Оператор (математика)

Функция, действующая на функциональные пространства

В математике оператор — это, как правило, отображение или функция , которая действует на элементы пространства для создания элементов другого пространства (возможно, а иногда и обязательно того же самого пространства). Общего определения оператора не существует , но этот термин часто используется вместо функции , когда область определения представляет собой набор функций или других структурированных объектов. Кроме того, область определения оператора часто трудно охарактеризовать явно (например, в случае интегрального оператора ), и ее можно расширить, чтобы она действовала на связанные объекты (оператор, действующий на функции, может также действовать на дифференциальные уравнения , решениями которых являются функции, удовлетворяющие уравнению). (см. Оператор (физика) для других примеров)

Наиболее базовыми операторами являются линейные отображения , которые действуют на векторные пространства . Линейные операторы относятся к линейным отображениям, область определения и область действия которых являются одним и тем же пространством, например, от до . ^{[1] [2] [a]} Такие операторы часто сохраняют свойства, такие как непрерывность . Например, дифференцирование и неопределенное интегрирование являются линейными операторами; операторы, которые построены из них, называются дифференциальными операторами , интегральными операторами или интегро-дифференциальными операторами. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Оператор также используется для обозначения символа математической операции . Это связано со значением «оператора» в компьютерном программировании (см. Оператор (компьютерное программирование) ).

Линейные операторы

Наиболее распространенным видом встречающихся операторов являются линейные операторы . Пусть U и V — векторные пространства над некоторым полем K. Отображение является линейным , если для всех x и y из U и для всех α , β из K. ${\displaystyle \operatorname {A} :U\to V}$ $${\displaystyle \operatorname {A} \left(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} \right)=\alpha \operatorname {A} \mathbf {x} +\beta \operatorname {A} \mathbf {y} \ }$$

Это означает, что линейный оператор сохраняет операции векторного пространства, в том смысле, что не имеет значения, применяете ли вы линейный оператор до или после операций сложения и скалярного умножения. Говоря более техническими словами, линейные операторы являются морфизмами между векторными пространствами. В конечномерном случае линейные операторы могут быть представлены матрицами следующим образом. Пусть K — поле, а и V — конечномерные векторные пространства над K . Выберем базис в U и в V . Тогда пусть — произвольный вектор в (предполагая соглашение Эйнштейна ), а — линейный оператор. Тогда Тогда , при всех , — матричная форма оператора в фиксированном базисе . Тензор не зависит от выбора , и если . Таким образом, в фиксированных базисах матрицы размером n на m находятся в биективном соответствии с линейными операторами из в . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {A} :U\to V}$ $${\displaystyle \ \operatorname {A} \mathbf {x} =x^{i}\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}=x^{i}\left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}\mathbf {v} _{j}~.}$$ ${\displaystyle a_{i}^{j}\equiv \left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}}$ ${\displaystyle a_{i}^{j}\in K}$ ${\displaystyle \operatorname {A} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {u} _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle a_{i}^{j}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {A} \mathbf {x} =\mathbf {y} }$ ${\displaystyle a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Важными понятиями, непосредственно связанными с операторами между конечномерными векторными пространствами, являются понятия ранга , определителя , обратного оператора и собственного пространства .

Линейные операторы также играют большую роль в бесконечномерном случае. Понятия ранга и определителя не могут быть распространены на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов вообще) в бесконечномерном случае применяются совершенно разные методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (так его называют, потому что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).

Пространство последовательностей действительных чисел или, более общо, последовательности векторов в любом векторном пространстве сами по себе образуют бесконечномерное векторное пространство. Наиболее важными случаями являются последовательности действительных или комплексных чисел, и эти пространства вместе с линейными подпространствами известны как пространства последовательностей . Операторы в этих пространствах известны как преобразования последовательностей .

Ограниченные линейные операторы над банаховым пространством образуют банахову алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектров , которая элегантно обобщает теорию собственных пространств.

Ограниченные операторы

Пусть U и V — два векторных пространства над одним и тем же упорядоченным полем (например, ), и они снабжены нормами . Тогда линейный оператор из U в V называется ограниченным , если существует c > 0 такое, что для любого x из U . Ограниченные операторы образуют векторное пространство. На этом векторном пространстве можно ввести норму, совместимую с нормами U и V : В случае операторов из U в себя можно показать, что ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}}$$ $${\displaystyle \|\operatorname {A} \|=\inf\{\ c:\|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}\}.}$$

${\textstyle \|\operatorname {A} \operatorname {B} \|\leq \|\operatorname {A} \|\cdot \|\operatorname {B} \|}$. ^[б]

Любая унитальная нормированная алгебра с этим свойством называется банаховой алгеброй . На такие алгебры можно обобщить спектральную теорию . C*-алгебры , которые являются банаховыми алгебрами с некоторой дополнительной структурой, играют важную роль в квантовой механике .

