Функция (математика)

Ассоциация одного выхода с каждым входом

В математике функция из множества X в множество Y сопоставляет каждому элементу X ровно один элемент Y. [ ^1] Множество X называется областью определения функции ^[2] , а множество Y называется областью определения функции ^[3] .

Функции изначально были идеализацией того, как изменяющаяся величина зависит от другой величины. Например, положение планеты является функцией времени . Исторически эта концепция была разработана с помощью исчисления бесконечно малых в конце 17-го века, и до 19-го века рассматриваемые функции были дифференцируемыми (то есть имели высокую степень регулярности). Понятие функции было формализовано в конце 19-го века в терминах теории множеств , и это значительно расширило возможные применения этой концепции.

Функция часто обозначается буквой, например f , g или h . Значение функции f в элементе x ее области определения (то есть элементе области определения, связанной с x ) обозначается как f ( x ) ; например, значение f при x = 4 обозначается как f (4) . Обычно конкретная функция определяется с помощью выражения, зависящего от x , например, в этом случае, некоторого вычисления, называемого ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1;}$Оценка функции может потребоваться для выведения значения функции при определенном значении; например, еслито ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1,}$ ${\displaystyle f(4)=4^{2}+1=17.}$

Учитывая ее область определения и область кодирования, функция однозначно представлена ​​набором всех пар ( x , f  ( x )) , называемым графиком функции , который является популярным средством иллюстрации функции. ^{[примечание 1] [4]} Когда область определения и область кодирования являются наборами действительных чисел, каждую такую ​​пару можно рассматривать как декартовы координаты точки на плоскости.

Функции широко используются в науке , технике и в большинстве областей математики. Было сказано, что функции являются «центральными объектами исследования» в большинстве областей математики. ^[5]

Понятие функции значительно эволюционировало на протяжении столетий, от его неформального происхождения в древней математике до его формализации в 19 веке. Подробности см. в разделе История понятия функции .

Определение

Схематическое изображение функции, метафорически описываемой как «машина» или « черный ящик », которая для каждого входного сигнала выдает соответствующий выходной сигнал.

Красная кривая — это график функции , поскольку любая вертикальная линия имеет ровно одну точку пересечения с кривой.

Функция f из множества X в множество Y — это присвоение одного элемента Y каждому элементу X. Множество X называется областью определения функции, а множество Y называется областью определения функции.

Если элемент y в Y присваивается x в X функцией f , говорят, что f отображает x в y , и это обычно записывается В этой нотации x является аргументом или переменной функции. Конкретный элемент x из X является значением переменной , а соответствующий элемент Y является значением функции в x , или образом x под функцией. ${\displaystyle y=f(x).}$

Функция f , ее область определения X и ее область определения Y часто определяются с помощью обозначения Можно написать вместо , где символ (читается как ' отображается в ') используется для указания того, куда конкретный элемент x в области отображается с помощью f . Это позволяет определить функцию без указания имени. Например, квадратная функция — это функция ${\displaystyle f:X\to Y.}$ ${\displaystyle x\mapsto y}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle x\mapsto x^{2}.}$

Область и область значений не всегда явно задаются при определении функции. В частности, часто бывает так, что можно знать только то, что область значений конкретной функции содержится в большем множестве, без некоторых (возможно, сложных) вычислений. Например, если — действительная функция , определение области значений функции требует знания нулей f . Это одна из причин, по которой в математическом анализе «функция от X до Y » может относиться к функции, имеющей собственное подмножество X в качестве области определения. ^{[примечание 2]} Например, «функция от действительных чисел до действительных чисел» может относиться к действительной функции действительной переменной , область определения которой является собственным подмножеством действительных чисел , обычно подмножеством, содержащим непустой открытый интервал . Такая функция тогда называется частичной функцией . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$

Диапазон или изображение функции — это набор изображений всех элементов в области. ^{[6] [7]} [ ^{8] [9]}

Функция f на множестве S означает функцию из области S без указания области значений. Однако некоторые авторы используют это как сокращение для обозначения функции f  : S → S .

Формальное определение

Диаграмма функции

Диаграмма отношения, которое не является функцией. Одна из причин заключается в том, что 2 является первым элементом в более чем одной упорядоченной паре. Другая причина заключается в том, что ни 3, ни 4 не являются первым элементом (входом) ни одной упорядоченной пары в ней

Приведенное выше определение функции по сути является определением основателей исчисления Лейбница , Ньютона и Эйлера . Однако его нельзя формализовать , поскольку не существует математического определения «присваивания». Только в конце 19-го века удалось дать первое формальное определение функции в терминах теории множеств . Это теоретико-множественное определение основано на том факте, что функция устанавливает связь между элементами области и некоторыми (возможно, всеми) элементами кодомена. Математически бинарное отношение между двумя множествами X и Y является подмножеством множества всех упорядоченных пар, таких что и Множество всех этих пар называется декартовым произведением X и Y и обозначается Таким образом, приведенное выше определение можно формализовать следующим образом. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y.}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Функция с областью определения X и областью определения Y представляет собой бинарное отношение R между X и Y , которое удовлетворяет двум следующим условиям: [ ^10]

• Для каждого в существует в такое, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (x,y)\in R.}$
• Если и тогда ${\displaystyle (x,y)\in R}$ ${\displaystyle (x,z)\in R,}$ ${\displaystyle y=z.}$

Это определение можно переписать более формально, не ссылаясь явно на концепцию отношения, но используя больше обозначений (включая обозначение конструктора множеств ):

Функция образована тремя множествами: областью определения, областью определения и графиком , которые удовлетворяют трем следующим условиям. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle R\subseteq \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R\qquad }$
• ${\displaystyle (x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z\qquad }$

Частичные функции

Частичные функции определяются аналогично обычным функциям, с удаленным условием «тотальной» полноты. То есть, частичная функция от X до Y — это бинарное отношение R между X и Y , такое, что для каждого существует не более одного y в Y, такого, что ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (x,y)\in R.}$

Используя функциональную нотацию, это означает, что либо , либо находится в Y , либо не определено. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(x)}$

Множество элементов X, таких что определено и принадлежит Y, называется областью определения функции. Частичная функция из X в Y , таким образом, является обычной функцией, которая имеет своей областью определения подмножество X , называемое областью определения функции. Если область определения равна X , часто говорят, что частичная функция является полной функцией . ${\displaystyle f(x)}$

В некоторых областях математики термин «функция» относится к частичным функциям, а не к обычным функциям. Это обычно происходит, когда функции могут быть заданы таким образом, что затрудняет или даже делает невозможным определение их области определения.

