Инвариантная масса

Масса, не зависящая от движения, равна общей массе в состоянии покоя

Инвариантная масса , масса покоя , внутренняя масса , собственная масса или в случае связанных систем просто масса — это часть полной массы объекта или системы объектов , которая не зависит от общего движения системы. Точнее, это характеристика полной энергии и импульса системы , которая одинакова во всех системах отсчета, связанных преобразованиями Лоренца . ^[1] Если для системы существует система центра импульса , то инвариантная масса системы равна ее полной массе в этой «системе покоя». В других системах отсчета, где импульс системы отличен от нуля, полная масса (она же релятивистская масса ) системы больше инвариантной массы, но инвариантная масса остается неизменной.

Из-за эквивалентности массы и энергии , энергия покоя системы — это просто инвариантная масса, умноженная на квадрат скорости света . Аналогично, полная энергия системы — это ее полная (релятивистская) масса, умноженная на квадрат скорости света.

Системы, чей 4-импульс является нулевым вектором (например, одиночный фотон или много фотонов, движущихся в одном направлении), имеют нулевую инвариантную массу и называются безмассовыми . Физический объект или частица, движущиеся быстрее скорости света, имели бы пространственно-подобные 4-импульсы (например, гипотетический тахион ), и их, по-видимому, не существует. Любой времени-подобный 4-импульс обладает системой отсчета, в которой импульс (трехмерный) равен нулю, что является центром системы импульса. В этом случае инвариантная масса положительна и называется массой покоя.

Если объекты в системе находятся в относительном движении, то инвариантная масса всей системы будет отличаться от суммы масс покоя объектов. Это также равно полной энергии системы, деленной на c ² . См. эквивалентность массы и энергии для обсуждения определений массы. Поскольку масса систем должна измеряться с помощью весов или массовых весов в системе отсчета центра импульса, в которой вся система имеет нулевой импульс, такие весы всегда измеряют инвариантную массу системы. Например, весы будут измерять кинетическую энергию молекул в бутылке с газом, чтобы она была частью инвариантной массы бутылки, и, таким образом, также ее массы покоя. То же самое верно для безмассовых частиц в такой системе, которые добавляют инвариантную массу, а также массу покоя к системам в соответствии с их энергией.

Для изолированной массивной системы центр масс системы движется по прямой с постоянной субсветовой скоростью (со скоростью, зависящей от системы отсчета, используемой для ее наблюдения). Таким образом, наблюдатель всегда может быть помещен так, чтобы двигаться вместе с ней. В этой системе, которая является системой центра импульса, полный импульс равен нулю, и систему в целом можно считать находящейся «в состоянии покоя», если она является связанной системой (например, баллоном с газом). В этой системе, которая существует при этих предположениях, инвариантная масса системы равна полной энергии системы (в системе с нулевым импульсом), деленной на c ² . Эта полная энергия в системе центра импульса является минимальной энергией, которую может иметь система, наблюдаемая различными наблюдателями из различных инерциальных систем.

Обратите внимание, что по указанным выше причинам такая система отсчета не существует для отдельных фотонов или лучей света, движущихся в одном направлении. Однако, когда два или более фотона движутся в разных направлениях, система отсчета центра масс (или «система отсчета покоя», если система связана) существует. Таким образом, масса системы из нескольких фотонов, движущихся в разных направлениях, положительна, что означает, что инвариантная масса существует для этой системы, даже если она не существует для каждого фотона.

Возможные 4-импульса частиц. Одна имеет нулевую инвариантную массу, другая массивна

Сумма масс покоя

Инвариантная масса системы включает массу любой кинетической энергии компонентов системы, которая остается в центре импульса, поэтому инвариантная масса системы может быть больше суммы инвариантных масс (масс покоя) ее отдельных компонентов. Например, масса покоя и инвариантная масса равны нулю для отдельных фотонов, хотя они могут добавлять массу к инвариантной массе систем. По этой причине инвариантная масса в общем случае не является аддитивной величиной (хотя есть несколько редких ситуаций, когда это может быть так, как в случае, когда массивные частицы в системе без потенциальной или кинетической энергии могут быть добавлены к общей массе).

Рассмотрим простой случай системы из двух тел, где объект A движется к другому объекту B, который изначально находится в состоянии покоя (в любой конкретной системе отсчета). Величина инвариантной массы этой системы из двух тел (см. определение ниже) отличается от суммы масс покоя (т. е. их соответствующих масс в состоянии покоя). Даже если мы рассмотрим ту же систему из системы центра импульса, где чистый импульс равен нулю, величина инвариантной массы системы не равна сумме масс покоя частиц внутри нее.

Кинетическая энергия таких частиц и потенциальная энергия силовых полей увеличивают общую энергию сверх суммы масс покоя частиц, и оба члена вносят вклад в инвариантную массу системы. Сумма кинетических энергий частиц, вычисленная наблюдателем, наименьшая в системе отсчета центра импульса (опять же, называемой «системой покоя», если система связана).

Они часто также взаимодействуют посредством одной или нескольких фундаментальных сил , что дает им потенциальную энергию взаимодействия, возможно, отрицательную .

