Математическая формулировка квантовой механики

Математические структуры, позволяющие объяснить квантовую механику

Математические формулировки квантовой механики — это математические формализмы , которые позволяют строго описывать квантовую механику . Этот математический формализм в основном использует часть функционального анализа , особенно гильбертовы пространства , которые являются разновидностью линейного пространства . Они отличаются от математических формализмов для физических теорий, разработанных до начала 1900-х годов, использованием абстрактных математических структур, таких как бесконечномерные гильбертовы пространства ( в основном пространство L2 ) , и операторов в этих пространствах. Короче говоря, значения физических наблюдаемых, таких как энергия и импульс, больше не рассматривались как значения функций в фазовом пространстве , а как собственные значения ; точнее, как спектральные значения линейных операторов в гильбертовом пространстве. ^[1]

Эти формулировки квантовой механики продолжают использоваться и сегодня. В основе описания лежат идеи квантового состояния и квантовых наблюдаемых , которые радикально отличаются от тех, которые использовались в предыдущих моделях физической реальности. Хотя математика позволяет вычислять многие величины, которые можно измерить экспериментально, существует определенный теоретический предел значений, которые можно измерить одновременно. Это ограничение было впервые разъяснено Гейзенбергом с помощью мысленного эксперимента и представлено математически в новом формализме некоммутативностью операторов , представляющих квантовые наблюдаемые.

До развития квантовой механики как отдельной теории , математика, используемая в физике, состояла в основном из формального математического анализа , начиная с исчисления , и увеличиваясь по сложности до дифференциальной геометрии и уравнений в частных производных . Теория вероятностей использовалась в статистической механике . Геометрическая интуиция играла сильную роль в первых двух и, соответственно, теории относительности были сформулированы полностью в терминах дифференциально-геометрических понятий. Феноменология квантовой физики возникла примерно между 1895 и 1915 годами, и в течение 10-15 лет до развития квантовой механики (около 1925 года) физики продолжали думать о квантовой теории в рамках того, что сейчас называется классической физикой , и в частности в пределах тех же математических структур. Наиболее сложным примером этого является правило квантования Зоммерфельда-Уилсона-Ишивары , которое было сформулировано полностью на классическом фазовом пространстве .

История формализма

«Старая квантовая теория» и необходимость новой математики

В 1890-х годах Планк смог вывести спектр черного тела , который позже использовался для предотвращения классической ультрафиолетовой катастрофы , сделав неортодоксальное предположение, что при взаимодействии электромагнитного излучения с материей обмен энергией может происходить только дискретными единицами, которые он назвал квантами . Планк постулировал прямую пропорциональность между частотой излучения и квантом энергии на этой частоте. Константа пропорциональности, h , теперь называется постоянной Планка в его честь.

В 1905 году Эйнштейн объяснил некоторые особенности фотоэлектрического эффекта , предположив, что кванты энергии Планка — это реальные частицы, которые позже были названы фотонами .

свет на правильной частоте

Все эти разработки были феноменологическими и бросали вызов теоретической физике того времени. Бор и Зоммерфельд продолжили модифицировать классическую механику , пытаясь вывести модель Бора из первых принципов. Они предположили, что из всех замкнутых классических орбит, отслеживаемых механической системой в ее фазовом пространстве, на самом деле разрешены только те, которые охватывают область, кратную постоянной Планка. Наиболее сложной версией этого формализма было так называемое квантование Зоммерфельда–Уилсона–Ишивары . Хотя модель атома водорода Бора можно было объяснить таким образом, спектр атома гелия (классически неразрешимая задача трех тел ) не мог быть предсказан. Математический статус квантовой теории некоторое время оставался неопределенным.

В 1923 году де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой дуализм применим не только к фотонам, но и к электронам и любой другой физической системе.

Ситуация быстро изменилась в 1925–1930 годах, когда были найдены рабочие математические основы благодаря новаторским работам Эрвина Шредингера , Вернера Гейзенберга , Макса Борна , Паскуаля Йордана и основополагающим работам Джона фон Неймана , Германа Вейля и Поля Дирака , и стало возможным объединить несколько различных подходов с точки зрения нового набора идей. Физическая интерпретация теории также была прояснена в эти годы после того, как Вернер Гейзенберг открыл соотношения неопределенностей, а Нильс Бор ввел идею дополнительности .

«Новая квантовая теория»

Матричная механика Вернера Гейзенберга была первой успешной попыткой воспроизвести наблюдаемое квантование атомных спектров . Позже в том же году Шредингер создал свою волновую механику . Формализм Шредингера считался более простым для понимания, визуализации и вычисления, поскольку он приводил к дифференциальным уравнениям , с решением которых физики уже были знакомы. В течение года было показано, что две теории эквивалентны.

Сам Шредингер изначально не понимал фундаментальной вероятностной природы квантовой механики, поскольку считал, что абсолютный квадрат волновой функции электрона следует интерпретировать как плотность заряда объекта, размазанную по протяженному, возможно бесконечному, объему пространства. Именно Макс Борн ввел интерпретацию абсолютного квадрата волновой функции как распределения вероятностей положения точечного объекта . Идею Борна вскоре подхватил Нильс Бор в Копенгагене, который затем стал «отцом» копенгагенской интерпретации квантовой механики. Можно видеть, что волновая функция Шредингера тесно связана с классическим уравнением Гамильтона-Якоби . Соответствие классической механике было еще более явным, хотя и несколько более формальным, в матричной механике Гейзенберга. В своей докторской диссертации Поль Дирак ^[2] обнаружил, что уравнение для операторов в представлении Гейзенберга , как его теперь называют, близко к классическим уравнениям для динамики определенных величин в гамильтоновом формализме классической механики, если выразить их через скобки Пуассона , процедуру, которая теперь известна как каноническое квантование .

