй] указывает, что эта концепция впервые возникла столетие назад в «Трактате об универсальной алгебре» А. Н. Уайтхеда , опубликованном в 1898 году».

Слово «operad» было создано Мэем как гибрид слов «operations» (операция) и « monad » (монада) (а также потому, что его мать была оперной певицей). ^[5]

Интерес к операдам значительно возобновился в начале 90-х годов, когда, основываясь на ранних идеях Максима Концевича , Виктор Гинзбург и Михаил Капранов обнаружили, что некоторые явления двойственности в рациональной теории гомотопий можно объяснить с помощью двойственности Кошуля операд. ^{[6] [7]} С тех пор операды нашли множество применений, например, в деформационном квантовании пуассоновых многообразий , гипотезе Делиня ^[8] или гомологии графов в работах Максима Концевича и Томаса Вильвахера .

Интуиция

Предположим, что есть множество и для него мы определяем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle P(n):=\{f\colon X^{n}\to X\}}$,

множество всех функций из декартова произведения копий в . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Мы можем составить эти функции: учитывая , , функция ${\displaystyle f\in P(n)}$ ${\displaystyle f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})}$

${\displaystyle f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})}$

определяется следующим образом: учитывая аргументы из , мы делим их на блоки, первый из которых имеет аргументы , второй — аргументы и т. д., а затем применяем к первому блоку, ко второму блоку и т. д. Затем мы применяем к списку значений, полученному из таким образом. ${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

Мы также можем переставлять аргументы, т.е. у нас есть правое действие симметрической группы на , определяемое формулой ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle P(n)}$

${\displaystyle (f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})}$

для , и . ${\displaystyle f\in P(n)}$ ${\displaystyle s\in S_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$

Приведенное ниже определение симметричной операды отражает основные свойства этих двух операций и . ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle *}$

Определение

Несимметричная операда

Несимметричная операда (иногда называемая операдой без перестановок или не- ${\displaystyle \Sigma }$ или простой операдой) состоит из следующих частей:

• последовательность множеств, элементы которой называются -арными операциями , ${\displaystyle (P(n))_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n}$
• элемент , называемый идентичностью , ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P(1)}$
• для всех положительных целых чисел , , функция композиции ${\displaystyle n}$ ${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\circ :P(n)\times P(k_{1})\times \cdots \times P(k_{n})&\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto \theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}),\end{aligned}}}$

удовлетворяющий следующим аксиомам согласованности:

• личность : ${\displaystyle \theta \circ (1,\ldots ,1)=\theta =1\circ \theta }$
• ассоциативность :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \circ {\Big (}\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}}){\Big )}\\={}&{\Big (}\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}){\Big )}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}})\end{aligned}}}$

Симметричная операда

Симметричная операда (часто называемая просто операдой ) — это несимметричная операда, как указано выше, вместе с правым действием симметрической группы на для , обозначаемым и удовлетворяющим ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle *}$

• эквивариантность : если задана перестановка , ${\displaystyle t\in S_{n}}$

${\displaystyle (\theta *t)\circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})=(\theta \circ (\theta _{t(1)},\ldots ,\theta _{t(n)}))*t'}$

(где в правой части относится к элементу , который действует на множество, разбивая его на блоки, первый размером , второй размером , через -й блок размером , а затем переставляет эти блоки с помощью , сохраняя каждый блок нетронутым) ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$ ${\displaystyle \{1,2,\dots ,k_{1}+\dots +k_{n}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

и учитывая перестановки , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{i}\in S_{k_{i}}}$

${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1}*s_{1},\ldots ,\theta _{n}*s_{n})=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))*(s_{1},\ldots ,s_{n})}$

(где обозначает элемент , который переставляет первый из этих блоков на , второй на и т. д., сохраняя их общий порядок неизменным). ${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})}$ ${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$

Действия перестановки в этом определении жизненно важны для большинства приложений, включая исходное приложение к циклическим пространствам.

