Матрица взвешивания

Математическое весовое устройство

Матрицы взвешивания так называются из-за их использования для оптимального измерения индивидуального веса нескольких объектов. ^{[1] [2]}

В математике матрица взвешивания порядка и веса — это матрица с элементами из множества, такими что: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{0,1,-1\}}$

${\displaystyle WW^{\mathsf {T}}=wI_{n}}$

Где — транспонированная матрица и — единичная матрица порядка . Вес также называется степенью матрицы. Для удобства матрица взвешивания порядка и веса часто обозначается как . ^[3] ${\displaystyle W^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle W(n,w)}$

Матрицы взвешивания так называются из-за их использования для оптимального измерения индивидуальных весов нескольких объектов. Когда весовое устройство представляет собой балансировочные весы , статистическую дисперсию измерения можно минимизировать путем взвешивания нескольких объектов одновременно, включая некоторые объекты на противоположной чаше весов, где они вычитаются из измерения. ^{[1] [2]}

Характеристики

Некоторые свойства вытекают из определения. Если — это , то: ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W(n,w)}$

• Строки попарно ортогональны . Аналогично, столбцы попарно ортогональны. ${\displaystyle W}$
• Каждая строка и каждый столбец имеют ровно ненулевые элементы. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle W^{\mathsf {T}}W=wI}$, поскольку определение означает, что , где — обратная величина . ${\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle W^{-1}}$ ${\displaystyle W}$
• ${\displaystyle \det W=\pm w^{n/2}}$где — определитель .​ ${\displaystyle \det W}$ ${\displaystyle W}$

Матрица взвешивания является обобщением матрицы Адамара , которая не допускает нулевых записей. ^[3] В качестве двух особых случаев a является матрицей Адамара ^[3] и a эквивалентна матрице конференции . ${\displaystyle W(n,n)}$ ${\displaystyle W(n,n-1)}$

Приложения

Экспериментальный дизайн

Матрицы взвешивания получили свое название от проблемы измерения веса нескольких объектов. Если измерительное устройство имеет статистическую дисперсию , то измерение веса объектов и вычитание (столь же неточного) веса тары приведет к окончательному измерению с дисперсией . ^[4] Можно повысить точность оценочных весов, измеряя различные подмножества объектов, особенно при использовании весов-балансиров , где объекты можно положить на противоположную мерную чашу, где они вычитают свой вес из измерения. ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2\sigma ^{2}}$

Матрица порядка может быть использована для представления размещения объектов, включая вес тары, в испытаниях. Предположим, что левая чаша весов добавляет к измерению, а правая чаша вычитает из измерения. Каждый элемент этой матрицы будет иметь: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w_{ij}}$

${\displaystyle w_{ij}={\begin{cases}0&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was not measured}}\\1&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was placed in the left pan}}\\-1&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was placed in the right pan }}\\\end{cases}}}$

Пусть будет вектором-столбцом измерений каждого из испытаний, пусть будут ошибками этих измерений, каждая из которых независима и одинаково распределена с дисперсией , и пусть будет вектором-столбцом истинных весов каждого из объектов. Тогда мы имеем: ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathbf {x} =W\mathbf {y} +\mathbf {e} }$

Предполагая, что невырожденное , мы можем использовать метод наименьших квадратов для вычисления оценки истинных весов: ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \mathbf {y} =(W^{T}W)^{-1}W\mathbf {x} }$

Дисперсия оценочного вектора не может быть ниже , и будет минимальной тогда и только тогда, когда является весовой матрицей. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}/n}$ ${\displaystyle W}$

Оптическое измерение

Оптическая маска (3) на основе матрицы взвешивания используется при измерении спектра входящего света (4). В зависимости от соответствующего элемента матрицы свет либо поглощается, либо передается на один из двух детекторов интенсивности (1,2). ^[6]

Матрицы взвешивания появляются в проектировании спектрометров , сканеров изображений ^[6] и оптических систем мультиплексирования. ^{[5] Конструкция этих приборов включает оптическую маску и два детектора, которые измеряют интенсивность света. Маска может либо пропускать свет к первому детектору, либо поглощать} его , либо отражать его к второму детектору. Измерение второго детектора вычитается из первого, и поэтому эти три случая соответствуют элементам матрицы взвешивания 1, 0 и −1 соответственно. Поскольку это по сути та же проблема измерения, что и в предыдущем разделе, полезность матриц взвешивания также применима. ^[6]