Еще до Шредингера молодой постдокторант Вернер Гейзенберг изобрел свою матричную механику , которая была первой правильной квантовой механикой – существенным прорывом. Формулировка матричной механики Гейзенберга была основана на алгебрах бесконечных матриц, очень радикальной формулировке в свете математики классической физики, хотя он исходил из индексной терминологии экспериментаторов того времени, даже не подозревая, что его «индексные схемы» были матрицами, на что вскоре указал ему Борн. Фактически, в эти ранние годы линейная алгебра в ее нынешнем виде не была в целом популярна среди физиков.

Хотя сам Шредингер через год доказал эквивалентность своей волновой механики и матричной механики Гейзенберга, примирение двух подходов и их современная абстракция как движений в гильбертовом пространстве обычно приписываются Полю Дираку, который написал ясный отчет в своей классической работе 1930 года « Принципы квантовой механики» . Он является третьим и, возможно, самым важным столпом этой области (вскоре он оказался единственным, кто открыл релятивистское обобщение теории). В своем вышеупомянутом отчете он ввел обозначение скобок вместе с абстрактной формулировкой в ​​терминах гильбертова пространства , используемой в функциональном анализе; он показал, что подходы Шредингера и Гейзенберга были двумя различными представлениями одной и той же теории, и нашел третий, наиболее общий, который представлял динамику системы. Его работа была особенно плодотворной во многих типах обобщений этой области.

Первая полная математическая формулировка этого подхода, известная как аксиомы Дирака–фон Неймана , обычно приписывается книге Джона фон Неймана 1932 года « Математические основы квантовой механики» , хотя Герман Вейль уже ссылался на гильбертовы пространства (которые он называл унитарными пространствами ) в своей классической статье и книге 1927 года. Она была разработана параллельно с новым подходом к математической спектральной теории, основанной на линейных операторах, а не на квадратичных формах , которые были подходом Дэвида Гильберта поколением ранее. Хотя теории квантовой механики продолжают развиваться и по сей день, существует базовая структура для математической формулировки квантовой механики, которая лежит в основе большинства подходов и может быть прослежена до математических работ Джона фон Неймана. Другими словами, обсуждения об интерпретации теории и ее расширениях в настоящее время в основном проводятся на основе общих предположений о математических основах.

Дальнейшие события

Применение новой квантовой теории к электромагнетизму привело к появлению квантовой теории поля , которая развивалась с 1930 года. Квантовая теория поля способствовала развитию более сложных формулировок квантовой механики, из которых представленные здесь являются простыми частными случаями.

• Формулировка интеграла по траектории
• Формулировка квантовой механики в фазовом пространстве и геометрическое квантование
• квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени
• аксиоматическая , алгебраическая и конструктивная квантовая теория поля
• C* -формализм алгебры
• Обобщенная статистическая модель квантовой механики

Связанная тема — связь с классической механикой. Любая новая физическая теория должна сводиться к успешным старым теориям в некотором приближении. Для квантовой механики это означает необходимость изучения так называемого классического предела квантовой механики . Кроме того, как подчеркивал Бор, когнитивные способности и язык человека неразрывно связаны с классической сферой, и поэтому классические описания интуитивно более доступны, чем квантовые. В частности, квантование , а именно построение квантовой теории, классический предел которой — заданная и известная классическая теория, само по себе становится важной областью квантовой физики.

Наконец, некоторые из создателей квантовой теории (в частности, Эйнштейн и Шредингер) были недовольны тем, что они считали философскими следствиями квантовой механики. В частности, Эйнштейн занял позицию, что квантовая механика должна быть неполной, что побудило исследования в области так называемых теорий скрытых переменных . Проблема скрытых переменных стала отчасти экспериментальной проблемой с помощью квантовой оптики .

Постулаты квантовой механики

Физическая система обычно описывается тремя основными ингредиентами: состояниями ; наблюдаемыми ; и динамикой (или законом эволюции во времени ) или, в более общем смысле, группой физических симметрий . Классическое описание может быть дано довольно прямым способом с помощью модели фазового пространства механики: состояния являются точками в фазовом пространстве, сформулированном симплектическим многообразием , наблюдаемые являются действительнозначными функциями на нем, эволюция во времени задается однопараметрической группой симплектических преобразований фазового пространства, а физические симметрии реализуются симплектическими преобразованиями. Квантовое описание обычно состоит из гильбертова пространства состояний, наблюдаемые являются самосопряженными операторами на пространстве состояний, эволюция во времени задается однопараметрической группой унитарных преобразований на гильбертовом пространстве состояний, а физические симметрии реализуются унитарными преобразованиями . (Возможно, отобразить эту картину гильбертова пространства в формулировку фазового пространства обратимо. См. ниже.)

Следующее краткое изложение математической основы квантовой механики частично восходит к аксиомам Дирака–фон Неймана . ^[3]

Описание состояния системы

Каждая изолированная физическая система связана с (топологически) разделимым комплексным гильбертовым пространством H со скалярным произведением ⟨ φ | ψ ⟩ .