В исчислении действительная функция действительной переменной или действительная функция является частичной функцией из множества действительных чисел в себя. Для данной действительной функции ее мультипликативная обратная функция также является действительной функцией. Определение области определения мультипликативной обратной функции (частичной) функции сводится к вычислению нулей функции, значений, где функция определена, но не ее мультипликативной обратной функции. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:x\mapsto f(x)}$ ${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$

Аналогично, функция комплексной переменной , как правило, является частичной функцией с областью определения, включенной в набор комплексных чисел . Трудность определения области определения сложной функции иллюстрируется мультипликативной обратной функцией дзета-функции Римана : определение области определения функции более или менее эквивалентно доказательству или опровержению одной из главных открытых проблем в математике — гипотезы Римана . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z\mapsto 1/\zeta (z)}$

В теории вычислимости общерекурсивная функция — это частичная функция от целых чисел до целых чисел, значения которых могут быть вычислены алгоритмом ( грубо говоря). Область определения такой функции — это множество входных данных, для которых алгоритм не работает вечно. Фундаментальная теорема теории вычислимости заключается в том, что не может существовать алгоритма, который принимает произвольную общерекурсивную функцию в качестве входных данных и проверяет, принадлежит ли 0 его области определения (см. Проблема остановки ).

Многомерные функции

Бинарная операция — типичный пример двумерной функции, которая присваивает каждой паре результат . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\circ y}$

Многомерная функция , многопараметрическая функция или функция нескольких переменных — это функция, которая зависит от нескольких аргументов. Такие функции встречаются часто. Например, положение автомобиля на дороге является функцией пройденного времени и его средней скорости.

Формально функция n переменных — это функция, область определения которой представляет собой набор из n -кортежей. ^{[примечание 3]} Например, умножение целых чисел — это функция двух переменных или двумерная функция , область определения которой представляет собой набор всех упорядоченных пар (2-кортежей) целых чисел, а область определения которой представляет собой набор целых чисел. То же самое справедливо для каждой бинарной операции . Обычно n -кортеж обозначается заключенным в скобки, например, в При использовании функциональной нотации скобки, окружающие кортежи, обычно опускаются, и вместо этого пишутся ${\displaystyle (1,2,\ldots ,n).}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle f((x_{1},\ldots ,x_{n})).}$

При заданном n множество всех n -кортежей такое, что называется декартовым произведением и обозначается ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ ${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

Таким образом, многомерная функция — это функция, областью определения которой является декартово произведение или его собственное подмножество .

${\displaystyle f:U\to Y,}$

где область U имеет вид

${\displaystyle U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

Если все они равны множеству действительных чисел или множеству комплексных чисел , то говорят соответственно о функции нескольких действительных переменных или о функции нескольких комплексных переменных . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Обозначение

Существуют различные стандартные способы обозначения функций. Наиболее часто используемая нотация — функциональная нотация, которая является первой нотацией, описанной ниже.

Функциональная нотация

Функциональная нотация требует, чтобы имя было дано функции, которое в случае неопределенной функции часто является буквой f . Затем применение функции к аргументу обозначается ее именем, за которым следует ее аргумент (или, в случае многомерных функций, ее аргументы), заключенные в скобки, например, в

${\displaystyle f(x),\quad \sin(3),\quad {\text{or}}\quad f(x^{2}+1).}$

Аргумент в скобках может быть переменной , часто x , которая представляет произвольный элемент области определения функции, определенный элемент области определения ( 3 в приведенном выше примере) или выражение , которое может быть вычислено как элемент области определения ( в приведенном выше примере). Использование неуказанной переменной в скобках полезно для явного определения функции, например, в "let ". ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$

Когда символ, обозначающий функцию, состоит из нескольких символов и не может возникнуть двусмысленности, скобки функциональной записи могут быть опущены. Например, принято писать sin x вместо sin( x ) .

Функциональная нотация была впервые использована Леонардом Эйлером в 1734 году. ^[11] Некоторые широко используемые функции представлены символом, состоящим из нескольких букв (обычно двух или трех, как правило, это сокращение их названия). В этом случае вместо этого обычно используется латинский шрифт , например « sin » для функции синуса , в отличие от курсива для однобуквенных символов.

Функциональная нотация часто используется в разговорной речи для обозначения функции и одновременного обозначения ее аргумента, например, «пусть будет функцией». Это злоупотребление нотацией , которое полезно для более простой формулировки. ${\displaystyle f(x)}$

Обозначение стрелок

Стрелочная нотация определяет правило функции inline, не требуя указания имени функции. Она использует символ стрелки ↦, произносимый как " maps to ". Например, это функция, которая принимает вещественное число в качестве входных данных и выводит это число плюс 1. Опять же, подразумевается домен и кодомен . ${\displaystyle x\mapsto x+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Домен и кодомен также могут быть указаны явно, например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}}$

Это определяет функцию sqr из целых чисел в целые числа, которая возвращает квадрат входных данных.

В качестве общего применения стрелочной нотации предположим, что есть функция от двух переменных, и мы хотим сослаться на частично примененную функцию, полученную путем фиксации второго аргумента на значении t ₀ без введения нового имени функции. Рассматриваемое отображение можно обозначить с помощью стрелочной нотации. Выражение (читается как «отображение, переводящее x в f из x comma t nought») представляет эту новую функцию всего с одним аргументом, тогда как выражение f ( x ₀ , t ₀ ) относится к значению функции f в точке ( x ₀ , t ₀ ) . ${\displaystyle f:X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$ ${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$

Индексная нотация

Вместо функциональной записи можно использовать индексную запись. То есть вместо f  ( x ) можно написать ${\displaystyle f_{x}.}$

Это обычно имеет место для функций, областью определения которых является множество натуральных чисел . Такая функция называется последовательностью , и в этом случае элемент называется n -м элементом последовательности. ${\displaystyle f_{n}}$

Индексная нотация может также использоваться для различения некоторых переменных, называемых параметрами, от «истинных переменных». Фактически, параметры — это определенные переменные, которые считаются фиксированными в ходе изучения проблемы. Например, карта (см. выше) будет обозначена с помощью индексной нотации, если мы определим набор карт формулой для всех . ${\displaystyle x\mapsto f(x,t)}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)}$ ${\displaystyle x,t\in X}$

Точечная нотация

В нотации символ x не представляет никакого значения; это просто заполнитель , означающий, что если x заменить любым значением слева от стрелки, его следует заменить тем же значением справа от стрелки. Таким образом, x можно заменить любым символом, часто интерпунктом " ⋅ ". Это может быть полезно для различения функции f  (⋅) от ее значения f  ( x ) в точке x . ${\displaystyle x\mapsto f(x),}$

Например, может обозначать функцию , а может обозначать функцию, определяемую интегралом с переменной верхней границей: . ${\displaystyle a(\cdot )^{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto ax^{2}}$ ${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$ ${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$

Специализированные обозначения

Существуют и другие, специализированные обозначения функций в разделах математики. Например, в линейной алгебре и функциональном анализе линейные формы и векторы, на которые они действуют, обозначаются с помощью дуальной пары, чтобы показать лежащую в их основе дуальность . Это похоже на использование обозначений скобок в квантовой механике. В логике и теории вычислений обозначение функций лямбда-исчисления используется для явного выражения основных понятий абстракции и применения функций . В теории категорий и гомологической алгебре сети функций описываются в терминах того, как они и их композиции коммутируют друг с другом, с использованием коммутативных диаграмм , которые расширяют и обобщают стрелочные обозначения для функций, описанных выше.