Ортогональные конструкции

Ортогональный дизайн порядка и типа , где — положительные целые числа, — это матрица, элементы которой находятся в наборе , где — коммутирующие переменные. Кроме того, ортогональный дизайн должен удовлетворять: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{u})}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \{0,\pm x_{1},\dots ,\pm x_{u}\}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle XX^{T}=\sum _{i=0}^{u}s_{i}x_{i}^{2}}$

Это ограничение также эквивалентно тому, что строки являются ортогональными и каждая строка имеет ровно вхождения . ^[7] Ортогональный план может быть обозначен как . ^[8] Ортогональный план одной переменной является матрицей взвешивания, и поэтому две области изучения связаны. ^[7] Благодаря этой связи новые ортогональные планы могут быть обнаружены посредством матриц взвешивания. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {OD} (n;s_{1},\dots ,s_{u})}$

Примеры

Обратите внимание, что при отображении матриц взвешивания символ используется для представления −1. Вот несколько примеров: ${\displaystyle -}$

Это : ${\displaystyle W(2,2)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}}$

Это : ${\displaystyle W(4,3)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&-&0&1\\1&0&-&-\\0&1&-&1\end{pmatrix}}}$

Это : ${\displaystyle W(7,4)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-\\0&1&0&-&1&0&1\\0&0&1&-&-&1&0\end{pmatrix}}}$

Другой : ${\displaystyle W(7,4)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-&1&1&0&1&0&0\\0&-&1&1&0&1&0\\0&0&-&1&1&0&1\\1&0&0&-&1&1&0\\0&1&0&0&-&1&1\\1&0&1&0&0&-&1\\1&1&0&1&0&0&-\end{pmatrix}}}$

Которая является циркулянтной , т. е. каждая строка является циклическим сдвигом предыдущей строки. Такая матрица называется и определяется своей первой строкой. Циркулянтные весовые матрицы представляют особый интерес, поскольку их алгебраическая структура упрощает их классификацию. Действительно, мы знаем, что циркулянтная весовая матрица порядка и веса должна иметь квадратный вес. Таким образом, веса допустимы, и веса были полностью классифицированы. ^[10] Два особых (и на самом деле крайних) случая циркулянтных весовых матриц — это (A) циркулянтные матрицы Адамара, которые, как предполагается, не существуют, если их порядок не меньше 5. Эта гипотеза, циркулянтная гипотеза Адамара, впервые выдвинутая Райзером, как известно, верна для многих порядков, но все еще остается открытой . (B) веса и минимального порядка существуют, если — степень простого числа , и такую ​​циркулянтную весовую матрицу можно получить, подписав дополнение конечной проективной плоскости . Поскольку все для были классифицированы, первый открытый случай — . Первый открытый случай для общей весовой матрицы (конечно, не циркулянта) — . ${\displaystyle CW(n,k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1,4,9,16,...}$ ${\displaystyle k\leq 25}$ ${\displaystyle CW(n,k)}$ ${\displaystyle k=s^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle CW(n,k)}$ ${\displaystyle k\leq 25}$ ${\displaystyle CW(105,36)}$ ${\displaystyle W(35,25)}$

Эквивалентность

Две матрицы взвешивания считаются эквивалентными, если одну можно получить из другой с помощью ряда перестановок и отрицаний строк и столбцов матрицы. Классификация матриц взвешивания завершена для случаев, когда , а также для всех случаев, когда также завершены. ^[11] Однако, очень мало было сделано за пределами этого, за исключением классификации циркулянтных матриц взвешивания. ^{[12] [13]} ${\displaystyle w\leq 5}$ ${\displaystyle n\leq 15}$

Существование

Одним из основных открытых вопросов о матрицах взвешивания является их существование: для каких значений и существует ли ? Были выдвинуты следующие предположения о существовании : ^[7] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle W(n,w)}$ ${\displaystyle W(n,w)}$