Постулат I

Состояние изолированной физической системы в фиксированный момент времени представлено вектором состояния , принадлежащим гильбертову пространству, называемому пространством состояний . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Разделимость — это математически удобная гипотеза с физической интерпретацией, что состояние однозначно определяется счетным числом наблюдений. Квантовые состояния можно идентифицировать с помощью классов эквивалентности в H , где два вектора (длиной 1) представляют одно и то же состояние, если они отличаются только фазовым множителем . [ ^4] Таким образом, квантовые состояния образуют луч в проективном гильбертовом пространстве , а не вектор . Во многих учебниках это различие не проводится, что может быть отчасти результатом того, что само уравнение Шредингера включает в себя «векторы» гильбертова пространства, в результате чего очень трудно избежать неточного использования «вектора состояния» вместо луча . ^[5]

Сопутствующий постулат I – это составной системный постулат: ^[6]

Постулат составной системы

Гильбертово пространство составной системы — это тензорное произведение гильбертова пространства пространств состояний, связанных с компонентными системами. Для нерелятивистской системы, состоящей из конечного числа различимых частиц, компонентные системы — это отдельные частицы.

При наличии квантовой запутанности квантовое состояние составной системы не может быть разложено как тензорное произведение состояний ее локальных составляющих; Вместо этого оно выражается как сумма или суперпозиция тензорных произведений состояний составляющих подсистем. Подсистема в запутанной составной системе в общем случае не может быть описана вектором состояния (или лучом), но вместо этого описывается оператором плотности ; Такое квантовое состояние известно как смешанное состояние . Оператор плотности смешанного состояния является классом следа , неотрицательным ( положительно полуопределенным ) самосопряженным оператором ρ, нормализованным так, чтобы иметь след 1. В свою очередь, любой оператор плотности смешанного состояния может быть представлен как подсистема более крупной составной системы в чистом состоянии (см. теорему об очистке ).

При отсутствии квантовой запутанности квантовое состояние составной системы называется разделимым состоянием . Матрица плотности двухчастичной системы в разделимом состоянии может быть выражена как , где . Если имеется только один ненулевой , то состояние может быть выражено так же как и называется просто разделимым или продуктным состоянием. ${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}}$ ${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$

Измерение в системе

Описание физических величин

Физические наблюдаемые представлены эрмитовыми матрицами на H. Поскольку эти операторы являются эрмитовыми, их собственные значения всегда действительны и представляют возможные исходы/результаты измерения соответствующей наблюдаемой. Если спектр наблюдаемой дискретен , то возможные результаты квантуются .

Постулат II.а

Каждая измеримая физическая величина описывается эрмитовым оператором, действующим в пространстве состояний . Этот оператор является наблюдаемой, что означает, что его собственные векторы образуют базис для . Результат измерения физической величины должен быть одним из собственных значений соответствующей наблюдаемой . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$

Результаты измерений

С помощью спектральной теории мы можем связать вероятностную меру со значениями A в любом состоянии ψ . Мы также можем показать, что возможные значения наблюдаемой A в любом состоянии должны принадлежать спектру A. Ожидаемое значение ( в смысле теории вероятностей) наблюдаемой A для системы в состоянии, представленном единичным вектором ψ ∈ H, равно . Если мы представим состояние ψ в базисе, образованном собственными векторами A , то квадрат модуля компонента, присоединенного к данному собственному вектору, является вероятностью наблюдения его соответствующего собственного значения. ${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle }$

Постулат II.б

Когда физическая величина измеряется в системе, находящейся в нормализованном состоянии , вероятность получения собственного значения (обозначаемого для дискретных спектров и для непрерывных спектров) соответствующей наблюдаемой величины определяется квадратом амплитуды соответствующей волновой функции (проекция на соответствующий собственный вектор). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (a_{n})&=|\langle a_{n}|\psi \rangle |^{2}&{\text{(Discrete, nondegenerate spectrum)}}\\\mathbb {P} (a_{n})&=\sum _{i}^{g_{n}}|\langle a_{n}^{i}|\psi \rangle |^{2}&{\text{(Discrete, degenerate spectrum)}}\\d\mathbb {P} (\alpha )&=|\langle \alpha |\psi \rangle |^{2}d\alpha &{\text{(Continuous, nondegenerate spectrum)}}\end{aligned}}}$

Для смешанного состояния ρ ожидаемое значение A в состоянии ρ равно , а вероятность получения собственного значения в дискретном невырожденном спектре соответствующей наблюдаемой определяется выражением . ${\displaystyle \operatorname {tr} (A\rho )}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle }$

Если собственное значение имеет вырожденные ортонормированные собственные векторы , то оператор проекции на собственное подпространство можно определить как оператор тождества в собственном подпространстве: и тогда . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}}$ $${\displaystyle P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|,}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )}$

Постулаты II.a и II.b в совокупности известны как правило Борна в квантовой механике.

Влияние измерения на состояние

При выполнении измерения получается только один результат (согласно некоторым интерпретациям квантовой механики ). Математически это моделируется как обработка дополнительной информации из измерения, ограничивающая вероятности немедленного второго измерения того же наблюдаемого. В случае дискретного невырожденного спектра два последовательных измерения того же наблюдаемого всегда дадут одно и то же значение, предполагая, что второе следует сразу за первым. Следовательно, вектор состояния должен измениться в результате измерения и схлопнуться в собственное подпространство, связанное с измеренным собственным значением.

Постулат II.c

Если измерение физической величины на системе в состоянии дает результат , то состояние системы сразу после измерения представляет собой нормированную проекцию на собственное подпространство, связанное с ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle |\psi \rangle \quad {\overset {a_{n}}{\Longrightarrow }}\quad {\frac {P_{n}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |P_{n}|\psi \rangle }}}}$

Для смешанного состояния ρ после получения собственного значения в дискретном невырожденном спектре соответствующей наблюдаемой обновленное состояние задается как . Если собственное значение имеет вырожденные ортонормальные собственные векторы , то оператор проекции на собственное подпространство равен . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}}$ ${\displaystyle P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|}$

Постулаты II.c иногда называют «правилом обновления состояния» или «правилом коллапса»; вместе с правилом Борна (постулаты II.a и II.b) они образуют полное представление измерений и иногда все вместе называются постулатом(ами) измерений.