Функции более чем одной переменной

В некоторых случаях аргумент функции может быть упорядоченной парой элементов, взятых из некоторого множества или множеств. Например, функцию f можно определить как отображение любой пары действительных чисел в сумму их квадратов, . Такая функция обычно записывается как и называется «функцией двух переменных». Аналогично можно иметь функцию трех или более переменных, с такими обозначениями, как , . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle f(w,x,y)}$ ${\displaystyle f(w,x,y,z)}$

Другие термины

Функция также может называться картой или отображением , но некоторые авторы проводят различие между терминами «карта» и «функция». Например, термин «карта» часто резервируется для «функции» с некоторой особой структурой (например, карты многообразий ). В частности, карта может использоваться вместо гомоморфизма ради краткости (например, линейная карта или карта из G в H вместо группового гомоморфизма из G в H ). Некоторые авторы ^[14] резервируют слово отображение для случая, когда структура кодомена явно принадлежит определению функции.

Некоторые авторы, такие как Серж Ланг ^[13], используют термин «функция» только для обозначения отображений, для которых область значений является подмножеством действительных или комплексных чисел, и используют термин «отображение» для более общих функций.

В теории динамических систем карта обозначает функцию эволюции , используемую для создания дискретных динамических систем . См. также Карта Пуанкаре .

Какое бы определение отображения ни использовалось, связанные с ним термины, такие как домен , кодомен , инъективный , непрерывный , имеют то же значение, что и для функции.

Указание функции

Если задана функция , по определению, каждому элементу области определения функции соответствует уникальный элемент, значение при . Существует несколько способов указать или описать, как связано с , как явно, так и неявно. Иногда теорема или аксиома утверждает существование функции, обладающей некоторыми свойствами, не описывая ее более точно. Часто спецификация или описание называется определением функции . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$

Перечислив значения функций

На конечном множестве функция может быть определена путем перечисления элементов кодомена, которые связаны с элементами домена. Например, если , то можно определить функцию следующим образом: ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}$

По формуле

Функции часто определяются выражением , описывающим комбинацию арифметических операций и ранее определенных функций; такая формула позволяет вычислить значение функции из значения любого элемента домена. Например, в приведенном выше примере может быть определена формулой , для . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(n)=n+1}$ ${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$

Когда функция определена таким образом, определение ее области определения иногда затруднено. Если формула, определяющая функцию, содержит деления, то значения переменной, для которой знаменатель равен нулю, должны быть исключены из области определения; таким образом, для сложной функции определение области определения проходит через вычисление нулей вспомогательных функций. Аналогично, если в определении функции встречаются квадратные корни из в область определения включается в набор значений переменной, для которых аргументы квадратных корней неотрицательны. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Например, определяет функцию, область определения которой, поскольку всегда положительна, если x — действительное число. С другой стороны, определяет функцию от действительных чисел до действительных чисел, область определения которой сводится к интервалу [−1, 1] . (В старых текстах такая область определения называлась областью определения функции.) ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle 1+x^{2}}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Функции можно классифицировать по характеру формул, которые их определяют:

• Квадратичная функция — это функция, которую можно записать, где a , b , c — константы . ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$
• В более общем смысле, полиномиальная функция — это функция, которая может быть определена формулой, включающей только сложения, вычитания, умножения и возведения в степень неотрицательных целых чисел. Например, и являются полиномиальными функциями от . ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}$ ${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}$ ${\displaystyle x}$
• Рациональная функция — это то же самое, с допустимыми делениями, такими как и ${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$
• Алгебраическая функция — это то же самое, с корнями n-й степени и корнями многочленов .
• Элементарная функция ^{[примечание 4]} — это то же самое, с допустимыми логарифмами и показательными функциями .

Обратные и неявные функции

Функция с областью X и областью значений Y является биективной , если для каждого y в Y существует один и только один элемент x в X такой, что y = f ( x ) . В этом случае обратная функция f — это функция , которая отображается на элемент, такой что y = f ( x ) . Например, натуральный логарифм — это биективная функция от положительных действительных чисел к действительным числам. Таким образом, у него есть обратная функция, называемая экспоненциальной функцией , которая отображает действительные числа на положительные числа. ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

Если функция не является биективной, может случиться так, что можно выбрать подмножества и такие, что ограничение f на E будет биекцией из E в F и , таким образом , будет иметь обратную функцию. Обратные тригонометрические функции определяются таким образом. Например, функция косинуса индуцирует, с помощью ограничения, биекцию из интервала [0, π ] на интервал [−1, 1] , а ее обратная функция, называемая арккосинусом , отображает [−1, 1] на [0, π ] . Другие обратные тригонометрические функции определяются аналогично. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle E\subseteq X}$ ${\displaystyle F\subseteq Y}$

В более общем случае, если задано бинарное отношение R между двумя множествами X и Y , пусть E будет подмножеством X таким, что для каждого существует такое , что x R y . Если имеется критерий, позволяющий выбрать такое y для каждого , то это определяет функцию, называемую неявной функцией , поскольку она неявно определяется отношением R . ${\displaystyle x\in E,}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in E,}$ ${\displaystyle f:E\to Y,}$

Например, уравнение единичной окружности определяет отношение действительных чисел. Если −1 < x < 1, то существует два возможных значения y , одно положительное и одно отрицательное. При x = ± 1 эти два значения становятся оба равными 0. В противном случае, нет никакого возможного значения y . Это означает, что уравнение определяет две неявные функции с областью определения [−1, 1] и соответствующими областями определения [0, +∞) и (−∞, 0] . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

В этом примере уравнение можно решить относительно y , что даст , но в более сложных примерах это невозможно. Например, соотношение определяет y как неявную функцию x , называемую радикалом Бринга , которая имеет область определения и диапазон. Радикал Бринга не может быть выражен в терминах четырех арифметических операций и корней n -й степени . ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$ ${\displaystyle y^{5}+y+x=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Теорема о неявной функции дает мягкие условия дифференцируемости для существования и единственности неявной функции в окрестности точки.

Использование дифференциального исчисления

Многие функции можно определить как первообразную другой функции. Это случай натурального логарифма , который является первообразной 1/ x, которая равна 0 при x = 1. Другим распространенным примером является функция ошибок .

В более общем смысле, многие функции, включая большинство специальных функций , могут быть определены как решения дифференциальных уравнений . Простейшим примером, вероятно, является экспоненциальная функция , которая может быть определена как уникальная функция, равная своей производной и принимающая значение 1 при x = 0 .