Морфизмы

Морфизм операд состоит из последовательности ${\displaystyle f:P\to Q}$

${\displaystyle (f_{n}:P(n)\to Q(n))_{n\in \mathbb {N} }}$

что:

• сохраняет идентичность: ${\displaystyle f(1)=1}$
• сохраняет композицию: для каждой n- арной операции и операций , ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$

${\displaystyle f(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ (f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))}$

• сохраняет действия перестановки: . ${\displaystyle f(x*s)=f(x)*s}$

Таким образом, операды образуют категорию , обозначаемую . ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}}$

В других категориях

До сих пор операды рассматривались только в категории множеств. В более общем смысле, можно определить операды в любой симметричной моноидальной категории C . В этом случае каждая из них является объектом C , композиция является морфизмом в C (где обозначает тензорное произведение моноидальной категории), а действия элементов симметричной группы задаются изоморфизмами в C . ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle P(n)\otimes P(k_{1})\otimes \cdots \otimes P(k_{n})\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})}$ ${\displaystyle \otimes }$

Типичным примером является категория топологических пространств и непрерывных отображений, где моноидальное произведение задается декартовым произведением . В этом случае топологическая операда задается последовательностью пространств (вместо множеств) . Структурные отображения операды (композиция и действия симметрических групп) затем предполагаются непрерывными. Результат называется топологической операдой . Аналогично, в определении морфизма операд необходимо предположить, что задействованные отображения непрерывны. ${\displaystyle \{P(n)\}_{n\geq 0}}$

Другие распространенные настройки для определения операд включают, например, модули над коммутативным кольцом , цепные комплексы , группоиды (или даже саму категорию категорий), коалгебры и т. д.

Алгебраистское определение

Для коммутативного кольца R рассмотрим категорию модулей над R. Операда над R может быть определена как моноидный объект в моноидальной категории эндофункторов на (она является монадой ), удовлетворяющий некоторому условию конечности. ^{[примечание 1]} ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$ ${\displaystyle (T,\gamma ,\eta )}$ ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$

Например, моноидный объект в категории «полиномиальных эндофункторов» на является операдой. ^[8] Аналогично, симметричная операда может быть определена как моноидный объект в категории -объектов , где означает симметричную группу. ^[9] Моноидный объект в категории комбинаторных видов является операдой в конечных множествах. ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$

Операда в указанном выше смысле иногда рассматривается как обобщенное кольцо . Например, Николай Дуров определяет свои обобщенные кольца как моноидные объекты в моноидальной категории эндофункторов, которые коммутируют с фильтрованными копределами. ^[10] Это обобщение кольца, поскольку каждое обычное кольцо R определяет монаду , которая отправляет множество X в базовое множество свободного R -модуля , порожденного X. ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle \Sigma _{R}:{\textbf {Set}}\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle R^{(X)}}$

Понимание аксиом

Аксиома ассоциативности

«Ассоциативность» означает, что композиция операций ассоциативна (функция ассоциативна), аналогично аксиоме в теории категорий, что ; это не означает, что сами операции ассоциативны как операции. Сравните с ассоциативной операдой ниже. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$

Ассоциативность в теории операд означает, что выражения могут быть записаны с использованием операций без неоднозначности из-за опущенных композиций, точно так же, как ассоциативность для операций позволяет записывать произведения без неоднозначности из-за опущенных скобок.

Например, если — это бинарная операция, которая записывается как или . Так что она может быть ассоциативной, а может и не быть. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta (a,b)}$ ${\displaystyle (ab)}$ ${\displaystyle \theta }$

Тогда то, что обычно записывается, однозначно записывается операционно как . Это отправляет в (применяется к первым двум, а тождество к третьему), а затем слева "умножается" на . Это становится понятнее, если изобразить это в виде дерева: ${\displaystyle ((ab)c)}$ ${\displaystyle \theta \circ (\theta ,1)}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle (ab,c)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle c}$

что дает 3-арную операцию:

