Параметр масштаба

Статистическая мера

В теории вероятностей и статистике масштабный параметр — это особый вид числового параметра параметрического семейства вероятностных распределений . Чем больше параметр масштаба, тем более разбросано распределение.

Определение

Если семейство вероятностных распределений таково, что существует параметр s (и другие параметры θ ), для которого кумулятивная функция распределения удовлетворяет условию

${\displaystyle F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),\!}$

тогда s называется параметром масштаба , поскольку его значение определяет « масштаб » или статистическую дисперсию распределения вероятностей. Если s велико, распределение будет более разбросанным; если s мало, то концентрация будет более высокой.

Анимация, показывающая влияние параметра масштаба на распределение вероятностей, поддерживаемое положительной действительной линией.

Влияние параметра масштаба на смесь двух нормальных распределений вероятностей

Если плотность вероятности существует для всех значений полного набора параметров, то плотность (только как функция параметра масштаба) удовлетворяет условию

${\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!}$

где f — плотность стандартизированной версии плотности, т.е. ${\displaystyle f(x)\equiv f_{s=1}(x)}$

Оценка параметра масштаба называется оценкой масштаба.

Семейства с параметрами местоположения

В случае, когда параметризованное семейство имеет параметр местоположения , часто используется немного другое определение, а именно: Если мы обозначим параметр местоположения через , а параметр масштаба через , то нам потребуется, чтобы где находится cmd для параметризованного семейства. ^[1] Эта модификация необходима для того, чтобы стандартное отклонение нецентральной гауссианы было параметром масштаба, поскольку в противном случае среднее значение изменится при изменении масштаба . Однако это альтернативное определение не используется постоянно. ^[2] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F(x;s,m,\theta )=F((x-m)/s;1,0,\theta )}$ ${\displaystyle F(x,s,m,\theta )}$ ${\displaystyle x}$

Простые манипуляции

Мы можем записать в терминах , следующим образом: ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle g(x)=x/s}$

${\displaystyle f_{s}(x)=f\left({\frac {x}{s}}\right)\cdot {\frac {1}{s}}=f(g(x))g'(x).}$

Поскольку f является функцией плотности вероятности, она интегрируется до единицы:

${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.}$

Тогда по правилу замены интегрального исчисления имеем

${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.}$

Так что это также правильно нормализовано. ${\displaystyle f_{s}}$

Параметр скорости

Некоторые семейства распределений используют параметр скорости (или « параметр обратного масштаба »), который является просто обратной величиной параметра масштаба . Так, например, экспоненциальное распределение с параметром масштаба β и плотностью вероятности

${\displaystyle f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0}$

эквивалентно может быть записано с параметром скорости λ как

${\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.}$

Примеры

• Равномерное распределение можно параметризовать параметром местоположения и параметром масштаба . ${\displaystyle (a+b)/2}$ ${\displaystyle |b-a|}$
• Нормальное распределение имеет два параметра: параметр местоположения и параметр масштаба . На практике нормальное распределение часто параметризуется в виде квадрата шкалы , который соответствует дисперсии распределения . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$
• Гамма- распределение обычно параметризуется с помощью масштабного параметра или обратного ему параметра. ${\displaystyle \theta }$
• Частные случаи распределений, когда параметр масштаба равен единице, при определенных условиях можно назвать «стандартными». Например, если параметр местоположения равен нулю, а параметр масштаба равен единице, нормальное распределение называется стандартным нормальным распределением, а распределение Коши — стандартным распределением Коши.

Оценка

Статистику можно использовать для оценки параметра масштаба, если она:

• Является ли местоположение инвариантным,
• Масштабируется линейно с параметром масштаба и
• Сходится по мере увеличения размера выборки.

Этим требованиям удовлетворяют различные меры статистической дисперсии . Чтобы сделать статистику непротиворечивой оценкой параметра масштаба, обычно необходимо умножить статистику на постоянный масштабный коэффициент . Этот масштабный коэффициент определяется как теоретическое значение значения, полученного путем деления требуемого параметра масштаба на асимптотическое значение статистики. Обратите внимание, что масштабный коэффициент зависит от рассматриваемого распределения.

Например, чтобы использовать медианное абсолютное отклонение (MAD) для оценки стандартного отклонения нормального распределения , необходимо умножить его на коэффициент

${\displaystyle 1/\Phi ^{-1}(3/4)\approx 1.4826,}$

где Φ ⁻¹ — функция квантиля (обратная кумулятивной функции распределения ) для стандартного нормального распределения. (Подробнее см. в MAD .) То есть MAD не является непротиворечивой оценкой стандартного отклонения нормального распределения, а 1,4826... MAD является непротиворечивой оценкой. Аналогично, среднее абсолютное отклонение необходимо умножить примерно на 1,2533, чтобы получить последовательную оценку стандартного отклонения. Для оценки стандартного отклонения потребовались бы разные факторы, если бы популяция не следовала нормальному распределению.

Смотрите также

• Главная тенденция
• Инвариантная оценка
• Параметр местоположения
• Семья в масштабе местоположения
• Распространение, сохраняющее среднее значение
• Масштабная смесь
• Параметр формы
• Статистическая дисперсия

Рекомендации

1. Прохоров А.В. (7 февраля 2011 г.). «Масштабный параметр». Энциклопедия математики . Спрингер . Проверено 7 февраля 2019 г.
2. Коски, Тимо. «Масштабный параметр». Королевский технологический институт KTH . Проверено 7 февраля 2019 г.

дальнейшее чтение

• Настроение, утро; Грейбилл, ФА; Боес, округ Колумбия (1974). «VII.6.2 Масштабная инвариантность ». Введение в теорию статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.