Степенные ряды можно использовать для определения функций в области, в которой они сходятся. Например, показательная функция задается как . Однако, поскольку коэффициенты ряда совершенно произвольны, функция, которая является суммой сходящегося ряда, обычно определяется иначе, а последовательность коэффициентов является результатом некоторого вычисления, основанного на другом определении. Затем степенной ряд можно использовать для расширения области определения функции. Как правило, если функция для действительной переменной является суммой ее ряда Тейлора в некотором интервале, этот степенной ряд позволяет немедленно расширить область определения до подмножества комплексных чисел , круга сходимости ряда. Затем аналитическое продолжение позволяет еще больше расширить область определения, включив почти всю комплексную плоскость . Этот процесс является методом, который обычно используется для определения логарифма , показательной и тригонометрической функций комплексного числа. ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

По повторяемости

Функции, областью определения которых являются неотрицательные целые числа, известные как последовательности , иногда определяются с помощью рекуррентных соотношений .

Функция факториала неотрицательных целых чисел ( ) является простым примером, поскольку ее можно определить с помощью рекуррентного соотношения ${\displaystyle n\mapsto n!}$

${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$

и начальное состояние

${\displaystyle 0!=1.}$

Представление функции

График обычно используется для наглядного представления функции. В качестве примера того, как график помогает понять функцию, по его графику легко увидеть, увеличивается или уменьшается функция. Некоторые функции также могут быть представлены столбчатыми диаграммами .

Графики и диаграммы

Функция, отображающая каждый год количество смертей в результате дорожно-транспортных происшествий в США, представлена ​​в виде линейной диаграммы

Та же функция, представленная в виде столбчатой ​​диаграммы

Для данной функции ее график формально представляет собой множество ${\displaystyle f:X\to Y,}$

${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$

В частом случае, когда X и Y являются подмножествами действительных чисел (или могут быть идентифицированы с такими подмножествами, например, интервалами ), элемент может быть идентифицирован с точкой, имеющей координаты x , y в двумерной системе координат, например, декартовой плоскости . Части этого могут создать график , который представляет (части) функции. Использование графиков настолько повсеместно, что их также называют графиком функции . Графические представления функций также возможны в других системах координат. Например, график квадратной функции ${\displaystyle (x,y)\in G}$

${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$

состоящий из всех точек с координатами дает , будучи изображенным в декартовых координатах, хорошо известную параболу . Если ту же квадратичную функцию с тем же формальным графиком, состоящую из пар чисел, построить вместо этого в полярных координатах, то полученный график будет спиралью Ферма . ${\displaystyle (x,x^{2})}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$ ${\displaystyle (r,\theta )=(x,x^{2}),}$

Таблицы

Функцию можно представить в виде таблицы значений. Если область определения функции конечна, то функция может быть полностью определена таким образом. Например, функция умножения, определенная как, может быть представлена ​​знакомой таблицей умножения ${\displaystyle f:\{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y)=xy}$

С другой стороны, если область определения функции непрерывна, таблица может дать значения функции при определенных значениях области определения. Если необходимо промежуточное значение, можно использовать интерполяцию для оценки значения функции. Например, часть таблицы для функции синуса может быть представлена ​​следующим образом, со значениями, округленными до 6 знаков после запятой:

До появления карманных калькуляторов и персональных компьютеров подобные таблицы часто составлялись и публиковались для таких функций, как логарифмы и тригонометрические функции.

Столбчатая диаграмма

Столбчатая диаграмма может представлять функцию, областью определения которой является конечное множество, натуральные числа или целые числа . В этом случае элемент x области определения представлен интервалом оси x , а соответствующее значение функции f ( x ) представлено прямоугольником , основанием которого является интервал, соответствующий x , а высота равна f ( x ) (возможно, отрицательной, в этом случае столбец простирается ниже оси x ).

Общие свойства

В этом разделе описываются общие свойства функций, которые не зависят от конкретных свойств области определения и кодомена.

Стандартные функции

Существует ряд стандартных функций, которые встречаются часто:

• Для каждого множества X существует уникальная функция, называемаяпустая функция , илипустое отображение, изпустого множествавX. График пустой функции — это пустое множество.^{[примечание 5]}Существование пустых функций необходимо как для согласованности теории, так и для избежания исключений, касающихся пустого множества во многих утверждениях. Согласно обычному теоретико-множественному определению функции какупорядоченной тройки(или эквивалентных), существует ровно одна пустая функция для каждого множества, таким образом, пустая функцияне равнатогда и только тогда, когда , хотя их графики оба являютсяпустым множеством. ${\displaystyle \varnothing \to X}$ ${\displaystyle \varnothing \to Y}$ ${\displaystyle X\neq Y}$
• Для каждого множества X и каждого синглтонного множества { s } существует уникальная функция из X в { s } , которая отображает каждый элемент X в s . Это сюръекция (см. ниже), если только X не является пустым множеством.
• Для данной функции каноническая сюръекция f на ее образ — это функция из X в f ( X ), которая отображает x в f ( x ) . ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$
• Для каждого подмножества A множества X отображение включения A в X является инъективной (см. ниже) функцией, которая отображает каждый элемент A в себя.
• Функция тождества на множестве X , часто обозначаемая как id _X , представляет собой включение X в себя.

Состав функции

При наличии двух функций и таких, что область определения g является областью определения f , их композиция является функцией, определяемой соотношением ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\rightarrow Z}$

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$

То есть значение получается путем применения f к x для получения y = f ( x ) и последующего применения g к результату y для получения g ( y ) = g ( f ( x )) . В этой записи функция, которая применяется первой, всегда записывается справа. ${\displaystyle g\circ f}$

Композиция — это операция над функциями, которая определяется только в том случае, если область значений первой функции является областью значений второй. Даже когда обе и удовлетворяют этим условиям, композиция не обязательно коммутативна , то есть функции и не обязаны быть равными, но могут давать разные значения для одного и того же аргумента. Например, пусть f ( x ) = x ² и g ( x ) = x + 1 , тогда и согласуются только для ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$ ${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$ ${\displaystyle x=0.}$

Композиция функций ассоциативна в том смысле, что если одно из и определено, то другое также определено, и они равны, то есть Поэтому обычно просто пишут ${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$ ${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$ ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$ ${\displaystyle h\circ g\circ f.}$

Функции тождества и являются соответственно правым тождеством и левым тождеством для функций от X до Y. То есть, если f — функция с областью определения X и областью определения Y , то имеем ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$ ${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.}$

• 
  Сложную функцию g ( f ( x )) можно представить как комбинацию двух «машин».
• 
  Простой пример композиции функций
• 
  Другая композиция. В этом примере ( g  ∘  f  )(c) = # .