Обратите внимание, что проекционно-значные меры (PVM), описанные в постулате(ах) измерения, могут быть обобщены до положительных операторно-значных мер (POVM), что является наиболее общим видом измерения в квантовой механике. POVM можно понимать как эффект на компонентную подсистему, когда PVM выполняется на более крупной составной системе (см. теорему Наймарка о расширении ).

Временная эволюция системы

Хотя можно вывести уравнение Шредингера, которое описывает, как вектор состояния эволюционирует во времени, большинство текстов утверждают это уравнение как постулат. Обычные выводы включают использование гипотезы де Бройля или интегралов по траектории .

Постулат III

Временная эволюция вектора состояния регулируется уравнением Шредингера, где — наблюдаемая величина, связанная с полной энергией системы (называемая гамильтонианом ). ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle H(t)}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle }$

Эквивалентно постулат эволюции во времени можно сформулировать следующим образом:

Постулат III

Временная эволюция замкнутой системы описывается унитарным преобразованием начального состояния.

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t;t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$

Для замкнутой системы в смешанном состоянии ρ временная эволюция равна . ${\displaystyle \rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})}$

Эволюция открытой квантовой системы может быть описана квантовыми операциями (в формализме операторной суммы ) и квантовыми инструментами и, как правило, не обязательно должна быть унитарной.

Другие следствия постулатов

• Физические симметрии действуют на гильбертово пространство квантовых состояний унитарно или антиунитарно в силу теоремы Вигнера ( суперсимметрия — это совсем другое дело).
• Операторы плотности — это те, которые находятся в замыкании выпуклой оболочки одномерных ортогональных проекторов. И наоборот, одномерные ортогональные проекторы являются крайними точками множества операторов плотности. Физики также называют одномерные ортогональные проекторы чистыми состояниями , а другие операторы плотности — смешанными состояниями .
• В этом формализме можно сформулировать принцип неопределенности Гейзенберга и доказать его как теорему, хотя точная историческая последовательность событий, касающихся того, кто что вывел и в каких рамках, является предметом исторических исследований, выходящих за рамки данной статьи.
• Недавние исследования показали ^[7] , что постулат составной системы (постулат тензорного произведения) может быть выведен из постулата состояния (постулат I) и постулатов измерения (постулаты II); Более того, также было показано ^[8] , что постулаты измерения (постулаты II) могут быть выведены из «унитарной квантовой механики», которая включает только постулат состояния (постулат I), постулат составной системы (постулат тензорного произведения) и постулат унитарной эволюции (постулат III).

Кроме того, к постулатам квантовой механики следует также добавить основные положения о свойствах спина и принцип исключения Паули , см. ниже.

Вращаться

В дополнение к другим свойствам все частицы обладают величиной, называемой спином , собственным угловым моментом . Несмотря на название, частицы буквально не вращаются вокруг оси, а квантово-механический спин не имеет соответствия в классической физике. В позиционном представлении бесспиновая волновая функция имеет позицию r и время t как непрерывные переменные, ψ = ψ ( r , t ) . Для спиновых волновых функций спин является дополнительной дискретной переменной: ψ = ψ ( r , t , σ ) , где σ принимает значения; $${\displaystyle \sigma =-S\hbar ,-(S-1)\hbar ,\dots ,0,\dots ,+(S-1)\hbar ,+S\hbar \,.}$$

То есть состояние отдельной частицы со спином S представлено (2 S + 1) -компонентным спинором комплекснозначных волновых функций.

Два класса частиц с совершенно разным поведением — это бозоны , имеющие целый спин ( S = 0, 1, 2, ... ), и фермионы, обладающие полуцелым спином ( S = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 , ... ).

Постулат симметризации

В квантовой механике две частицы можно отличить друг от друга двумя способами. Выполняя измерение внутренних свойств каждой частицы, можно отличить частицы разных типов. В противном случае, если частицы идентичны, можно отследить их траектории, что позволяет отличить частицы на основе локальности каждой частицы. В то время как второй способ допускается в классической механике (т. е. все классические частицы рассматриваются с различимостью), этого нельзя сказать о квантово-механических частицах, поскольку этот процесс неосуществим из-за фундаментальных принципов неопределенности, которые управляют малыми масштабами. Следовательно, требование неразличимости квантовых частиц представлено постулатом симметризации. Постулат применим к системе бозонов или фермионов, например, при предсказании спектров атома гелия . Постулат, поясняемый в следующих разделах, можно сформулировать следующим образом:

Постулат симметризации ^[9]

Волновая функция системы из N идентичных частиц (в трехмерном пространстве) либо полностью симметрична (бозоны), либо полностью антисимметрична (фермионы) при замене любой пары частиц.

Исключения могут возникать, когда частицы ограничены двумя пространственными измерениями, где возможно существование частиц, известных как анионы , которые, как говорят, обладают континуумом статистических свойств, охватывающим диапазон между фермионами и бозонами. ^[9] Связь между поведением идентичных частиц и их спином задается теоремой о спиновой статистике .

Можно показать, что две частицы, локализованные в разных областях пространства, по-прежнему могут быть представлены с помощью симметризованной/антисимметризованной волновой функции и что независимая обработка этих волновых функций дает тот же результат. ^[10] Следовательно, постулат симметризации применим в общем случае системы идентичных частиц.