Однако выражение априори неоднозначно : оно может означать , если сначала выполняются внутренние композиции, или оно может означать , если сначала выполняются внешние композиции (операции читаются справа налево). Запись , это против . То есть в дереве отсутствуют «вертикальные скобки»: ${\displaystyle (((ab)c)d)}$ ${\displaystyle \theta \circ ((\theta ,1)\circ ((\theta ,1),1))}$ ${\displaystyle (\theta \circ (\theta ,1))\circ ((\theta ,1),1)}$ ${\displaystyle x=\theta ,y=(\theta ,1),z=((\theta ,1),1)}$ ${\displaystyle x\circ (y\circ z)}$ ${\displaystyle (x\circ y)\circ z}$

Если сначала составляются две верхние строки операций (ставится восходящая скобка в строке; сначала выполняется внутренняя композиция), то получаются следующие результаты: ${\displaystyle (ab)c\ \ d}$

который затем оценивается однозначно, чтобы дать 4-арную операцию. Как аннотированное выражение:

${\displaystyle \theta _{(ab)c\cdot d}\circ ((\theta _{ab\cdot c},1_{d})\circ ((\theta _{a\cdot b},1_{c}),1_{d}))}$

Если сначала составляются две нижние строки операций (ставится нисходящая скобка в строке; сначала выполняется внешняя композиция), то получаются следующие результаты: ${\displaystyle ab\quad c\ \ d}$

что затем однозначно оценивается, давая 4-арную операцию:

Аксиома ассоциативности заключается в том, что они дают один и тот же результат , и, таким образом, выражение является однозначным. ${\displaystyle (((ab)c)d)}$

Аксиома тождества

Аксиому тождества (для бинарной операции) можно визуализировать в виде дерева следующим образом:

означает, что три полученные операции равны: пред- или пост-составление с тождеством не имеет значения. Что касается категорий, является следствием аксиомы тождества. ${\displaystyle 1\circ 1=1}$

Примеры

Эндоморфизм операд в множествах и операдных алгебрах

Самые основные операды приведены в разделе «Интуиция» выше. Для любого множества мы получаем эндоморфизм операда , состоящий из всех функций . Эти операды важны, поскольку они служат для определения алгебр операд . Если — операда, алгебра операд над задается множеством и морфизмом операд . Интуитивно такой морфизм превращает каждую «абстрактную» операцию над в «конкретную» -арную операцию над множеством . Таким образом, алгебра операд над состоит из множества вместе с конкретными операциями над , которые следуют правилам, абстрактно заданным операдой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{X}}$ ${\displaystyle X^{n}\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Эндоморфизм операд в векторных пространствах и операдных алгебрах

Если k — поле , мы можем рассмотреть категорию конечномерных векторных пространств над k ; это становится моноидальной категорией, использующей обычное тензорное произведение над k. Затем мы можем определить операды эндоморфизма в этой категории следующим образом. Пусть V — конечномерное векторное пространство. Операда эндоморфизма V состоит из ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}=\{{\mathcal {End}}_{V}(n)\}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$= пространство линейных отображений , ${\displaystyle V^{\otimes n}\to V}$
2. (состав) задан , , ..., , их состав задан картой , ${\displaystyle f\in {\mathcal {End}}_{V}(n)}$ ${\displaystyle g_{1}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{1})}$ ${\displaystyle g_{n}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{n})}$ ${\displaystyle V^{\otimes k_{1}}\otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_{n}}\ {\overset {g_{1}\otimes \cdots \otimes g_{n}}{\longrightarrow }}\ V^{\otimes n}\ {\overset {f}{\to }}\ V}$
3. (идентичность) Элемент идентичности — это карта идентичности , ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$
4. (симметричное групповое действие) действует путем перестановки компонентов тензоров в . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

Если является операдой, k -линейная алгебра операд над задается конечномерным векторным пространством V над k и морфизмом операд ; это равносильно заданию конкретных полилинейных операций на V , которые ведут себя как операции . (Обратите внимание на аналогию между операдами и алгебрами операд и кольцами и модулями: модуль над кольцом R задается абелевой группой M вместе с гомоморфизмом колец .) ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{V}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M)}$

В зависимости от приложений возможны вариации вышеизложенного: например, в алгебраической топологии вместо векторных пространств и тензорных произведений между ними используются (разумные) топологические пространства и декартовы произведения между ними.