Образ и прообраз

Пусть изображение элемента x области X под знаком f равно f ( x ) . ^[6] Если A — любое подмножество X , то изображение A под знаком f , обозначаемое f ( A ) , равно подмножеству области значений Y , состоящему из всех изображений элементов A , ^[6] то есть ${\displaystyle f:X\to Y.}$

${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$

Образ f — это образ всей области, то есть f ( X ) . ^[17] Его также называют диапазоном f , [ ^{6] [7]} [ ^{8] [9]} хотя термин диапазон может также относиться к области значений. ^{[9] [17]} [ ^18]

С другой стороны, обратный образ или прообраз при f элемента y области значений Y — это множество всех элементов области значений X , образы которых при f равны y . ^[6] В символах прообраз y обозначается и задается уравнением ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$

Аналогично, прообраз подмножества B области значений Y — это множество прообразов элементов области значений B , то есть это подмножество области значений X, состоящее из всех элементов X , образы которых принадлежат B. ^[6] Оно обозначается и задается уравнением ${\displaystyle f^{-1}(B)}$

${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$

Например, прообразом под квадратной функцией является множество . ${\displaystyle \{4,9\}}$ ${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$

По определению функции, образ элемента x домена всегда является одним элементом кодомена. Однако прообраз элемента y кодомена может быть пустым или содержать любое количество элементов. Например, если f — это функция от целых чисел к ним самим, которая отображает каждое целое число в 0, то . ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)=\mathbb {Z} }$

Если — функция, A и B — подмножества X , а C и D — подмножества Y , то выполняются следующие свойства: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)}$
• ${\displaystyle C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)}$
• ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A))}$
• ${\displaystyle C\supseteq f(f^{-1}(C))}$
• ${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)}$

Прообраз элемента y области значений по f в некоторых контекстах иногда называют волокном y относительно f .

Если функция f имеет обратную функцию (см. ниже), эта обратная функция обозначается В этом случае можно обозначить либо образ, либо прообраз с помощью f множества C . Это не проблема, так как эти множества равны. Обозначения и могут быть неоднозначными в случае множеств, которые содержат некоторые подмножества в качестве элементов, например В этом случае может потребоваться некоторая осторожность, например, используя квадратные скобки для образов и прообразов подмножеств и обычные скобки для образов и прообразов элементов. ${\displaystyle f^{-1}.}$ ${\displaystyle f^{-1}(C)}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle f^{-1}(C)}$ ${\displaystyle \{x,\{x\}\}.}$ ${\displaystyle f[A],f^{-1}[C]}$

Инъективные, сюръективные и биективные функции

Пусть будет функцией. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Функция f является инъективной (или взаимно-однозначной , или инъекцией ) , если f ( a ) ≠ f ( b ) для любых двух различных элементов a и b из X . ^{[17] [19]} Эквивалентно, f является инъективной тогда и только тогда, когда для каждого прообраз содержит не более одного элемента. Пустая функция всегда инъективна. Если X не является пустым множеством, то f является инъективной тогда и только тогда, когда существует функция такая , что если f имеет левую обратную . ^[19] Доказательство : Если f является инъективной, для определения g выбирают элемент в X (который существует, поскольку X должен быть непустым), ^{[примечание 6]} и определяют g с помощью если и если Обратно, если и тогда и таким образом ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle g:Y\to X}$ ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle g(y)=x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle g(y)=x_{0}}$ ${\displaystyle y\not \in f(X).}$ ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$ ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle x=g(y),}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$

Функция f является сюръективной (или на , или является сюръекцией ), если ее область значений равна ее области значений , то есть, если для каждого элемента области значений существует некоторый элемент области значений, такой что (другими словами, прообраз каждого непуст). ^{[17] [20]} Если, как это обычно бывает в современной математике, предполагается аксиома выбора , то f является сюръективной тогда и только тогда, когда существует функция, такая что , то есть, если f имеет правую обратную . ^[20] Аксиома выбора необходима, потому что, если f является сюръективной, то g определяется как , где — произвольно выбранный элемент области значений. ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle g:Y\to X}$ ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$ ${\displaystyle g(y)=x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f^{-1}(y).}$

Функция f является биекцией (или является биекцией или соответствием один к одному ), если она является как инъективной, так и сюръективной. ^{[17] [21]} То есть, f является биекцией, если для каждого прообраз содержит ровно один элемент. Функция f является биекцией тогда и только тогда, когда она допускает обратную функцию , то есть функцию такую, что и ^[21] (В отличие от случая сюръекций, это не требует аксиомы выбора; доказательство простое). ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle g:Y\to X}$ ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$

Каждая функция может быть факторизована как композиция сюръекции, за которой следует инъекция, где s — каноническая сюръекция X на f ( X ) , а i — каноническая инъекция f ( X ) в Y . Это каноническая факторизация f . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle i\circ s}$

«Один к одному» и «на» — термины, которые были более распространены в старой англоязычной литературе; «инъективный», «сюръективный» и «биективный» были изначально придуманы как французские слова во второй четверти 20-го века группой Бурбаки и импортированы в английский язык. ^[22] В качестве предостережения, «один к одному» — это та, которая является инъективной, в то время как «один к одному» относится к биективной функции. Кроме того, утверждение « f отображает X на Y » отличается от « f отображает X в B » тем, что первое подразумевает, что f является сюръективным, в то время как последнее не делает никаких утверждений о природе f . В сложных рассуждениях разницу в одну букву можно легко упустить. Из-за запутанной природы этой старой терминологии эти термины потеряли популярность по сравнению с терминами Бурбаки, которые также имеют преимущество в том, что они более симметричны.

Ограничение и расширение

Если — функция, а S — подмножество X , то ограничение на S , обозначаемое , — это функция из S в Y, определяемая формулой ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f|_{S}}$

${\displaystyle f|_{S}(x)=f(x)}$

для всех x из S . Ограничения могут быть использованы для определения частично обратных функций : если существует подмножество S области определения функции такое, что является инъективным, то каноническая сюръекция на его образ является биекцией и, таким образом, имеет обратную функцию от до S . Одним из приложений является определение обратных тригонометрических функций . Например, функция косинуса инъективна, когда ограничена интервалом [ 0, π ] . Изображением этого ограничения является интервал [−1, 1] , и, таким образом, ограничение имеет обратную функцию от [−1, 1] до [0, π ] , которая называется арккосинусом и обозначается arccos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f|_{S}}$ ${\displaystyle f|_{S}}$ ${\displaystyle f|_{S}(S)=f(S)}$ ${\displaystyle f(S)}$

Ограничение функции также может использоваться для «склеивания» функций. Пусть будет разложением X как объединения подмножеств, и предположим, что функция определена на каждом из них так, что для каждой пары индексов ограничения и равны . Тогда это определяет уникальную функцию, такую ​​что для всех i . Это способ, которым определяются функции на многообразиях . ${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to Y}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f|_{U_{i}}=f_{i}}$

Расширение функции f — это функция g, такая что f является ограничением g . Типичным применением этой концепции является процесс аналитического продолжения , который позволяет расширять функции, область определения которых составляет небольшую часть комплексной плоскости, до функций, область определения которых составляет почти всю комплексную плоскость.