Вырождение обмена

В системе идентичных частиц пусть P — оператор обмена, который действует на волновую функцию следующим образом:

${\displaystyle P{\bigg (}\cdots |\psi \rangle |\phi \rangle \cdots {\bigg )}\equiv \cdots |\phi \rangle |\psi \rangle \cdots }$

Если дана физическая система идентичных частиц, волновая функция всех частиц может быть хорошо известна из наблюдения, но они не могут быть помечены для каждой частицы. Таким образом, вышеобмененная волновая функция представляет то же самое физическое состояние, что и исходное состояние, что подразумевает, что волновая функция не является уникальной. Это известно как обменное вырождение. ^[11]

В более общем случае рассмотрим линейную комбинацию таких состояний, . Для наилучшего представления физической системы мы ожидаем, что это будет собственный вектор P, поскольку оператор обмена не исключает возможности получения совершенно разных векторов в проективном гильбертовом пространстве. Поскольку , возможными собственными значениями P являются +1 и −1. Состояния для идентичной системы частиц представляются как симметричные для собственного значения +1 или антисимметричные для собственного значения -1 следующим образом: ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle P^{2}=1}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

${\displaystyle P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle =+|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle }$

${\displaystyle P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle =-|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle }$

Явная симметричная/антисимметричная форма строится с использованием оператора симметризации или антисимметризации . Частицы, которые образуют симметричные состояния, называются бозонами , а те, которые образуют антисимметричные состояния, называются фермионами. Связь спина с этой классификацией дается теоремой о статистике спина , которая показывает, что частицы с целым спином являются бозонами, а частицы с полуцелым спином являются фермионами. ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Принцип исключения Паули

Свойство спина связано с другим основным свойством, касающимся систем из N идентичных частиц: принципом исключения Паули , который является следствием следующего перестановочного поведения волновой функции N -частицы; снова в позиционном представлении необходимо постулировать, что для перестановки любых двух из N частиц всегда должно быть

принцип Паули

${\displaystyle \psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots )=(-1)^{2S}\cdot \psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots )}$

т.е. при перестановке аргументов любых двух частиц волновая функция должна воспроизводить , за исключением префактора (−1) ^{2 S ,} который равен +1 для бозонов, но ( −1 ) для фермионов . Электроны являются фермионами с S = 1/2 ; кванты света являются бозонами с S = 1 .

Из-за формы антисимметризованной волновой функции:

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|}$

если волновая функция каждой частицы полностью определяется набором квантовых чисел, то два фермиона не могут совместно использовать один и тот же набор квантовых чисел, поскольку результирующая функция не может быть антисимметризирована (т.е. приведенная выше формула дает ноль). То же самое нельзя сказать о бозонах, поскольку их волновая функция равна:

${\displaystyle |x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle ={\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle }$

где — число частиц с одинаковой волновой функцией. ${\displaystyle n_{j}}$

Исключения для постулата симметризации

В нерелятивистской квантовой механике все частицы являются либо бозонами, либо фермионами ; в релятивистских квантовых теориях существуют также «суперсимметричные» теории, где частица является линейной комбинацией бозонной и фермионной частей. Только в размерности d = 2 можно построить сущности, где (−1) ^{2 S} заменено произвольным комплексным числом с величиной 1, называемым анионами . В релятивистской квантовой механике теорема о статистике спина может доказать, что при определенном наборе предположений, что частицы с целым спином классифицируются как бозоны, а частицы с половинным спином классифицируются как фермионы . Анионы, которые не образуют ни симметричных, ни антисимметричных состояний, называются имеющими дробный спин.

Хотя спин и принцип Паули могут быть выведены только из релятивистских обобщений квантовой механики, свойства, упомянутые в последних двух абзацах, принадлежат к основным постулатам уже в нерелятивистском пределе. В частности, многие важные свойства в естествознании, например, периодическая система химии, являются следствиями двух свойств.

Математическая структура квантовой механики

Картины динамики

• В так называемой картине Шредингера квантовой механики динамика задается следующим образом:

  Временная эволюция состояния задается дифференцируемой функцией от действительных чисел R , представляющих моменты времени, в гильбертово пространство состояний системы. Это отображение характеризуется дифференциальным уравнением следующим образом: Если | ψ ( t )⟩ обозначает состояние системы в любой момент времени t , выполняется следующее уравнение Шредингера:

  Уравнение Шредингера (общее)

  ${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle =H\left|\psi (t)\right\rangle }$

  где H — плотно определенный самосопряженный оператор, называемый гамильтонианом системы , i — мнимая единица , а ħ — приведенная постоянная Планка . Как наблюдаемая величина, H соответствует полной энергии системы.

  Альтернативно, по теореме Стоуна можно утверждать, что существует сильно непрерывное однопараметрическое унитарное отображение U ( t ) : H → H такое, что для всех времен s , t . Существование самосопряженного гамильтониана H такого, что является следствием теоремы Стоуна об однопараметрических унитарных группах. Предполагается, что H не зависит от времени и что возмущение начинается при t ₀ = 0 ; в противном случае следует использовать ряд Дайсона , формально записанный как , где — символ упорядочения по времени Дайсона . $${\displaystyle \left|\psi (t+s)\right\rangle =U(t)\left|\psi (s)\right\rangle }$$ $${\displaystyle U(t)=e^{-(i/\hbar )tH}}$$ $${\displaystyle U(t)={\mathcal {T}}\left[\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,H(t')\right)\right],}$$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

  (Этот символ переставляет произведение некоммутирующих операторов формы в однозначно определенное переупорядоченное выражение с $${\displaystyle B_{1}(t_{1})\cdot B_{2}(t_{2})\cdot \dots \cdot B_{n}(t_{n})}$$ $${\displaystyle B_{i_{1}}(t_{i_{1}})\cdot B_{i_{2}}(t_{i_{2}})\cdot \dots \cdot B_{i_{n}}(t_{i_{n}})}$$ ${\displaystyle t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.}$