1. Если , то существует тогда и только тогда, когда является суммой двух целых квадратов. ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle W(n,w)}$ ${\displaystyle w<n-1}$
2. Если тогда существует для каждого . ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle W(n,w)}$ ${\displaystyle w<n}$
3. Если тогда существует ортогональный план для всех , где — сумма трех целых квадратов. ${\displaystyle n\equiv 4{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,1)}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k}$
4. Если тогда существует ортогональный план для всех . ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,k)}$ ${\displaystyle k<n}$
5. Если тогда существует ортогональный план для всех такой, что , целое число. ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,k)}$ ${\displaystyle k<n-1}$ ${\displaystyle k=a^{2}}$ ${\displaystyle a}$

Хотя последние три гипотезы являются утверждениями об ортогональных планах, было показано, что существование ортогонального плана эквивалентно существованию матриц взвешивания порядка , где имеет вес . ^[7] ${\displaystyle \mathrm {OD} (n;s_{1},\dots ,s_{u})}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{u}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$

Не менее важным, но часто упускаемым из виду вопросом о взвешивании матриц является их перечисление: для заданных и сколько имеется ? ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle W(n,w)}$

Ссылки

1. Raghavarao, Damaraju (1960). «Некоторые аспекты взвешивания конструкций». Анналы математической статистики . 31 (4). Институт математической статистики: 878–884. doi : 10.1214/aoms/1177705664 . ISSN  0003-4851.
2. Seberry, Jennifer (2017). «Некоторые алгебраические и комбинаторные результаты несуществования». Ортогональные конструкции . Cham: Springer International Publishing. стр. 7–17. doi :10.1007/978-3-319-59032-5_2. ISBN 978-3-319-59031-8.
3. Geramita, Anthony V.; Pullman, Norman J.; Wallis, Jennifer S. (1974). «Семейства весовых матриц». Бюллетень Австралийского математического общества . 10 (1). Cambridge University Press (CUP): 119–122. doi :10.1017/s0004972700040703. ISSN  0004-9727. S2CID  122560830.
4. Raghavarao, Damaraju (1971). "Weighing Designs". Конструкции и комбинаторные проблемы в планировании экспериментов . Нью-Йорк: Wiley. С. 305–308. ISBN 978-0471704850.
5. Koukouvinos, Christos; Seberry, Jennifer (1997). «Взвешивающие матрицы и их применение». Журнал статистического планирования и вывода . 62 (1). Elsevier BV: 91–101. doi :10.1016/s0378-3758(96)00172-3. ISSN  0378-3758. S2CID  122205953.
6. Sloane, Neil JA; Harwit, Martin (1976-01-01). «Маски для оптики преобразования Адамара и весовые конструкции». Прикладная оптика . 15 (1). Оптическое общество: 107–114. Bibcode :1976ApOpt..15..107S. doi :10.1364/ao.15.000107. ISSN  0003-6935. PMID  20155192.
7. Geramita, Anthony V.; Seberry, Jennifer (1974). "Ортогональные конструкции III: взвешивающие матрицы". Utilitas Mathematica .
8. Чарльз Дж. Колборн (1996). «Ортогональные конструкции». В Колборне, Чарльз Дж. (ред.). Справочник CRC по комбинаторным планам (1-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press. п. 400. дои : 10.1201/9781003040897. ISBN 9781003040897.
9. Коциреас, Илиас; Кукувинос, Христос; Себерри, Дженнифер (2008). «Новые ортогональные конструкции из весовых матриц». Австралийский журнал комбинаторики . 40 : 99–104.
10. Арасу, КТ; Гордон, Дэниел М.; Чжан, Йиран (2019). «Новые результаты несуществования на циркулянтных весовых матрицах». arXiv : 1908.08447v3 . {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
11. Харада, Масааки; Мунемаса, Акихиро (2012). «О классификации весовых матриц и самоортогональных кодов». J. Combin. Designs . 20 : 40–57. arXiv : 1011.5382 . doi : 10.1002/jcd.20295. S2CID  1004492.
12. Ang, Miin Huey; Arasu, KT; Lun Ma, Siu; Strassler, Yoseph (2008). «Исследование правильных циркулянтных весовых матриц с весом 9». Дискретная математика . 308 (13): 2802–2809. doi : 10.1016/j.disc.2004.12.029 .
13. Арасу, КТ; Хин Люн, штат Калифорния; Лун Ма, Сиу; Набави, Али; Рэй-Чаудхури, ДК (2006). «Определение всех возможных порядков веса 16 циркулянтных весовых матриц». Конечные поля и их приложения . 12 (4): 498–538. дои : 10.1016/j.ffa.2005.06.009 .