Вот еще один классический пример расширения функции, который встречается при изучении гомографии действительной прямой . Гомография — это функция , такая что ad − bc ≠ 0. Ее область определения — множество всех действительных чисел, отличных от , а ее образ — множество всех действительных чисел, отличных от Если продолжить действительную прямую до проективно продолженной действительной прямой, включив ∞ , можно продолжить h до биекции с продолженной действительной прямой на себя, положив и . ${\displaystyle h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$ ${\displaystyle -d/c,}$ ${\displaystyle a/c.}$ ${\displaystyle h(\infty )=a/c}$ ${\displaystyle h(-d/c)=\infty }$

В исчислении

Идея функции, возникшая в XVII веке, стала основополагающей для нового исчисления бесконечно малых . В то время рассматривались только действительные функции действительной переменной , и все функции считались гладкими . Но вскоре определение было распространено на функции нескольких переменных и на функции комплексной переменной . Во второй половине XIX века было введено математически строгое определение функции, а также были определены функции с произвольными областями определения и кодоменами.

Функции теперь используются во всех областях математики. В вводном исчислении , когда слово функция используется без уточнения, оно означает действительную функцию одной действительной переменной. Более общее определение функции обычно вводится студентам второго или третьего курса колледжа со специализацией STEM , а на последнем курсе они знакомятся с исчислением в более широкой и строгой обстановке на таких курсах, как действительный анализ и комплексный анализ .

Действительная функция

График линейной функции

График полиномиальной функции, в данном случае квадратичной функции.

График двух тригонометрических функций: синуса и косинуса .

Действительная функция — это функция действительной переменной , принимающая действительное значение , то есть функция, областью значений которой является поле действительных чисел , а областью значений — множество действительных чисел , содержащее интервал . В этом разделе эти функции называются просто функциями .

Функции, которые чаще всего рассматриваются в математике и ее приложениях, обладают некоторой регулярностью, то есть они непрерывны , дифференцируемы и даже аналитичны . Эта регулярность гарантирует, что эти функции могут быть визуализированы с помощью их графиков. В этом разделе все функции дифференцируемы в некотором интервале.

Функции обладают точечными операциями , то есть если f и g являются функциями, то их сумма, разность и произведение являются функциями, определяемыми соотношением

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.}$

Области определения результирующих функций являются пересечением областей определения f и g . Частное двух функций определяется аналогично:

${\displaystyle {\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$

но область определения результирующей функции получается путем удаления нулей g из пересечения областей определения f и g .

Полиномиальные функции определяются полиномами , а их область определения — весь набор действительных чисел. Они включают в себя постоянные функции , линейные функции и квадратичные функции . Рациональные функции являются частными двух полиномиальных функций, а их область определения — действительные числа, из которых удалено конечное число, чтобы избежать деления на ноль . Простейшая рациональная функция — это функция , графиком которой является гипербола , а областью определения — вся действительная прямая, за исключением 0. ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}$

Производная действительной дифференцируемой функции является действительной функцией. Первообразная непрерывной действительной функции является действительной функцией, которая имеет исходную функцию в качестве производной. Например, функция непрерывна и даже дифференцируема на положительных действительных числах. Таким образом, одна первообразная, которая принимает значение ноль при x = 1 , является дифференцируемой функцией, называемой натуральным логарифмом . ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

Действительная функция f монотонна на интервале, если знак не зависит от выбора x и y в интервале. Если функция дифференцируема на интервале, она монотонна, если знак производной постоянен на интервале. Если действительная функция f монотонна на интервале I , она имеет обратную функцию , которая является действительной функцией с областью определения f ( I ) и изображением I . Вот как обратные тригонометрические функции определяются в терминах тригонометрических функций , где тригонометрические функции монотонны. Другой пример: натуральный логарифм монотонен на положительных действительных числах, а его изображением является вся действительная прямая; поэтому он имеет обратную функцию, которая является биекцией между действительными числами и положительными действительными числами. Эта обратная функция является экспоненциальной функцией . ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

Многие другие действительные функции определяются либо теоремой о неявной функции (обратная функция является частным случаем), либо как решения дифференциальных уравнений . Например, функции синуса и косинуса являются решениями линейного дифференциального уравнения

${\displaystyle y''+y=0}$

такой что

${\displaystyle \sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.}$

Векторная функция

Когда элементы области значений функции являются векторами , говорят, что функция является векторнозначной функцией. Такие функции особенно полезны в приложениях, например, для моделирования физических свойств. Например, функция, которая сопоставляет каждой точке жидкости ее вектор скорости, является векторнозначной функцией.

Некоторые векторные функции определены на подмножестве или других пространствах, которые разделяют геометрические или топологические свойства , например, многообразия . Эти векторные функции называются векторными полями . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Функциональное пространство

В математическом анализе , а точнее в функциональном анализе , функциональное пространство — это набор скалярных или векторных функций , которые обладают определенным свойством и образуют топологическое векторное пространство . Например, действительные гладкие функции с компактным носителем (то есть они равны нулю вне некоторого компактного множества ) образуют функциональное пространство, которое лежит в основе теории распределений .

Функциональные пространства играют фундаментальную роль в передовом математическом анализе, позволяя использовать их алгебраические и топологические свойства для изучения свойств функций. Например, все теоремы существования и единственности решений обыкновенных или частных дифференциальных уравнений являются результатом изучения функциональных пространств.

Многозначные функции

Вместе два квадратных корня всех неотрицательных действительных чисел образуют одну гладкую кривую.

Несколько методов задания функций действительных или комплексных переменных начинаются с локального определения функции в точке или в окрестности точки, а затем непрерывно расширяют функцию на гораздо большую область. Часто для начальной точки существует несколько возможных начальных значений функции. ${\displaystyle x_{0},}$

Например, при определении квадратного корня как обратной функции квадратной функции для любого положительного действительного числа есть два варианта выбора для значения квадратного корня, один из которых положительный и обозначается , а другой отрицательный и обозначается Эти варианты определяют две непрерывные функции, обе имеющие неотрицательные действительные числа в качестве области определения и имеющие либо неотрицательные, либо неположительные действительные числа в качестве изображений. При рассмотрении графиков этих функций можно увидеть, что вместе они образуют одну гладкую кривую . Поэтому часто бывает полезно рассматривать эти две функции квадратного корня как одну функцию, которая имеет два значения для положительных x , одно значение для 0 и ни одного значения для отрицательных x . ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle {\sqrt {x_{0}}},}$ ${\displaystyle -{\sqrt {x_{0}}}.}$

В предыдущем примере один выбор, положительный квадратный корень, более естественен, чем другой. В общем случае это не так. Например, рассмотрим неявную функцию , которая отображает y в корень x из (см. рисунок справа). Для y = 0 можно выбрать либо для x . По теореме о неявной функции каждый выбор определяет функцию; для первого (максимальная) область определения — это интервал [−2, 2] , а изображение — [−1, 1] ; для второго область определения — это [−2, ∞) , а изображение — это [1, ∞) ; для последнего домен равен (−∞, 2] , а изображение равно (−∞, −1] . Поскольку три графика вместе образуют гладкую кривую и нет причин отдавать предпочтение одному выбору, эти три функции часто рассматриваются как одна многозначная функция y , которая имеет три значения для −2 < y < 2 и только одно значение для y ≤ −2 и y ≥ −2 . ${\displaystyle x^{3}-3x-y=0}$ ${\displaystyle 0,{\sqrt {3}},{\text{ or }}-{\sqrt {3}}}$