"Маленькое что-то" операды

Оперная композиция в небольшой двухдисковой операде, объясненная в тексте.

Маленькая операда 2-дисков — это топологическая операда, в которой состоит из упорядоченных списков из n непересекающихся дисков внутри единичного диска с центром в начале координат. Симметрическая группа действует на такие конфигурации, переставляя список маленьких дисков. Операдическая композиция для маленьких дисков проиллюстрирована на сопроводительном рисунке справа, где элемент составлен с элементом , чтобы получить элемент , полученный сжатием конфигурации и вставкой его в i- й диск , для . ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \theta \in P(3)}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(2)\times P(3)\times P(4)}$ ${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(9)}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle i=1,2,3}$

Аналогично можно определить операду малых n-дисков , рассматривая конфигурации непересекающихся n -шаров внутри единичного шара . ^[12] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Первоначально операда маленьких n-кубов или операда маленьких интервалов (первоначально называвшаяся малыми n -кубами PROP ) была определена Майклом Бордманом и Райнером Фогтом аналогичным образом, в терминах конфигураций непересекающихся , выровненных по осям n -мерных гиперкубов (n-мерных интервалов ) внутри единичного гиперкуба . ^{[13] Позднее Мэй [14]} обобщил ее на операду маленьких выпуклых тел , а «маленькие диски» — это случай «фольклора», происходящего от «маленьких выпуклых тел». ^[15]

Корневые деревья

В теории графов корневые деревья образуют естественную операду. Здесь — множество всех корневых деревьев с n листьями, где листья пронумерованы от 1 до n. Группа работает с этим множеством, переставляя метки листьев. Операдическая композиция задается заменой i -го листа корня i -го дерева , для , таким образом присоединяя n деревьев к и формируя большее дерево, корень которого считается таким же, как корень , а листья нумеруются по порядку. ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle T\circ (S_{1},\ldots ,S_{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

швейцарский сыр операд

Швейцарская сырная опера .

Операда швейцарского сыра — это двухцветная топологическая операда, определяемая в терминах конфигураций непересекающихся n -мерных дисков внутри единичного n -полукруга и n -мерных полукругов, центрированных в основании единичного полукруга и расположенных внутри него. Операдическая композиция получается путем склеивания конфигураций "маленьких" дисков внутри единичного круга в "маленькие" диски в другом единичном полукруге и конфигураций "маленьких" дисков и полукругов внутри единичного полукруга в другой единичный полукруг.

Операда швейцарского сыра была определена Александром А. Вороновым . ^[16] Она была использована Максимом Концевичем для формулировки версии швейцарского сыра гипотезы Делиня о когомологиях Хохшильда. ^[17] Гипотеза Концевича была частично доказана По Ху, Игорем Крицем и Александром А. Вороновым ^[18], а затем полностью Джастином Томасом. ^[19]

Ассоциативный операд

Другой класс примеров операд — это те, которые захватывают структуры алгебраических структур, таких как ассоциативные алгебры, коммутативные алгебры и алгебры Ли. Каждая из них может быть представлена ​​как конечно представленная операда, в каждой из этих трех, порожденная бинарными операциями.

