масса Комара

Понятие массы, используемое в общей теории относительности

Масса Комара (названная в честь Артура Комара ^[1] ) системы является одним из нескольких формальных понятий массы , которые используются в общей теории относительности . Масса Комара может быть определена в любом стационарном пространстве-времени , которое является пространством-временем , в котором все метрические компоненты могут быть записаны так, чтобы они не зависели от времени. Альтернативно, стационарное пространство-время может быть определено как пространство-время, которое обладает времениподобным векторным полем Киллинга .

Следующее обсуждение представляет собой расширенную и упрощенную версию мотивационной терапии, изложенной в (Wald, 1984, стр. 288).

Мотивация

Рассмотрим метрику Шварцшильда . Используя базис Шварцшильда, поле фрейма для метрики Шварцшильда, можно найти, что радиальное ускорение, необходимое для удержания пробной массы неподвижной в координате Шварцшильда r , равно:

${\displaystyle a^{\hat {r}}={\frac {m}{r^{2}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}}$

Поскольку метрика статична, существует четко определенное значение выражения «удержание частицы в неподвижном состоянии».

Интерпретируя это ускорение как вызванное «силой тяготения», мы можем затем вычислить интеграл нормального ускорения, умноженный на площадь, чтобы получить интеграл по «закону Гаусса»:

${\displaystyle {\frac {4\pi m}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}$

Хотя это приближается к константе, когда r стремится к бесконечности, это не константа, не зависящая от r . Поэтому мы мотивированы ввести поправочный коэффициент, чтобы сделать указанный выше интеграл независимым от радиуса r окружающей оболочки. Для метрики Шварцшильда этот поправочный коэффициент равен просто , фактору «красного смещения» или «замедления времени» на расстоянии r . Можно также рассматривать этот фактор как «корректирующий» локальную силу до «силы на бесконечности», силы, которую наблюдателю на бесконечности нужно было бы приложить через струну, чтобы удерживать частицу неподвижной. (Wald, 1984). ${\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}}$

Для дальнейшего продвижения запишем элемент линии для статической метрики.

${\displaystyle ds^{2}=g_{tt}\,dt^{2}+\mathrm {quadratic\ form} (dx,\,dy,\,dz)}$

где и квадратичная форма являются функциями только пространственных координат x , y , z и не являются функциями времени. Несмотря на наш выбор имен переменных, не следует предполагать, что наша система координат является декартовой. Тот факт, что ни один из метрических коэффициентов не является функцией времени, делает метрику стационарной: дополнительный факт, что нет «перекрестных членов», включающих как временные, так и пространственные компоненты (такие как ), делает ее статичной. ${\displaystyle g_{tt}}$ ${\displaystyle dxdt}$

Из-за упрощающего предположения, что некоторые метрические коэффициенты равны нулю, некоторые из наших результатов в этом мотивационном подходе не будут столь общими, как могли бы быть.

В плоском пространстве-времени собственное ускорение, необходимое для удержания станции , равно , где u — 4-скорость нашей парящей частицы, а — собственное время. В искривленном пространстве-времени мы должны взять ковариантную производную. Таким образом, мы вычисляем вектор ускорения как: ${\displaystyle du/d\tau }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle a^{b}=\nabla _{u}u^{b}=u^{c}\nabla _{c}u^{b}}$

${\displaystyle a_{b}=u^{c}\nabla _{c}u_{b}}$

где — единичный вектор времени, такой что ${\displaystyle u^{b}}$ ${\displaystyle u^{b}u_{b}=-1.}$

Компонента вектора ускорения, нормальная к поверхности, равна

${\displaystyle a_{\mathrm {norm} }=N^{b}a_{b}}$

где N ^b — единичный вектор, нормальный к поверхности.

В системе координат Шварцшильда, например, мы обнаруживаем, что

${\displaystyle N^{b}a_{b}={\frac {{\frac {\partial g_{tt}}{\partial r}}c^{2}}{2g_{tt}{\sqrt {g_{rr}}}}}={\frac {m}{r^{2}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}}$

как и ожидалось - мы просто перевывели предыдущие результаты, представленные в поле кадра в координатной основе.