Полезность концепции многозначных функций становится яснее при рассмотрении комплексных функций, как правило, аналитических функций . Область, на которую может быть расширена сложная функция аналитическим продолжением, обычно состоит почти из всей комплексной плоскости . Однако при расширении области по двум различным путям часто получаются разные значения. Например, при расширении области функции квадратного корня по пути комплексных чисел с положительными мнимыми частями получается i для квадратного корня из −1; в то время как при расширении по комплексным числам с отрицательными мнимыми частями получается − i . Обычно существует два способа решения этой проблемы. Можно определить функцию, которая не является непрерывной вдоль некоторой кривой, называемой срезом ветви . Такая функция называется главным значением функции. Другой способ состоит в том, чтобы считать, что у нас есть многозначная функция , которая аналитична всюду, за исключением изолированных особенностей, но значение которой может «прыгать», если следовать замкнутому контуру вокруг особенности. Этот скачок называется монодромией .

В основах математики

Определение функции, которое дано в этой статье, требует концепции множества , поскольку область определения и кодомен функции должны быть множеством. Это не проблема в обычной математике, так как обычно несложно рассматривать только функции, область определения и кодомен являются множествами, которые хорошо определены, даже если область определения явно не определена. Однако иногда полезно рассматривать более общие функции.

Например, синглтон-множество можно рассматривать как функцию Его область определения будет включать все множества, и, следовательно, не будет множеством. В обычной математике избегают такого рода проблем, указывая область определения, что означает, что есть много синглтон-функций. Однако при установлении основ математики, возможно, придется использовать функции, область определения, кодомен или обе не указаны, и некоторые авторы, часто логики, дают точное определение для этих слабо указанных функций. ^[23] ${\displaystyle x\mapsto \{x\}.}$

Эти обобщенные функции могут иметь решающее значение в разработке формализации основ математики . Например, теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя является расширением теории множеств, в которой совокупность всех множеств является классом . Эта теория включает аксиому замены , которая может быть сформулирована как: Если X — множество, а F — функция, то F [ X ] — множество.

В альтернативных формулировках основ математики, использующих теорию типов , а не теорию множеств, функции рассматриваются как примитивные понятия, а не определяются из других видов объектов. Они являются обитателями типов функций и могут быть построены с использованием выражений в лямбда-исчислении . ^[24]

В области компьютерных наук

В компьютерном программировании функция , в общем, является частью компьютерной программы , которая реализует абстрактную концепцию функции. То есть, это программная единица, которая производит вывод для каждого ввода. Однако во многих языках программирования каждая подпрограмма называется функцией , даже когда вывод отсутствует, и когда функциональность заключается просто в изменении некоторых данных в памяти компьютера .

Функциональное программирование — это парадигма программирования, состоящая из построения программ с использованием только подпрограмм, которые ведут себя как математические функции. Например, if_then_else— это функция, которая принимает три функции в качестве аргументов и, в зависимости от результата первой функции ( true или false ), возвращает результат либо второй, либо третьей функции. Важным преимуществом функционального программирования является то, что оно упрощает доказательства программ , поскольку основано на хорошо обоснованной теории — лямбда-исчислении (см. ниже).

За исключением терминологии компьютерного языка, «функция» имеет обычное математическое значение в информатике . В этой области свойство, представляющее большой интерес, — это вычислимость функции. Для придания точного смысла этому понятию и связанному с ним понятию алгоритма было введено несколько моделей вычислений , старые из которых — общие рекурсивные функции , лямбда-исчисление и машина Тьюринга . Основная теорема теории вычислимости заключается в том, что эти три модели вычислений определяют один и тот же набор вычислимых функций, и что все другие модели вычислений, которые когда-либо предлагались, определяют один и тот же набор вычислимых функций или меньший. Тезис Чёрча–Тьюринга — это утверждение, что каждое философски приемлемое определение вычислимой функции определяет также те же функции.

Общие рекурсивные функции — это частичные функции от целых чисел до целых чисел, которые можно определить из

• постоянные функции ,
• преемник и
• функции проекции

через операторов

• состав,
• примитивная рекурсия и
• минимизация .

Хотя они определены только для функций от целых чисел до целых чисел, они могут моделировать любую вычислимую функцию вследствие следующих свойств:

• вычисление — это манипулирование конечными последовательностями символов (цифрами чисел, формулами, ...),
• каждая последовательность символов может быть закодирована как последовательность битов ,
• Последовательность битов можно интерпретировать как двоичное представление целого числа.

Лямбда-исчисление — это теория, которая определяет вычислимые функции без использования теории множеств и является теоретическим фоном функционального программирования. Оно состоит из терминов , которые являются либо переменными, либо определениями функций ( 𝜆 -термы), либо приложениями функций к термам. Термины обрабатываются с помощью некоторых правил ( α -эквивалентность, β -редукция и η -преобразование), которые являются аксиомами теории и могут интерпретироваться как правила вычислений.

В своей первоначальной форме лямбда-исчисление не включает в себя понятия домена и кодомена функции. Грубо говоря, они были введены в теорию под названием типа в типизированном лямбда-исчислении . Большинство видов типизированных лямбда-исчислений могут определять меньше функций, чем нетипизированное лямбда-исчисление.

Смотрите также

Подстраницы

• История концепции функции
• Список типов функций
• Список функций
• Функциональная подгонка
• Неявная функция

Обобщения

• Функция высшего порядка
• Гомоморфизм
• Морфизм
• Микрофункция
• Распределение
• Функтор

Похожие темы

• Ассоциативный массив
• Выражение в закрытой форме
• Элементарная функция
• Функциональный
• Функциональная декомпозиция
• Функциональный предикат
• Функциональное программирование
• Параметрическое уравнение
• Установить функцию
• Простая функция

Примечания

1. Это определение «графа» относится к набору пар объектов. Графики, в смысле диаграмм , наиболее применимы к функциям от действительных чисел до самих себя. Все функции могут быть описаны наборами пар, но может быть непрактично строить диаграмму для функций между другими наборами (например, наборами матриц).
2. Истинную область определения такой функции часто называют областью определения функции.
3. n также может быть 1, таким образом, включая функции, определенные выше. При n = 0 каждая константа также является частным случаем многомерной функции.
4. Здесь «элементарный» не имеет в точности своего здравого смысла: хотя большинство функций, встречающихся в элементарных курсах математики, являются элементарными в этом смысле, некоторые элементарные функции не являются элементарными для здравого смысла, например, те, которые содержат корни многочленов высокой степени.
5. По определению график пустой функции для X является подмножеством декартова произведения ∅ × X , и это произведение пусто.
6. Аксиома выбора здесь не нужна, так как выбор осуществляется в одном наборе.