Примеры

Анализ (исчисление)

С точки зрения функционального анализа исчисление представляет собой изучение двух линейных операторов: дифференциального оператора и оператора Вольтерра . ${\displaystyle {\frac {\ \mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}}$

Операторы фундаментального анализа скалярных и векторных полей

Три оператора являются ключевыми в векторном исчислении :

• Grad ( градиент ) (с символом оператора ) назначает вектор в каждой точке скалярного поля, который указывает в направлении наибольшей скорости изменения этого поля и норма которого измеряет абсолютное значение этой наибольшей скорости изменения. ${\displaystyle \nabla }$
• Div ( дивергенция ) (с символом оператора ) — векторный оператор, который измеряет дивергенцию векторного поля от заданной точки или сходимость к ней. ${\displaystyle {\nabla \cdot }}$
• Curl (с символом оператора ) — векторный оператор, который измеряет тенденцию завихрения (оборачивания, вращения) векторного поля вокруг заданной точки. ${\displaystyle \nabla \!\times }$

Как расширение операторов векторного исчисления на физические, инженерные и тензорные пространства, операторы grad, div и rot также часто ассоциируются с тензорным исчислением , а также с векторным исчислением. ^[3]

Геометрия

В геометрии иногда изучаются дополнительные структуры на векторных пространствах . Операторы, которые отображают такие векторные пространства в себя биективно, очень полезны в этих исследованиях, они естественным образом образуют группы по композиции.

Например, биективные операторы, сохраняющие структуру векторного пространства, являются в точности обратимыми линейными операторами . Они образуют общую линейную группу относительно композиции. Однако они не образуют векторное пространство относительно сложения операторов; поскольку, например, и тождество, и −тождество обратимы ( биективны), но их сумма, 0, не является таковой.

Операторы, сохраняющие евклидову метрику на таком пространстве, образуют группу изометрий , а те, которые фиксируют начало координат, образуют подгруппу, известную как ортогональная группа . Операторы в ортогональной группе, которые также сохраняют ориентацию векторных кортежей, образуют специальную ортогональную группу , или группу вращений.

Теория вероятностей

Операторы также задействованы в теории вероятностей, например, ожидание , дисперсия и ковариация , которые используются для обозначения как числовой статистики, так и операторов, которые ее производят. Действительно, каждая ковариация по сути является скалярным произведением : Каждая дисперсия является скалярным произведением вектора с самим собой и, таким образом, является квадратичной нормой ; каждое стандартное отклонение является нормой (квадратным корнем квадратичной нормы); соответствующий косинус этого скалярного произведения является коэффициентом корреляции Пирсона ; ожидаемое значение по сути является интегральным оператором (используется для измерения взвешенных форм в пространстве).

Ряд Фурье и преобразование Фурье

Преобразование Фурье полезно в прикладной математике, в частности, в физике и обработке сигналов. Это еще один интегральный оператор; он полезен в основном потому, что преобразует функцию в одной (временной) области в функцию в другой (частотной) области, эффективно обратимым образом . Никакая информация не теряется, поскольку существует оператор обратного преобразования. В простом случае периодических функций этот результат основан на теореме о том, что любая непрерывная периодическая функция может быть представлена ​​в виде суммы ряда синусоидальных волн и косинусоидальных волн: Кортеж ( a ₀ , a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ , ... ) на самом деле является элементом бесконечномерного векторного пространства ℓ 2 , и, таким образом, ряд Фурье является линейным оператором. $${\displaystyle f(t)={\frac {\ a_{0}\ }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\ a_{n}\cos(\omega \ n\ t)+b_{n}\sin(\omega \ n\ t)}$$

При работе с общей функцией преобразование принимает интегральную форму: ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )\ e^{i\ \omega \ t}\ \mathrm {d} \ \omega }}$$

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа является еще одним интегральным оператором и участвует в упрощении процесса решения дифференциальных уравнений.

Учитывая, что f = f ( s ) , она определяется как: $${\displaystyle F(s)=\operatorname {\mathcal {L}} \{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-s\ t}\ f(t)\ \mathrm {d} \ t}$$

Сноски

1. : (1) Линейное преобразование из V в V называется линейным оператором на V . Множество всех линейных операторов на V обозначается ℒ ( V )  . Линейный оператор на действительном векторном пространстве называется действительным оператором , а линейный оператор на комплексном векторном пространстве называется комплексным оператором . ... Следует также отметить, что некоторые авторы используют термин линейный оператор для любого линейного преобразования из V в W . ...
   Определение: Также используются следующие термины:

   (2) эндоморфизм для линейного оператора ...

   (6) автоморфизм для биективного линейного оператора.

   — Роман (2008) ^[2]

2. В этом выражении выпуклая точка просто представляет собой умножение в любом скалярном поле  , используемом с V.

Смотрите также

• Функция
• Операторная алгебра
• Список операторов

Ссылки

1. Рудин, Уолтер (1976). "Глава 9: Функции нескольких переменных". Принципы математического анализа (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 207. ISBN 0-07-054235-XЛинейные преобразования X в X часто называют  линейными операторами на X.
2. Roman, Steven (2008). "Глава 2: Линейные преобразования". Advanced Linear Algebra (3-е изд.). Springer. стр. 59. ISBN 978-0-387-72828-5.
3. Schey, HM (2005). Div, Grad, Curl, and All That . Нью-Йорк, Нью-Йорк: WW Norton. ISBN 0-393-92516-1.