Измененный диапазон

Перемасштабированный диапазон — это статистическая мера изменчивости временного ряда, введенная британским гидрологом Гарольдом Эдвином Херстом (1880–1978). ^[1] Ее цель — дать оценку того, как кажущаяся изменчивость ряда изменяется с длиной рассматриваемого периода времени.

Перемасштабированный диапазон временного ряда вычисляется путем деления диапазона его среднего скорректированного кумулятивного отклоняющегося ряда (см. § Расчет) на стандартное отклонение самого временного ряда. Например, рассмотрим временной ряд {1,3,1,0,2,5}, который имеет среднее m = 2 и стандартное отклонение S = 1,79. Вычитание m из каждого значения ряда дает средний скорректированный ряд {-1,1,-1,-2,0,3}. Для расчета кумулятивного отклоняющегося ряда мы берем первое значение -1, затем сумму первых двух значений -1+1=0, затем сумму первых трех значений и так далее, чтобы получить {-1,0,-1,-3,-3,0}, диапазон которого равен R = 3, поэтому перемасштабированный диапазон равен R/S = 1,68.

Если мы рассмотрим тот же временной ряд, но увеличим число его наблюдений, то перемасштабированный диапазон, как правило, также увеличится. Увеличение перемасштабированного диапазона можно охарактеризовать, построив график логарифма R/S в зависимости от логарифма числа выборок. Наклон этой линии дает показатель Херста , H. Если временной ряд генерируется случайным блужданием (или процессом броуновского движения ), он имеет значение H = 1/2. Многие физические явления, имеющие длинный временной ряд, подходящий для анализа, демонстрируют показатель Херста больше 1/2. Например, наблюдения за высотой реки Нил , измеряемые ежегодно в течение многих лет, дают значение H = 0,77.

Несколько исследователей (включая Петерса , 1991) обнаружили, что цены многих финансовых инструментов (таких как курсы валют, стоимость акций и т. д.) также имеют H > 1/2. ^[2] Это означает, что они имеют поведение, отличное от случайного блуждания, и, следовательно, временной ряд не генерируется стохастическим процессом , который имеет n-ное значение, независимое от всех значений до этого. Согласно модели ^[3] дробного броуновского движения, это называется долгой памятью положительной линейной автокорреляции. Однако было показано ^[4] , что эта мера верна только для линейной оценки: сложные нелинейные процессы с памятью нуждаются в дополнительных описательных параметрах. Несколько исследований, использующих модифицированную статистику перемасштабированного диапазона Ло ^[5] , также противоречат результатам Петерса.

Расчет

Перемасштабированный диапазон рассчитывается для временного ряда следующим образом: ^[6] ${\displaystyle X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,}$

1. Рассчитайте среднее значение

   ${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,}$

2. Создать ряд с поправкой на среднее значение

   ${\displaystyle Y_{t}=X_{t}-m{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,}$

3. Рассчитайте кумулятивный ряд отклонений Z;

   ${\displaystyle Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,}$

4. Создать ряд R;

   ${\displaystyle R_{t}=\max \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{t}\right)-\min \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{t}\right){\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,}$

5. Создайте ряд стандартного отклонения S;

   ${\displaystyle S_{t}={\sqrt {{\frac {1}{t}}\sum _{i=1}^{t}\left(X_{i}-m(t)\right)^{2}}}{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,}$

   Где m(t) — среднее значение для значений временного ряда с течением времени ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}\,}$

6. Рассчитайте перемасштабированный ряд размаха (R/S)

   ${\displaystyle \left(R/S\right)_{t}={\frac {R_{t}}{S_{t}}}{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,}$

Ло (1991) выступает за корректировку стандартного отклонения для ожидаемого увеличения диапазона в результате краткосрочной автокорреляции во временном ряду. ^[5] Это включает замену на , что является квадратным корнем из ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$

${\displaystyle {\hat {S}}^{2}=S^{2}+2\sum _{j=1}^{q}\left(1-{\frac {j}{q+1}}\right)C(j),}$

где — некоторый максимальный лаг, при котором краткосрочная автокорреляция может быть существенной, а — выборочная автоковариация при лаге . Используя этот скорректированный перемасштабированный диапазон, он приходит к выводу, что временные ряды доходности фондового рынка не демонстрируют признаков долгосрочного запоминающего устройства. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle C(j)}$ ${\displaystyle j}$

Смотрите также

• Фрактал
• Дробное броуновское движение
• Толстый хвост

Ссылки

1. Херст, Х. Э. (1951). «Долгосрочная емкость водохранилищ». Trans. Am. Soc. Eng . 116 : 770–799.
2. Питерс, Э. Э. (1991). Хаос и порядок на рынках капитала . John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-53372-6.
3. Мандельброт, Б. (1968). «Дробные броуновские движения, дробные шумы и приложения». Обзор SIAM . 10 (4): 422–437. Bibcode : 1968SIAMR..10..422M. doi : 10.1137/1010093.
4. Каменщиков, С. (2014). «Анализ транспортных катастроф как альтернатива монофрактальному описанию: теория и применение к временным рядам финансовых кризисов». Журнал хаоса . 2014 : 1–8. doi : 10.1155/2014/346743 .
5. Lo, A. (1991). «Долгосрочная память в ценах фондового рынка» (PDF) . Econometrica . 59 (5): 1279–1313. doi :10.2307/2938368. hdl : 1721.1/2245 . JSTOR  2938368.
6. Бо Цянь; Халед Рашид (2004). ЭКСПОНЕНТ ХЕРСТА И ПРЕДСКАЗУЕМОСТЬ ФИНАНСОВОГО РЫНКА . Конференция IASTED «Финансовый инжиниринг и приложения» (FEA 2004). стр. 203–209. CiteSeerX 10.1.1.137.207 . 

Дальнейшее чтение

• Херст, Х. Э.; Блэк, Р. П.; Симайка, Ю. М. (1965). Долгосрочное хранение: экспериментальное исследование . Лондон: Констебль.
• Беран, Дж. (1994). Статистика процессов долгой памяти . Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-04901-9.
• Thiele, TA (2014). «Мультимасштабирование и эффективность фондового рынка в Китае». Обзор финансовых рынков и политики Тихоокеанского бассейна . 17 (4): 1450023. doi :10.1142/S0219091514500234.

Внешние ссылки

• Код Matlab для вычисления R/S, DFA, регрессии периодограммы и вейвлет-оценок показателя Херста и соответствующих им доверительных интервалов доступен на RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• Реализация на Python: https://github.com/Mottl/hurst