Ссылки

1. Halmos 1970, стр. 30; слова «карта» , «отображение» , «преобразование », «соответствие » и «оператор» иногда используются как синонимы.
2. Халмош 1970
3. "Картография". Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
4. "функция | Определение, типы, примеры и факты". Encyclopedia Britannica . Получено 2020-08-17 .
5. Спивак 2008, стр. 39.
6. Кудрявцев, Л. Д. (2001) [1994]. "Функция". Энциклопедия математики . Издательство EMS .
7. Taalman, Laura ; Kohn, Peter (2014). Исчисление . Нью-Йорк : WH Freeman and Company . стр. 3. ISBN 978-1-4292-4186-1. LCCN  2012947365. OCLC  856545590. OL  27544563M.
8. Trench, William F. (2013) [2003]. Введение в реальный анализ (2.04-е изд.). Pearson Education (первоначально; самостоятельно переиздано автором). стр. 30–32. ISBN 0-13-045786-8. LCCN  2002032369. OCLC  953799815. Збл  1204.00023.
9. Томсон, Брайан С.; Брукнер, Джудит Б.; Брукнер, Эндрю М. (2008) [2001]. Elementary Real Analysis (PDF) (2-е изд.). Prentice Hall (первоначально; 2-е изд. самостоятельно переиздано авторами). стр. A-4–A-5. ISBN 978-1-4348-4367-8. OCLC  1105855173. ОЛ  31844948М. Збл  0872.26001.
10. Халмош, Пол Р. (1974). Наивная теория множеств . Springer. С. 30–33.
11. Ларсон, Рон; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной . Cengage Learning. стр. 19. ISBN 978-0-538-73552-0.
12. Weisstein, Eric W. "Map". mathworld.wolfram.com . Получено 12 июня 2019 г.
13. Lang, Serge (1987). "III §1. Отображения". Линейная алгебра (3-е изд.). Springer. стр. 43. ISBN 978-0-387-96412-6Функция — это особый тип отображения, а именно отображение множества в множество чисел, т. е. в R или C или в поле K.
14. Apostol, TM (1981). Математический анализ (2-е изд.). Addison-Wesley. стр. 35. ISBN 978-0-201-00288-1. OCLC  928947543.
15. Джеймс, Роберт С.; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (5-е изд.). Van Nostrand Reinhold. стр. 202. ISBN 0-442-00741-8. OCLC  25409557.
16. Джеймс и Джеймс 1992, стр. 48
17. Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June ; Leader, Imre , ред. (2008). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton, New Jersey : Princeton University Press . стр. 11. doi :10.1515/9781400830398. ISBN 978-0-691-11880-2. JSTOR  j.ctt7sd01. LCCN  2008020450. МР  2467561. OCLC  227205932. ОЛ  19327100М. Збл  1242.00016.
18. Величины и единицы - Часть 2: Математические знаки и символы, используемые в естественных науках и технологиях , стр. 15. ISO 80000-2 (ISO/IEC 2009-12-01)
19. Иванова, ОА (2001) [1994]. «Инъекция». Энциклопедия математики . Издательство EMS .
20. Иванова, ОА (2001) [1994]. "Сюръекция". Энциклопедия математики . EMS Press .
21. Иванова, ОА (2001) [1994]. «Биекция». Энциклопедия математики . EMS Press .
22. Хартнетт, Кевин (9 ноября 2020 г.). «Внутри тайного математического общества, известного просто как Николя Бурбаки». Журнал Quanta . Получено 05.06.2024 .
23. Гёдель 1940, с. 16; Джех 2003, с. 11; Каннингем 2016, с. 57
24. Клев, Анстен (2019). «Сравнение теории типов с теорией множеств». В Centrone, Стефания; Кант, Дебора; Сарикая, Дениз (ред.). Размышления об основаниях математики: унифицированные основания, теория множеств и общие мысли . Библиотека синтеза. Том 407. Cham: Springer. стр. 271–292. doi :10.1007/978-3-030-15655-8_12. ISBN 978-3-030-15654-1. МР  4352345.

Источники

• Бартл, Роберт (1976). Элементы реального анализа (2-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-05465-8. OCLC  465115030.
• Блох, Итан Д. (2011). Доказательства и основы: Первый курс абстрактной математики. Springer. ISBN 978-1-4419-7126-5.
• Каннингем, Дэниел В. (2016). Теория множеств: Первый курс . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-12032-7.
• Гёдель, Курт (1940). Согласованность гипотезы континуума . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1.
• Халмос, Пол Р. (1970). Наивная теория множеств. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90092-6.
• Джех, Томас (2003). Теория множеств (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-540-44085-7.
• Спивак, Майкл (2008). Calculus (4-е изд.). Опубликуй или погибни. ISBN 978-0-914098-91-1.

Дальнейшее чтение

• Антон, Говард (1980). Исчисление с аналитической геометрией . Wiley . ISBN 978-0-471-03248-9.
• Бартл, Роберт Г. (1976). Элементы реального анализа (2-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-05464-1.
• Дубинский, Эд; Харель, Гершон (1992). Понятие функции: аспекты эпистемологии и педагогики . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-081-7.
• Хаммак, Ричард (2009). "12. Функции" (PDF) . Книга доказательств. Университет Содружества Вирджинии . Получено 01.08.2012 .
• Хаш, Лоуренс С. (2001). Визуальное исчисление. Университет Теннесси . Получено 27 сентября 2007 г.
• Кац, Роберт (1964). Аксиоматический анализ . DC Heath and Company .
• Кляйнер, Израиль (1989). «Эволюция концепции функции: краткий обзор». The College Mathematics Journal . 20 (4): 282–300. CiteSeerX  10.1.1.113.6352 . doi :10.2307/2686848. JSTOR  2686848.
• Lützen, Jesper (2003). "Между строгостью и приложениями: разработки в концепции функции в математическом анализе". В Porter, Roy (ред.). Кембриджская история науки: современные физические и математические науки . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57199-9.Доступное и занимательное историческое представление.
• Малик, МА (1980). «Исторические и педагогические аспекты определения функции». Международный журнал математического образования в науке и технике . 11 (4): 489–492. doi :10.1080/0020739800110404.
• Рейхенбах, Ганс (1947). Элементы символической логики . Дувр. ISBN 0-486-24004-5.
• Рутинг, Д. (1984). «Старый Интеллидженсер: Некоторые определения концепции функции от Бернулли, Йох. до Бурбаки, Н.». Mathematical Intelligencer . 6 (4): 71–78. doi :10.1007/BF03026743. S2CID  189883712.
• Томас, Джордж Б.; Финни, Росс Л. (1995). Исчисление и аналитическая геометрия (9-е изд.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-53174-9.

Внешние ссылки

• Wolfram Functions – веб-сайт, содержащий формулы и визуализации многих математических функций.
• Цифровая библиотека математических функций NIST