Например, ассоциативная операда — это симметричная операда, порожденная бинарной операцией , при соблюдении только одного условия: ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi \circ (\psi ,1)=\psi \circ (1,\psi ).}$

Это условие соответствует ассоциативности бинарной операции ; записывая мультипликативно, указанное выше условие имеет вид . Эту ассоциативность операции не следует путать с ассоциативностью композиции , которая имеет место в любой операде; см. аксиому ассоциативности выше. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (a,b)}$ ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$

В ассоциативной операде каждый задается симметричной группой , на которую действует правым умножением. Композит переставляет свои входы в блоках согласно , а внутри блоков согласно соответствующему . ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \sigma \circ (\tau _{1},\dots ,\tau _{n})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau _{i}}$

Алгебры над ассоциативной операдой — это в точности полугруппы : множества вместе с одной бинарной ассоциативной операцией. K -линейные алгебры над ассоциативной операдой — это в точности ассоциативные k- алгебры .

Терминальная симметричная операда

Терминальная симметричная операда — это операда, которая имеет одну n -арную операцию для каждого n , причем каждая действует тривиально. Алгебры над этой операдой — коммутативные полугруппы; k -линейные алгебры — коммутативные ассоциативные k -алгебры. ${\displaystyle S_{n}}$

Операции из групп кос

Аналогично, существует не- операда, для которой каждая задается группой кос Артина . Более того, эта не- операда имеет структуру сплетенной операды, которая обобщает понятие операды с симметричных на группы кос. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Линейная алгебра

В линейной алгебре действительные векторные пространства можно рассматривать как алгебры над операдой всех линейных комбинаций ^{[ требуется ссылка ]} . Эта операда определяется как для с очевидным действием перестановки компонентов и композицией , заданной конкатенацией векторов , где . Например, вектор представляет собой операцию формирования линейной комбинации с коэффициентами 2,3,-5,0,... ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }(n)=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\circ ({\vec {y_{1}}},\ldots ,{\vec {y_{n}}})}$ ${\displaystyle x^{(1)}{\vec {y_{1}}},\ldots ,x^{(n)}{\vec {y_{n}}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}=(x^{(1)},\ldots ,x^{(n)})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}=(2,3,-5,0,\dots )}$

Эта точка зрения формализует представление о том, что линейные комбинации являются наиболее общим видом операций на векторном пространстве — утверждение, что векторное пространство является алгеброй над операдой линейных комбинаций, есть в точности утверждение, что все возможные алгебраические операции в векторном пространстве являются линейными комбинациями. Базовые операции сложения векторов и скалярного умножения являются порождающим набором для операды всех линейных комбинаций, в то время как операда линейных комбинаций канонически кодирует все возможные операции на векторном пространстве.

Аналогично, аффинные комбинации , конические комбинации и выпуклые комбинации можно считать соответствующими подоперадам, где члены вектора в сумме равны 1, все члены неотрицательны или и то, и другое соответственно. Графически это бесконечная аффинная гиперплоскость, бесконечный гипероктант и бесконечный симплекс. Это формализует то, что подразумевается под бытием или стандартным симплексом, являющимся модельными пространствами, и такие наблюдения, как то, что каждый ограниченный выпуклый многогранник является образом симплекса. Здесь подоперады соответствуют более ограниченным операциям и, следовательно, более общим теориям. ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Коммутативно-кольцевая операда и операда Ли

Коммутативно -кольцевая операда — это операда , алгебры которой являются коммутативными кольцами. Она определяется с помощью , с очевидным действием и операдической композицией, заданной заменой переменных на многочлены (с перенумерованными переменными). Можно определить похожую операду, алгебры которой являются ассоциативными, коммутативными алгебрами над некоторым фиксированным базовым полем. Кошулево -дуальная для этой операды — это операда Ли (алгебры которой являются алгебрами Ли), и наоборот. ${\displaystyle P(n)=\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Бесплатные операды

Типичные алгебраические конструкции (например, конструкция свободной алгебры) могут быть расширены до операд. Пусть обозначает категорию, объектами которой являются множества, на которых действует группа. Тогда существует забывающий функтор , который просто забывает операдическую композицию. Можно построить левый сопряженный к этому забывающему функтору (это обычное определение свободного функтора ). Если задан набор операций E , то это свободная операда на E. ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{S_{n}}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}\to \prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}}$ ${\displaystyle \Gamma :\prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}\to {\mathsf {Oper}}}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$