  Результатом является причинно-следственная цепочка, первичная причина в прошлом на крайнем правом углу и, наконец, настоящее следствие на крайнем левом углу.)
• Гейзенберговская картина квантовой механики фокусируется на наблюдаемых, и вместо того, чтобы рассматривать состояния как изменяющиеся во времени, она рассматривает состояния как фиксированные, а наблюдаемые как изменяющиеся. Чтобы перейти от картины Шредингера к картине Гейзенберга, нужно определить независимые от времени состояния и зависящие от времени операторы следующим образом: Затем легко проверить, что ожидаемые значения всех наблюдаемых одинаковы в обеих картинах и что зависящие от времени операторы Гейзенберга удовлетворяют $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\psi (0)\right\rangle }$$ $${\displaystyle A(t)=U(-t)AU(t).}$$ $${\displaystyle \langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle }$$
  Картина Гейзенберга (общая)

  ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+{\frac {\partial A(t)}{\partial t}},}$

  что верно для зависящего от времени A = A ( t ) . Обратите внимание, что выражение коммутатора является чисто формальным, когда один из операторов неограничен . Можно было бы указать представление для выражения, чтобы придать ему смысл.
• Так называемая картина Дирака или картина взаимодействия имеет зависящие от времени состояния и наблюдаемые, развивающиеся относительно различных гамильтонианов. Эта картина наиболее полезна, когда эволюция наблюдаемых может быть решена точно, ограничивая любые осложнения эволюцией состояний. По этой причине гамильтониан для наблюдаемых называется «свободным гамильтонианом», а гамильтониан для состояний называется «гамильтонианом взаимодействия». В символах:
  Картина Дирака

  ${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle ={H}_{\rm {int}}(t)\left|\psi (t)\right\rangle }$

  ${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A(t)=[A(t),H_{0}].}$

  Однако картина взаимодействия существует не всегда. Во взаимодействующих квантовых теориях поля теорема Хаага утверждает, что картина взаимодействия не существует. Это происходит потому, что гамильтониан не может быть разделен на свободную и взаимодействующую части в секторе суперотбора . Более того, даже если в картине Шредингера гамильтониан не зависит от времени, например, H = H ₀ + V , в картине взаимодействия он зависит, по крайней мере, если V не коммутирует с H ₀ , поскольку $${\displaystyle H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}.}$$

  Поэтому в любом случае придется использовать вышеупомянутую серию Dyson.

  Картина Гейзенберга наиболее близка к классической гамильтоновой механике (например, коммутаторы, появляющиеся в приведенных выше уравнениях, напрямую переводятся в классические скобки Пуассона ); но это уже довольно «высоколобо», а картина Шредингера считается самой простой для визуализации и понимания большинством людей, судя по педагогическим отчетам о квантовой механике. Картина Дирака используется в теории возмущений и особенно связана с квантовой теорией поля и физикой многих тел .

  Аналогичные уравнения можно записать для любой однопараметрической унитарной группы симметрий физической системы. Время можно заменить подходящей координатой, параметризующей унитарную группу (например, углом поворота или расстоянием трансляции), а гамильтониан заменить сохраняющейся величиной, связанной с симметрией (например, угловым или линейным импульсом).

Краткое содержание :

Представления

Первоначальная форма уравнения Шредингера зависит от выбора конкретного представления канонических коммутационных соотношений Гейзенберга . Теорема Стоуна–фон Неймана гласит, что все неприводимые представления конечномерных коммутационных соотношений Гейзенберга унитарно эквивалентны. Систематическое понимание ее последствий привело к формулировке фазового пространства квантовой механики, которая работает в полном фазовом пространстве вместо гильбертова пространства , то есть с более интуитивной связью с его классическим пределом . Эта картина также упрощает рассмотрение квантования , расширения деформации от классической к квантовой механике.

Квантовый гармонический осциллятор — это точно решаемая система, в которой различные представления легко сравниваются. Там, помимо представлений Гейзенберга, Шредингера (положение или импульс) или фазового пространства, встречаются также представления Фока (число) и Сигала–Баргмана (пространство Фока или когерентное состояние) (названное в честь Ирвинга Сигала и Валентина Баргмана ). Все четыре унитарно эквивалентны.

Время как оператор

Представленная до сих пор структура выделяет время как параметр , от которого все зависит. Можно сформулировать механику таким образом, что время само станет наблюдаемой величиной, связанной с самосопряженным оператором. На классическом уровне можно произвольно параметризовать траектории частиц в терминах нефизического параметра s , и в этом случае время t станет дополнительной обобщенной координатой физической системы. На квантовом уровне трансляции в s будут генерироваться «гамильтонианом» H − E , где E — оператор энергии, а H — «обычный» гамильтониан. Однако, поскольку s — нефизический параметр, физические состояния должны оставаться инвариантными при « s -эволюции», и поэтому физическое пространство состояний является ядром H − E (это требует использования оснащенного гильбертова пространства и перенормировки нормы).

