Марковское разбиение

Марковское разбиение в математике — это инструмент, используемый в теории динамических систем , позволяющий применять методы символической динамики к изучению гиперболической динамики . Используя марковское разбиение, можно сделать систему похожей на дискретный марковский процесс , при этом долгосрочные динамические характеристики системы будут представлены в виде марковского сдвига . Название «марковская» уместно, поскольку результирующая динамика системы подчиняется марковскому свойству . Таким образом, марковское разбиение позволяет применять стандартные методы из символической динамики , включая вычисление ожидаемых значений , корреляций , топологической энтропии , топологических дзета-функций, определителей Фредгольма и тому подобное.

Мотивация

Пусть будет дискретной динамической системой. Базовый метод изучения ее динамики — найти символическое представление : точное кодирование точек последовательностями символов, так что отображение становится отображением сдвига . ${\displaystyle (M,\varphi )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi }$

Предположим, что было разделено на ряд частей , которые считаются малыми и локализованными, практически без перекрытий. Поведение точки при итерациях можно отслеживать, записывая для каждого часть, которая содержит . Это приводит к бесконечной последовательности в алфавите, которая кодирует точку. В общем случае это кодирование может быть неточным (одна и та же последовательность может представлять множество различных точек), и набор последовательностей, которые возникают таким образом, может быть трудно описать. При определенных условиях, которые явно указаны в строгом определении марковского разбиения, назначение последовательности точке становится почти однозначной картой, изображением которой является символическая динамическая система особого вида, называемая сдвигом конечного типа . В этом случае символическое представление является мощным инструментом для исследования свойств динамической системы . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}(x)}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,r\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,\varphi )}$

Формальное определение

Марковское разбиение ^[1] — это конечное покрытие инвариантного множества многообразия набором криволинейных прямоугольников, такое что ${\displaystyle \{E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}\}}$

• Для любой пары точек , что ${\displaystyle x,y\in E_{i}}$ ${\displaystyle W_{s}(x)\cap W_{u}(y)\in E_{i}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Int} E_{i}\cap \operatorname {Int} E_{j}=\emptyset }$для ${\displaystyle i\neq j}$
• Если и , то ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} E_{i}}$ ${\displaystyle \varphi (x)\in \operatorname {Int} E_{j}}$

${\displaystyle \varphi \left[W_{u}(x)\cap E_{i}\right]\supset W_{u}(\varphi x)\cap E_{j}}$

${\displaystyle \varphi \left[W_{s}(x)\cap E_{i}\right]\subset W_{s}(\varphi x)\cap E_{j}}$

Здесь и — неустойчивое и устойчивое многообразия x соответственно, а просто обозначает внутреннюю часть . ${\displaystyle W_{u}(x)}$ ${\displaystyle W_{s}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} E_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$

Последние два условия можно понимать как утверждение марковского свойства для символической динамики; то есть, движение траектории от одного открытого покрытия к другому определяется только самым последним покрытием, а не историей системы. Именно это свойство покрытия заслуживает названия «марковское». Результирующая динамика является динамикой марковского сдвига ; то, что это действительно так, обусловлено теоремами Якова Синая (1968) ^[2] и Руфуса Боуэна (1975), ^[3] , тем самым ставя символическую динамику на прочную основу.

Найдены варианты определения, соответствующие условиям геометрии деталей . ^[4] ${\displaystyle E_{i}}$

Примеры

Марковские разбиения строились в нескольких ситуациях.

• Диффеоморфизмы Аносова тора . [ ^{требуется ссылка ]}
• Динамические бильярды , в этом случае покрытие является счетным. ^{[ необходима цитата ]}

Марковские разбиения особенно упрощают описание гомоклинических и гетероклинических орбит . ^{[ необходима цитата ]}

Система имеет марковское разбиение , и в этом случае символическое представление действительного числа в является его двоичным расширением. Например: . Назначение точек их последовательностям в марковском разбиении хорошо определено, за исключением двоичных рациональных чисел - с моральной точки зрения, это происходит потому , что , так же, как и в десятичных расширениях. ${\displaystyle ([0,1),x\mapsto 2x\ mod\ 1)}$ ${\displaystyle E_{0}=(0,1/2),E_{1}=(1/2,1)}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle x\in E_{0},Tx\in E_{1},T^{2}x\in E_{1},T^{3}x\in E_{1},T^{4}x\in E_{0}\Rightarrow x=(0.01110...)_{2}}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (0.01111\dots )_{2}=(0.10000\dots )_{2}}$ ${\displaystyle 1=0.999\dots }$

Ссылки

1. Гаспар, Пьер (1998). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Серия нелинейных наук в Кембридже. Том 9. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-39511-3. Збл  0915.00011.
2. Синай, Я. Г. (1968), "Марковские разбиения и U-диффеоморфизмы", Академия наук СССР , 2 (1): 64–89, МР  0233038.. Синай, Я. Г. (1968), «Построение марковских разбиений», Академия наук СССР , 2 (3): 70–80, МР  0250352..
3. Пифей Фогг (2002), стр. 208.
4. Пифей Фогг (2002), стр. 206.

• Линд, Дуглас; Маркус, Брайан (1995). Введение в символическую динамику и кодирование. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55124-3. Збл  1106.37301.
• Пифей Фогг, Н. (2002). Берта, Валери ; Ференци, Себастьян; Модуит, Кристиан; Сигел, Энн (ред.). Замены в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. Том. 1794. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44141-0. Збл  1014.11015.