Подобно группе или кольцу, свободная конструкция позволяет выразить операду в терминах образующих и отношений. Под свободным представлением операды мы подразумеваем запись в виде частного свободной операды , где E описывает образующие , а ядро ​​эпиморфизма описывает отношения. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Gamma (E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {O}}}$

(Симметричная) операда называется квадратичной, если она имеет свободное представление, такое что является генератором, а отношение содержится в . ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{{\mathcal {O}}(n)\}}$ ${\displaystyle E={\mathcal {O}}(2)}$ ${\displaystyle \Gamma (E)(3)}$

Клоны

Клоны являются особым случаем операд, которые также закрыты при идентификации аргументов вместе («повторное использование» некоторых данных). Клоны могут быть эквивалентно определены как операды, которые также являются миньоном (или клоноидом ).

Операда в теории гомотопии

В своей книге «Сташефф» (2004) Сташефф пишет:

Операты особенно важны и полезны в категориях с хорошим понятием «гомотопии», где они играют ключевую роль в организации иерархий высших гомотопий.

Смотрите также

• PRO (теория категорий)
• Алгебра над операдой
• Операда высшего порядка
• E∞-операд
• Псевдоалгебра
• Мультикатегория

Примечания

1. «конечность» относится к тому факту, что в определении операды допускается только конечное число входов. Например, условие выполняется, если можно написать

   ${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{n=1}^{\infty }T_{n}\otimes V^{\otimes n}}$,

   ${\displaystyle \gamma (V):T_{n}\otimes T_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes T_{i_{n}}\to T_{i_{1}+\dots +i_{n}}}$.