Это связано с квантованием ограниченных систем и квантованием калибровочных теорий . Также возможно сформулировать квантовую теорию «событий», где время становится наблюдаемым. ^[12]

Проблема измерения

Картина, представленная в предыдущих параграфах, достаточна для описания полностью изолированной системы. Однако она не учитывает одно из главных различий между квантовой механикой и классической механикой, а именно эффекты измерения . [ ^13] Описание фон Неймана квантового измерения наблюдаемой A , когда система находится в чистом состоянии ψ , следующее (отметим, однако, что описание фон Неймана восходит к 1930-м годам и основано на экспериментах, проведенных в то время, а именно на эксперименте Комптона-Саймона ; оно неприменимо к большинству современных измерений в квантовой области):

• Пусть A имеет спектральное разрешение , где E _A — разрешение тождества (также называемого проекционно-значной мерой ), связанного с A. Тогда вероятность результата измерения, лежащего в интервале B из R, равна |E _A ( B ) ψ | ² . Другими словами, вероятность получается путем интегрирования характеристической функции B по счетно-аддитивной мере $${\displaystyle A=\int \lambda \,d\operatorname {E} _{A}(\lambda ),}$$ $${\displaystyle \langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle .}$$
• Если измеренное значение содержится в B , то сразу после измерения система будет находиться в (обычно ненормализованном) состоянии E _A ( B ) ψ . Если измеренное значение не лежит в B , замените B его дополнением для указанного выше состояния.

Например, предположим, что пространство состояний является n -мерным комплексным гильбертовым пространством C ^{n ,} а A является эрмитовой матрицей с собственными значениями λ _i , с соответствующими собственными векторами ψ _i . Проекционно-значная мера, связанная с A , E _A , тогда равна где B является борелевским множеством, содержащим только одно собственное значение λ _i . Если система подготовлена ​​в состоянии Тогда вероятность того, что измерение вернет значение λ _{i ,} можно вычислить путем интегрирования спектральной меры по B _i . Это тривиально дает $${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(B)=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$$ $${\displaystyle |\psi \rangle }$$ $${\displaystyle \langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle }$$ $${\displaystyle \langle \psi |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\mid \psi \rangle =|\langle \psi \mid \psi _{i}\rangle |^{2}.}$$

Характерное свойство схемы измерения фон Неймана заключается в том, что повторение одного и того же измерения даст те же результаты. Это также называется проекционным постулатом .

Более общая формулировка заменяет проекционно-значную меру на положительно-операторно-значную меру (POVM). Для иллюстрации снова возьмем конечномерный случай. Здесь мы заменим проекции ранга 1 конечным набором положительных операторов , сумма которых по-прежнему является оператором тождества, как и прежде (разрешение тождества). Так же, как набор возможных результатов { λ ₁ ... λ _n } связан с проекционно-значной мерой, то же самое можно сказать и о POVM. Предположим, что результат измерения — λ _i . Вместо того чтобы схлопнуться в (ненормализованное) состояние после измерения, система теперь будет в состоянии $${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$$ $${\displaystyle F_{i}F_{i}^{*}}$$ $${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\psi \rangle }$$ $${\displaystyle F_{i}|\psi \rangle .}$$

Поскольку операторы F _i F _i * не обязательно должны быть взаимно ортогональными проекциями, проекционный постулат фон Неймана больше не выполняется.

Та же формулировка применима к общим смешанным состояниям .

В подходе фон Неймана преобразование состояния, вызванное измерением, отличается от преобразования, вызванного эволюцией во времени, несколькими способами. Например, эволюция во времени является детерминированной и унитарной, тогда как измерение является недетерминированным и неунитарным. Однако, поскольку оба типа преобразования состояния переводят одно квантовое состояние в другое, это различие многими рассматривалось как неудовлетворительное. Формализм POVM рассматривает измерение как одну из многих других квантовых операций , которые описываются полностью положительными отображениями , которые не увеличивают след.

В любом случае, по-видимому, вышеупомянутые проблемы могут быть решены только в том случае, если временная эволюция будет включать не только квантовую систему, но и, по сути, классический измерительный аппарат (см. выше).

Список математических инструментов

Часть фольклора предмета касается учебника математической физики «Методы математической физики», составленного Рихардом Курантом на основе курсов Геттингенского университета Дэвида Гильберта . История рассказывается (математиками), что физики отвергли материал как неинтересный в современных областях исследований, пока не появилось уравнение Шредингера. В этот момент стало понятно, что математика новой квантовой механики уже была в нем изложена. Также говорят, что Гейзенберг консультировался с Гильбертом по поводу его матричной механики, и Гильберт заметил, что его собственный опыт с бесконечномерными матрицами был получен из дифференциальных уравнений, совет, который Гейзенберг проигнорировал, упустив возможность объединить теорию, как это сделали Вейль и Дирак несколько лет спустя. Какова бы ни была основа этих историй, математика теории была в то время общепринятой, тогда как физика была радикально новой.

Основные инструменты включают в себя:

• линейная алгебра : комплексные числа, собственные векторы , собственные значения
• функциональный анализ : гильбертовы пространства , линейные операторы , спектральная теория
• дифференциальные уравнения : уравнения в частных производных , разделение переменных , обыкновенные дифференциальные уравнения , теория Штурма–Лиувилля , собственные функции
• гармонический анализ : преобразования Фурье

Смотрите также

• Список математических тем в квантовой теории
• Симметрия в квантовой механике

Примечания

1. Байрон и Фуллер 1992, стр. 277.
2. Дирак 1925.
3. Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ, 2020.
4. Бауэрле и де Керф 1990, с. 330.
5. Солем и Биденхарн 1993.
6. Яух, Вигнер и Янасэ 1997.
7. Каркасси, Макконе и Айдала, 2021.
8. Масанес, Галлей и Мюллер 2019.
9. Sakurai & Napolitano 2021, с. 443.
10. Сакурай и Наполитано 2021, с. 434-437.
11. Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ 2020, с. 1375–1377.
12. Эдвардс 1979.
13. Гринстейн и Зайонц 2006, стр. 215.