Мы определяем

${\displaystyle a_{\inf }={\sqrt {g_{tt}}}\,a}$

так что в нашем примере Шварцшильда: ${\displaystyle N^{b}a_{\inf \,b}=m/r^{2}.}$

Мы можем, если захотим, вывести ускорения и скорректированное «ускорение на бесконечности» из скалярного потенциала Z, хотя в этом нет никаких особых преимуществ. (Wald 1984, стр. 158, задача 4) ${\displaystyle a_{b}}$ ${\displaystyle a_{\inf \,b}}$

${\displaystyle a_{b}=\nabla _{b}Z_{1}\qquad Z_{1}=\ln {g_{tt}}}$

${\displaystyle a_{\inf \,b}=\nabla _{b}Z_{2}\qquad Z_{2}={\sqrt {g_{tt}}}}$

Мы покажем, что интегрирование нормальной составляющей «ускорения на бесконечности» по ограничивающей поверхности даст нам величину, которая не зависит от формы охватывающей сферы, так что мы можем вычислить массу, охватываемую сферой, с помощью интеграла ${\displaystyle a_{\inf }}$

${\displaystyle m=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{A}N^{b}a_{\inf \,b}\;dA}$

Чтобы продемонстрировать это, нам нужно выразить этот поверхностный интеграл как объемный интеграл. В плоском пространстве-времени мы бы использовали теорему Стокса и интегрировали по объему. В искривленном пространстве-времени этот подход нужно немного изменить. ${\displaystyle -\nabla \cdot a_{\inf }}$

Используя в качестве руководства формулы электромагнетизма в искривленном пространстве-времени , мы вместо этого запишем.

${\displaystyle F_{ab}=a_{\inf \,a}\,u_{b}-a_{\inf \,b}\,u_{a}}$

где F играет роль, аналогичную «тензору Фарадея», в том смысле, что мы можем затем найти значение «гравитационного заряда», т.е. массы, оценив и проинтегрировав его по объему нашей сферы. ${\displaystyle a_{\inf \,a}=F_{ab}u^{b}}$ ${\displaystyle \nabla ^{a}F_{ab}u^{b}}$

Альтернативным подходом было бы использование дифференциальных форм , но описанный выше подход более удобен с точки зрения вычислений, а также не требует от читателя понимания дифференциальных форм.

Длинный, но простой (с использованием компьютерной алгебры) расчет из нашего предполагаемого линейного элемента показывает нам, что

${\displaystyle -u^{b}\nabla ^{a}F_{ab}={\sqrt {g_{tt}}}R_{00}u^{a}u^{b}={\sqrt {g_{tt}}}R_{ab}u^{a}u^{b}}$

Таким образом, мы можем написать

${\displaystyle m={\frac {\sqrt {g_{tt}}}{4\pi }}\int _{V}R_{ab}u^{a}u^{b}}$

В любой вакуумной области пространства-времени все компоненты тензора Риччи должны быть равны нулю. Это показывает, что включение любого количества вакуума не изменит наш объемный интеграл. Это также означает, что наш объемный интеграл будет постоянным для любой охватывающей поверхности, пока мы заключаем всю гравитирующую массу внутри нашей поверхности. Поскольку теорема Стокса гарантирует, что наш поверхностный интеграл равен вышеуказанному объемному интегралу, наш поверхностный интеграл также будет независим от охватывающей поверхности, пока поверхность охватывает всю гравитирующую массу.

Используя уравнения поля Эйнштейна

${\displaystyle G^{u}{}_{v}=R^{u}{}_{v}-{\frac {1}{2}}RI^{u}{}_{v}=8\pi T^{u}{}_{v}}$

Полагая u=v и суммируя, мы можем показать, что ${\displaystyle R=-8\pi T.}$

Это позволяет нам переписать нашу формулу массы как объемный интеграл тензора энергии-напряжения.

${\displaystyle m=\int _{V}{\sqrt {g_{tt}}}\left(2T_{ab}-Tg_{ab}\right)u^{a}u^{b}dV}$

где

• V — объем, по которому производится интегрирование;
• T _ab — тензор энергии-напряжения ;
• u ^a — единичный вектор времени, такой что u ^a u _a = -1.

Масса Комара как интеграл объема - общая стационарная метрика

Чтобы формула для массы Комара работала для общей стационарной метрики, независимо от выбора координат, ее нужно немного изменить. Мы представим применимый результат из (Wald, 1984 eq 11.2.10) без формального доказательства.