Цитаты

1. Бордман, Дж. М .; Фогт, Р. М. (1 ноября 1968 г.). «Гомотопические все $H$-пространства». Бюллетень Американского математического общества . 74 (6): 1117–1123. doi : 10.1090/S0002-9904-1968-12070-1 . ISSN  0002-9904.
2. Бордман, Дж. М .; Фогт, Р. М. (1973). Гомотопически инвариантные алгебраические структуры в топологических пространствах . Конспект лекций по математике. Том 347. doi :10.1007/bfb0068547. ISBN 978-3-540-06479-4. ISSN  0075-8434.
3. May, JP (1972). Геометрия пространств итерированных циклов . Заметки лекций по математике. Том 271. CiteSeerX 10.1.1.146.3172 . doi :10.1007/bfb0067491. ISBN  978-3-540-05904-2. ISSN  0075-8434.
4. «Операды в алгебре, топологии и физике»: Мартин Маркл, Стив Шнайдер, Джим Сташефф, Математические обзоры и монографии, том: 96; 2002
5. Мэй, Дж. Питер . «Операды, алгебры и модули» (PDF) . math.uchicago.edu . стр. 2. Получено 28 сентября 2018 г.
6. Гинзбург, Виктор ; Капранов, Михаил (1994). «Двойственность Кошуля для операд». Duke Mathematical Journal . 76 (1): 203–272. doi :10.1215/S0012-7094-94-07608-4. ISSN  0012-7094. MR  1301191. S2CID  115166937. Zbl  0855.18006 – через Project Euclid .
7. Лоде, Жан-Луи (1996). «Ренессанс опер». www.numdam.org . Семинар Николя Бурбаки . МР  1423619. Збл  0866.18007 . Проверено 27 сентября 2018 г.
8. Концевич, Максим; Сойбельман, Ян (26 января 2000 г.). «Деформации алгебр над операдами и гипотеза Делиня». arXiv : math/0001151 .
9. Джонс, Дж. Д. С. Д. С.; Гетцлер, Эзра (8 марта 1994 г.). «Операды, гомотопическая алгебра и итерированные интегралы для пространств с двойными петлями». arXiv : hep-th/9403055 .
10. Н. Дуров, Новый подход к геометрии Аракелова, Боннский университет, докторская диссертация, 2007; arXiv:0704.2030.
11. Маркл, Мартин (2006). «Операды и PROP». Справочник по алгебре . 5 (1): 87–140. arXiv : math/0601129 . doi :10.1016/S1570-7954(07)05002-4. ISBN 9780444531018. S2CID  3239126.Пример 2
12. Джованни Джачетта, Луиджи Манджаротти, Геннадий Сарданашвили (2005) Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике, ISBN 981-256-129-3 , стр. 474,475 
13. Гринлис, JPC (2002). Аксиоматическая, обогащенная и мотивная теория гомотопии . Труды Института передовых исследований НАТО по аксиоматической, обогащенной и мотивной теории гомотопии. Кембридж, Великобритания : Springer Science & Business Media. стр. 154–156. ISBN 978-1-4020-1834-3.
14. May, JP (1977). «Теория бесконечного пространства петель». Bull. Amer. Math. Soc . 83 (4): 456–494. doi : 10.1090/s0002-9904-1977-14318-8 .
15. Сташефф, Джим (1998). «Прививка вишневых деревьев Бордмана к квантовой теории поля». arXiv : math/9803156 .
16. Воронов, Александр А. (1999). Швейцарский сыр операда . Contemporary Mathematics. Балтимор, Мэриленд, США : AMS. С. 365–373. ISBN 978-0-8218-7829-3.
17. Концевич, Максим (1999). «Операды и мотивы в квантовании деформаций». Lett. Math. Phys . 48 : 35–72. arXiv : math/9904055 . Bibcode :1999math......4055K. doi :10.1023/A:1007555725247. S2CID  16838440.
18. Ху, По; Криж, Игорь; Воронов, Александр А. (2006). «О гипотезе когомологий Хохшильда Концевича». Математическая композиция . 142 (1): 143–168. arXiv : math/0309369 . дои : 10.1112/S0010437X05001521 .
19. Томас, Джастин (2016). «Гипотеза Концевича о швейцарском сыре». Geom. Topol . 20 (1): 1–48. arXiv : 1011.1635 . doi :10.2140/gt.2016.20.1. S2CID  119320246.
20. Маркл, Мартин (2006). «Операды и PROP». Справочник по алгебре . 5 : 87–140. doi :10.1016/S1570-7954(07)05002-4. ISBN 9780444531018. S2CID  3239126.Определение 37

Ссылки

• Том Лейнстер (2004). Высшие операды, высшие категории . Cambridge University Press. arXiv : math/0305049 . Bibcode : 2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0.
• Мартин Маркл, Стив Шнайдер , Джим Сташефф (2002). Operads in Algebra, Topology and Physics. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4362-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Маркл, Мартин (июнь 2006 г.). «Операды и PROP». arXiv : math/0601129 .
• Сташефф, Джим (июнь–июль 2004 г.). «Что такое... операда?» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 51 (6): 630–631 . Получено 17 января 2008 г. .
• Лоде, Жан-Луи ; Валлетт, Бруно (2012), Алгебраические операды (PDF) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 346, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-642-30361-6
• Zinbiel, Guillaume W. (2012), «Энциклопедия типов алгебр 2010», в Bai, Chengming; Guo, Li; Loday, Jean-Louis (ред.), Operads and universal algebra , Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics, т. 9, стр. 217–298, arXiv : 1101.0267 , Bibcode :2011arXiv1101.0267Z, ISBN 9789814365116
• Фрессе, Бенуа (17 мая 2017 г.), Гомотопия операд и групп Гротендика-Тейхмюллера , Математические обзоры и монографии, Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-3480-9, MR  3643404, Zbl  1373.55014
• Мигель А. Мендес (2015). Множественные операды в комбинаторике и информатике . SpringerBriefs по математике. ISBN 978-3-319-11712-6 . 
• Самуэле Жиродо (2018). Несимметричные операды в комбинаторике . Springer International Publishing. ISBN 978-3-030-02073-6 . 

Внешние ссылки

• операд в n Lab
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html