Ссылки

• Бойерле, Жерар ГА; де Керф, Эдди А. (1990). Алгебры Ли, часть 1: Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-88776-8.
• Байрон, Фредерик В.; Фуллер, Роберт В. (1992). Математика классической и квантовой физики . Нью-Йорк: Courier Corporation. ISBN 978-0-486-67164-2.
• Каркасси, Габриэле; Макконе, Лоренцо; Айдала, Кристин А. (16.03.2021). «Четыре постулата квантовой механики — это три». Physical Review Letters . 126 (11). Американское физическое общество (APS): 110402. arXiv : 2003.11007 . Bibcode : 2021PhRvL.126k0402C. doi : 10.1103/physrevlett.126.110402. ISSN  0031-9007. PMID  33798366. S2CID  214623241.
• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2020). Квантовая механика. Том 2: Угловой момент, спин и методы аппроксимации . Вайнхайм: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. ISBN 978-3-527-82272-0.
• Дирак, П. А. М. (1925). «Фундаментальные уравнения квантовой механики». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 109 (752): 642–653. Bibcode :1925RSPSA.109..642D. doi : 10.1098/rspa.1925.0150 .
• Эдвардс, Дэвид А. (1979). «Математические основы квантовой механики». Synthese . 42 (1). Springer Science and Business Media LLC: 1–70. doi :10.1007/bf00413704. ISSN  0039-7857. S2CID  46969028.
• Гринстейн, Джордж; Зайонц, Артур (2006). Квантовый вызов . Садбери, Массачусетс: Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-2470-2.
• Jauch, JM; Wigner, EP; Yanase, MM (1997). "Некоторые комментарии относительно измерений в квантовой механике". Часть I: Частицы и поля. Часть II: Основы квантовой механики . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 475–482. doi :10.1007/978-3-662-09203-3_52. ISBN 978-3-642-08179-8.
• Масанес, Луис; Галлей, Томас Д.; Мюллер, Маркус П. (2019). «Постулаты измерений квантовой механики операционально избыточны». Nature Communications . 10 (1). Springer Science and Business Media LLC: 1361. arXiv : 1811.11060 . Bibcode :2019NatCo..10.1361M. doi : 10.1038/s41467-019-09348-x . ISSN  2041-1723. PMC  6434053 . PMID  30911009.
• Солем, Дж. К.; Биденхарн, Л. К. (1993). «Понимание геометрических фаз в квантовой механике: элементарный пример». Основы физики . 23 (2): 185–195. Bibcode :1993FoPh...23..185S. ​​doi :10.1007/BF01883623. S2CID  121930907.
• Стритер, Рэймонд Фредерик; Уайтман, Артур Стронг (2000). PCT, Spin and Statistics, and All That . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07062-9.
• Сакурай, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47322-4.

Дальнейшее чтение

• Auyang, Sunny Y. (1995). Как возможна квантовая теория поля? . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Oxford University Press on Demand. ISBN 978-0-19-509344-5.
• Эмч, Жерар Г. (1972). Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-23900-3.
• Giachetta, Giovanni; Mangiarotti, Luigi; Sardanashvily, Gennadi (2005). Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике . WORLD SCIENTIFIC. arXiv : math-ph/0410040 . doi :10.1142/5731. ISBN 978-981-256-129-9.
• Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства». Журнал математики и механики . 6 (6). Математический факультет Университета Индианы: 885–893. JSTOR  24900629.
• Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том 267. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. Bibcode : 2013qtm..book.....H. doi : 10.1007/978-1-4614-7116-5. ISBN 978-1-4614-7115-8. ISSN  0072-5285. S2CID  117837329.
• Яух, Йозеф Мария (1968). Основы квантовой механики . Рединг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-03298-8.
• Йост, Р. (1965). Общая теория квантованных полей . Лекции по прикладной математике. Американское математическое общество.
• Кун, Томас С. (1987). Теория черного тела и квантовый разрыв, 1894-1912 . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-45800-7.
• Ландсман, Клаас (2017). Основы квантовой теории . Фундаментальные теории физики. Т. 188. Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-319-51777-3. ISBN 978-3-319-51776-6. ISSN  0168-1222.
• Макки, Джордж У. (2004). Математические основы квантовой механики . Минеола, Нью-Йорк: Courier Corporation. ISBN 978-0-486-43517-6.
• Макмахон, Дэвид (2013). Квантовая механика Демистифицирована, 2-е издание (PDF) . Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Prof Med/Tech. ISBN 978-0-07-176563-3.
• Моретти, Вальтер (2017). Спектральная теория и квантовая механика . Unitext. Т. 110. Cham: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-70706-8. ISBN 978-3-319-70705-1. ISSN  2038-5714. S2CID  125121522.
• Моретти, Вальтер (2019). Фундаментальные математические структуры квантовой теории . Cham: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-030-18346-2. ISBN 978-3-030-18345-5. S2CID  197485828.
• Prugovecki, Eduard (2006). Квантовая механика в гильбертовом пространстве . Mineola, NY: Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-45327-9.
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1972). Методы современной математической физики . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0-12-585001-8.
• Шанкар, Р. (2013). Принципы квантовой механики (PDF) . Springer. ISBN 978-1-4615-7675-4.
• Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике (PDF) . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• фон Нейман, Джон (2018). Математические основы квантовой механики . Princeton Oxford: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-17856-1.
• Уивер, Ник (2001). Математическое квантование . Chapman and Hall/CRC. doi :10.1201/9781420036237. ISBN 978-0-429-07514-8.
• Вейль, Герман (1950). Теория групп и квантовая механика . Минеола, Нью-Йорк: Courier Corporation. ISBN 978-0-486-60269-1.