Согласно определению в физике элементарных частиц

В физике элементарных частиц инвариантная масса m ₀ равна массе в системе покоя частицы и может быть рассчитана по энергии частицы  E и ее импульсу  p , измеренным в любой системе, с помощью соотношения энергия-импульс : или в натуральных единицах, где c = 1 , $${\displaystyle m_{0}^{2}c^{2}=\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}}$$ $${\displaystyle m_{0}^{2}=E^{2}-\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}.}$$

Эта инвариантная масса одинакова во всех системах отсчета (см. также специальную теорию относительности ). Это уравнение гласит, что инвариантная масса — это псевдоевклидова длина 4-вектора ( E ,  p ) , вычисленная с использованием релятивистской версии теоремы Пифагора , которая имеет другой знак для пространственных и временных измерений. Эта длина сохраняется при любом увеличении Лоренца или вращении в четырех измерениях, точно так же, как обычная длина вектора сохраняется при вращениях. В квантовой теории инвариантная масса является параметром в релятивистском уравнении Дирака для элементарной частицы. Квантовый оператор Дирака соответствует вектору 4-импульса частицы.

Поскольку инвариантная масса определяется из величин, которые сохраняются при распаде, инвариантная масса, вычисленная с использованием энергии и импульса продуктов распада одной частицы, равна массе распавшейся частицы. Массу системы частиц можно вычислить по общей формуле: где $${\displaystyle \left(Wc^{2}\right)^{2}=\left(\sum E\right)^{2}-\left\|\sum \mathbf {p} c\right\|^{2},}$$

• ${\displaystyle W}$— инвариантная масса системы частиц, равная массе распадающейся частицы.
• ${\textstyle \sum E}$это сумма энергий частиц
• ${\textstyle \sum \mathbf {p} }$это векторная сумма импульса частиц (включает как величину, так и направление импульсов)

Термин инвариантная масса также используется в экспериментах по неупругому рассеянию. При неупругой реакции с полной входящей энергией, превышающей полную обнаруженную энергию (т.е. не все исходящие частицы обнаруживаются в эксперименте), инвариантная масса (также известная как «недостающая масса») W реакции определяется следующим образом (в натуральных единицах): $${\displaystyle W^{2}=\left(\sum E_{\text{in}}-\sum E_{\text{out}}\right)^{2}-\left\|\sum \mathbf {p} _{\text{in}}-\sum \mathbf {p} _{\text{out}}\right\|^{2}.}$$

Если имеется одна доминирующая частица, которая не была обнаружена в ходе эксперимента, график инвариантной массы покажет острый пик на массе отсутствующей частицы.

В тех случаях, когда импульс вдоль одного направления не может быть измерен (т. е. в случае нейтрино, присутствие которого выводится только из недостающей энергии ), используется поперечная масса .

Пример: столкновение двух частиц

При двухчастичном столкновении (или двухчастичном распаде) квадрат инвариантной массы (в натуральных единицах ) равен $${\displaystyle {\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\right\|^{2}\\&=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2\left(E_{1}E_{2}-\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{2}\right).\end{aligned}}}$$

Безмассовые частицы

Инвариантная масса системы, состоящей из двух безмассовых частиц, импульсы которых образуют угол, имеет удобное выражение: ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|{\textbf {p}}_{1}+{\textbf {p}}_{2}\right\|^{2}\\&=[(p_{1},0,0,p_{1})+(p_{2},0,p_{2}\sin \theta ,p_{2}\cos \theta )]^{2}\\&=(p_{1}+p_{2})^{2}-p_{2}^{2}\sin ^{2}\theta -(p_{1}+p_{2}\cos \theta )^{2}\\&=2p_{1}p_{2}(1-\cos \theta ).\end{aligned}}}$$

Эксперименты на коллайдере

В экспериментах на коллайдерах частиц угловое положение частицы часто определяется через азимутальный угол  и псевдобыстроту . Кроме того, обычно измеряется поперечный импульс . В этом случае, если частицы безмассовые или высокорелятивистские ( ), то инвариантная масса становится: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle p_{T}}$ ${\displaystyle E\gg m}$ $${\displaystyle M^{2}=2p_{T1}p_{T2}(\cosh(\eta _{1}-\eta _{2})-\cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}$$

Энергия покоя

Энергия покоя (также называемая энергией массы покоя ) — это энергия, связанная с инвариантной массой частицы. ^{[2] [3]}

Энергия покоя частицы определяется как: где - скорость света в вакууме . ^{[2] [3] [4]} В общем случае физическое значение имеют только различия в энергии . ^[5] ${\displaystyle E_{0}}$ $${\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2},}$$ ${\displaystyle c}$

Понятие энергии покоя вытекает из специальной теории относительности , которая приводит к знаменитому выводу Эйнштейна об эквивалентности энергии и массы. См. Специальная теория относительности § Релятивистская динамика и инвариантность .

Смотрите также

• Масса в специальной теории относительности
• Инвариант (физика)
• Поперечная масса

Ссылки

• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей: 4-е пересмотренное английское издание: Курс теоретической физики, т. 2. Баттерворт Хайнеман. ISBN 0-7506-2768-9.
• Halzen, Francis ; Martin, Alan (1984). Кварки и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц . John Wiley & Sons . ISBN 0-471-88741-2.

Цитаты

1. Лоуренс С. Лернер. Физика для ученых и инженеров, том 2, стр. 1073. 1997.
2. Nave, CR "Релятивистская энергия". HyperPhysics . Georgia State University . Получено 28 августа 2023 г.
3. "13.6 Релятивистская энергия или E = mc^2".
4. Филлип Л. Реу (март 2007 г.). Разработка доплеровского электронного измерителя скорости — теория (PDF) (отчет). Sandia National Laboratories. SAND2006-6063. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-06-23.
5. Modell, Michael; Reid, Robert C. (1974). Термодинамика и ее приложения . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall . ISBN 0-13-914861-2.