Уменьшенная масса

Эффективная инерционная масса

В физике приведенная масса — это мера эффективной инерционной массы системы с двумя или более частицами, когда частицы взаимодействуют друг с другом. Уменьшенная масса позволяет решить задачу двух тел так, как если бы это была задача одного тела . Однако обратите внимание, что масса, определяющая гравитационную силу , не уменьшается. При расчете одну массу можно заменить приведенной массой, если это компенсируется заменой другой массы суммой обеих масс. Приведенную массу часто обозначают ( мю ), хотя стандартный гравитационный параметр также обозначается (как и ряд других физических величин ). Он имеет размеры массы и единицу измерения СИ кг. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Уменьшенная масса особенно полезна в классической механике .

Уравнение

Учитывая два тела, одно с массой m ₁ и другое с массой m ₂ , эквивалентная задача одного тела, в которой положение одного тела относительно другого является неизвестным, представляет собой задачу одного тела с массой ^{[1] [2]}

${\displaystyle \mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,}$

где сила, действующая на эту массу, определяется силой между двумя телами.

Характеристики

Приведенная масса всегда меньше или равна массе каждого тела:

${\displaystyle \mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}\!\,}$

и обладает взаимным аддитивным свойством:

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\,\!}$

что при перестановке эквивалентно половине среднего гармонического значения .

В частном случае : ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$

${\displaystyle {\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}\,\!}$

Если , то . ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$ ${\displaystyle \mu \approx m_{2}}$

Вывод

Уравнение можно вывести следующим образом.

Ньютоновская механика

Согласно второму закону Ньютона , сила, действующая телом (частицей 2) на другое тело (частицу 1), равна:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}}$

Сила, с которой частица 1 действует на частицу 2, равна:

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}}$

Согласно третьему закону Ньютона , сила, с которой частица 2 действует на частицу 1, равна и противоположна силе, с которой частица 1 действует на частицу 2:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$

Поэтому:

${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}}$

Относительное ускорение a _rel между двумя телами определяется выражением:

$${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}}$$

Обратите внимание, что (поскольку производная является линейным оператором) относительное ускорение равно ускорению разделения между двумя частицами. ${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel}}}$

$${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\rm {rel}}}{dt^{2}}}}$$

Это упрощает описание системы до одной силы (поскольку ), одной координаты и одной массы . Таким образом, мы свели нашу задачу к одной степени свободы и можем заключить, что частица 1 движется относительно положения частицы 2 как одна частица с массой, равной приведенной массе . ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Лагранжева механика

Альтернативно , лагранжианское описание задачи двух тел дает лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,}$

где – вектор положения массы (частицы ). Потенциальная энергия V является функцией, поскольку она зависит только от абсолютного расстояния между частицами. Если мы определим ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

и пусть центр масс совпадает с нашим началом координат в этой системе отсчета, т.е.

${\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0}$,

затем

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$

Тогда замена выше дает новый лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}$

где

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

это приведенная масса. Таким образом, мы свели задачу двух тел к задаче одного тела.

Приложения

Приведенную массу можно использовать во множестве задач двух тел, где применима классическая механика.

Момент инерции двух точечных масс, лежащих на одной линии.

Две точечные массы, вращающиеся вокруг центра масс.

В системе с двумя точечными массами , когда они коллинеарны, два расстояния и до оси вращения можно найти с помощью ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

$${\displaystyle r_{1}=R{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$$

$${\displaystyle r_{2}=R{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$$

где - сумма обоих расстояний . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=r_{1}+r_{2}}$

Это справедливо для вращения вокруг центра масс. Тогда момент инерции вокруг этой оси можно упростить до

$${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{\frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.}$$

Столкновения частиц

При столкновении с коэффициентом восстановления e изменение кинетической энергии можно записать как

${\displaystyle \Delta K={\frac {1}{2}}\mu v_{\rm {rel}}^{2}(e^{2}-1)}$,

где v _rel — относительная скорость тел перед столкновением .

Для типичных приложений в ядерной физике, где масса одной частицы намного больше другой, приведенную массу можно аппроксимировать как меньшую массу системы. Пределом формулы приведенной массы, когда одна масса стремится к бесконечности, является меньшая масса, поэтому это приближение используется для облегчения вычислений, особенно когда точная масса большей частицы не известна.

Движение двух массивных тел под действием гравитационного притяжения.

В случае гравитационной потенциальной энергии

${\displaystyle V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\,,}$

мы находим, что положение первого тела относительно второго определяется тем же дифференциальным уравнением, что и положение тела с приведенной массой, вращающегося вокруг тела с массой, равной сумме двух масс, потому что

${\displaystyle m_{1}m_{2}=(m_{1}+m_{2})\mu \!\,}$

Нерелятивистская квантовая механика

Рассмотрим электрон (масса m _e ) и протон (масса m _p ) в атоме водорода . ^[3] Они вращаются вокруг друг друга вокруг общего центра масс, задача двух тел. Для анализа движения электрона, задачи одного тела, приведенная масса заменяет массу электрона.

${\displaystyle m_{e}\rightarrow {\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}}$

и масса протона становится суммой двух масс

${\displaystyle m_{p}\rightarrow m_{e}+m_{p}}$

Эта идея используется для составления уравнения Шрёдингера для атома водорода.

Другое использование

«Уменьшенная масса» может также относиться в более общем смысле ^к алгебраическому ^{термину} формы ^.

${\displaystyle x^{*}={1 \over {1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}}={x_{1}x_{2} \over x_{1}+x_{2}}\!\,}$

что упрощает уравнение вида

${\displaystyle \ {1 \over x^{*}}=\sum _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}.\!\,}$

Уменьшенная масса обычно используется как соотношение между двумя параллельно включенными элементами системы, такими как резисторы ; будь то электрическая, тепловая, гидравлическая или механическая области. Аналогичное выражение появляется и в поперечных колебаниях балок для упругих модулей. ^[4] Эта связь определяется физическими свойствами элементов, а также уравнением неразрывности , связывающим их.

Смотрите также

• Рамка центра импульса
• Сохранение импульса
• Гармонический осциллятор
• Чирповая масса — релятивистский эквивалент, используемый в постньютоновском расширении.

Рекомендации

1. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
2. Динамика и относительность, Дж. Р. Форшоу, А. Г. Смит, Уайли, 2009, ISBN  978-0-470-01460-8
3. Молекулярная квантовая механика, части I и II: Введение в квантовую химию (том 1), П. В. Аткинс, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0 
4. Экспериментальное исследование предсказаний теории пучка Тимошенко, А.Диас-де-Анда Х.Флорес, Л.Гутьеррес, Рамендес-Санчес, Г.Монсиваис и А.Моралес. Журнал звука и вибрации, том 331, выпуск 26, 17 Декабрь 2012 г., страницы 5732–5744 https://doi.org/10.1016/j.jsv.2012.07.041.

Внешние ссылки

• Уменьшена масса в гиперфизике.