${\displaystyle m=\int _{V}\left(2T_{ab}-Tg_{ab}\right)u^{a}\xi ^{b}dV,}$

где

• V — это объем, который интегрируется
• T _ab — тензор энергии-напряжения ;
• u ^a — единичный вектор времени, такой что u ^a u _a = -1;
• ${\displaystyle \xi ^{b}}$является вектором Киллинга , который выражает симметрию временного сдвига любой стационарной метрики . Вектор Киллинга нормализован так, что он имеет единичную длину на бесконечности, т. е. так, что на бесконечности. ${\displaystyle \xi ^{a}\xi _{a}=-1}$

Обратите внимание, что заменяет в нашем мотивационном результате. ${\displaystyle \xi ^{b}}$ ${\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}u^{b}\,}$

Если ни один из метрических коэффициентов не является функцией времени, ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \xi ^{a}=(1,0,0,0).}$

Хотя нет необходимости выбирать координаты для стационарного пространства-времени таким образом, чтобы метрические коэффициенты не зависели от времени, часто это удобно .

Когда мы выбираем такие координаты, времениподобный вектор Киллинга для нашей системы становится скалярным кратным единичного вектора координаты-времени, т.е. в этом случае мы можем переписать нашу формулу как ${\displaystyle \xi ^{a}}$ ${\displaystyle u^{a},}$ ${\displaystyle \xi ^{a}=Ku^{a}.}$

${\displaystyle m=\int _{V}\left(2T_{00}-Tg_{00}\right)KdV}$

Поскольку по определению является единичным вектором, K — это просто длина , т.е. K = . ${\displaystyle u^{a}}$ ${\displaystyle \xi ^{b}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}}$

Оценивая фактор «красного смещения» K на основе наших знаний о компонентах , мы можем видеть, что K = . ${\displaystyle \xi ^{a}}$ ${\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}}$

Если мы выберем наши пространственные координаты так, чтобы у нас была локально минковская метрика, мы знаем, что ${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}}$

${\displaystyle g_{00}=-1,T=-T_{00}+T_{11}+T_{22}+T_{33}}$

При таком выборе координат мы можем записать наш интеграл Комара как

${\displaystyle m=\int _{V}{\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}\left(T_{00}+T_{11}+T_{22}+T_{33}\right)dV}$

Хотя мы не можем выбрать систему координат, чтобы сделать искривленное пространство-время глобально минковским, приведенная выше формула дает некоторое представление о значении формулы массы Комара. По сути, и энергия, и давление вносят вклад в массу Комара. Более того, вклад локальной энергии и массы в массу системы умножается на локальный фактор «красного смещения» ${\displaystyle K={\sqrt {g_{tt}}}={\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}}$

Масса Комара как поверхностный интеграл - общая стационарная метрика

Мы также хотим дать общий результат для выражения массы Комара в виде поверхностного интеграла.

Формула для массы Комара через метрику и ее вектор Киллинга имеет вид (Wald, 1984, стр. 289, формула 11.2.9)

${\displaystyle m=-{\frac {1}{8\pi }}\int _{S}\epsilon _{abcd}\nabla ^{c}\xi ^{d}}$

где — символы Леви-Чивиты , а — вектор Киллинга нашей стационарной метрики , нормализованный так, что на бесконечности. ${\displaystyle \epsilon _{abcd}}$ ${\displaystyle \xi ^{d}}$ ${\displaystyle \xi ^{a}\xi _{a}=-1}$

Поверхностный интеграл выше интерпретируется как «естественный» интеграл двумерной формы по многообразию.

Как упоминалось ранее, если ни один из метрических коэффициентов не является функцией времени, ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \xi ^{a}=\left(1,0,0,0\right)}$

Смотрите также

• суперпотенциал Комара
• Масса в общей теории относительности

Примечания

1. Комар, Артур (1963-02-15). «Положительно-определенная плотность энергии и глобальные последствия для общей теории относительности». Physical Review . 129 (4). Американское физическое общество (APS): 1873–1876. Bibcode : 1963PhRv..129.1873K. doi : 10.1103/physrev.129.1873. ISSN  0031-899X.

Ссылки

• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-87033-2.
• Мизнер, Торн, Уилер (1973). Гравитация . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)