В векторном исчислении матрицей Якоби ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i ə n / , [1] [2] [3] / dʒ ɪ -, j ɪ -/ ) векторной функции нескольких переменных является матрица всех ее частных производных первого порядка . Когда эта матрица является квадратной , то есть когда функция принимает то же количество переменных на входе, что и количество векторных компонентов ее выхода, ее определитель называется определителем Якобиана . И матрицу, и (если применимо) определитель в литературе часто называют просто якобианом . [4]
Предположим , f : Rn → Rm — такая функция , что каждая из ее частных производных первого порядка существует на Rn . Эта функция принимает точку x ∈ Rn в качестве входных данных и выдает вектор f ( x ) ∈ Rm в качестве выходных данных . Тогда матрица Якоби функции f определяется как матрица размера m × n , обозначаемая J , чья ( i , j ) -я запись равна , или явно
где — транспонирование (вектор-строка) градиента -го компонента .
Матрица Якобиана, элементы которой являются функциями x , обозначается по-разному; общие обозначения включают D f , J f , и . [5] [6] Некоторые авторы определяют якобиан как транспонированную форму, приведенную выше.
Матрица Якобиана представляет собой дифференциал f в каждой точке, где f дифференцируемо . Подробно, если h — вектор смещения , представленный матрицей- столбцом , матричное произведение J ( x ) ⋅ h — это другой вектор смещения, который является лучшим линейным приближением изменения f в окрестности x , если f ( x ) дифференцируема в точке x . [a] Это означает, что функция, которая отображает y в f ( x ) + J ( x ) ⋅ ( y – x ), является лучшим линейным приближением f ( y ) для всех точек y , близких к x . Линейное отображение h → J ( x ) ⋅ h известно как производная или дифференциал f в точке x .
Когда m = n , матрица Якоби является квадратной, поэтому ее определитель является четко определенной функцией от x , известной как определитель Якобиана f . Он несет важную информацию о локальном поведении f . В частности, функция f имеет дифференцируемую обратную функцию в окрестности точки x тогда и только тогда, когда определитель Якобиана отличен от нуля в точке x (см. гипотезу Якобиана для связанной проблемы глобальной обратимости). Определитель Якобиана также появляется при замене переменных в кратных интегралах (см. правило замены для нескольких переменных ).
Когда m = 1 , то есть когда f : Rn → R является скалярной функцией , матрица Якобиана сводится к вектору-строке ; этот вектор - строка всех частных производных первого порядка f является транспонированием градиента f , т.е. Более того, когда m = n = 1 , то есть когда f : R → R является скалярной функцией одной переменной, матрица Якобиана имеет одну запись; эта запись является производной функции f .
Эти понятия названы в честь математика Карла Густава Якоба Якоби (1804–1851).
Якобиан вектор-функции нескольких переменных обобщает градиент скалярной функции нескольких переменных, которая, в свою очередь, обобщает производную скалярной функции одной переменной. Другими словами, матрица Якоби скалярной функции нескольких переменных представляет собой (транспонированную) ее градиент, а градиент скалярной функции одной переменной является ее производной.
В каждой точке, где функция дифференцируема, ее матрицу Якобиана также можно рассматривать как описывающую степень «растяжения», «вращения» или «преобразования», которое функция осуществляет локально вблизи этой точки. Например, если ( x ′, y ′) = f ( x , y ) используется для плавного преобразования изображения, матрица Якоби J f ( x , y ) описывает, как изображение в окрестности ( x , y ) трансформируется.
Если функция дифференцируема в точке, ее дифференциал задается в координатах матрицей Якоби. Однако функция не обязательно должна быть дифференцируемой, чтобы ее матрица Якоби была определена, поскольку должны существовать только ее частные производные первого порядка.
Если f дифференцируема в точке p в Rn , то ее дифференциал представляется через J f ( p ) . В этом случае линейное преобразование , представленное J f ( p ), является лучшим линейным приближением f вблизи точки p в том смысле, что
где o (‖ x − p ‖) — величина , которая приближается к нулю гораздо быстрее, чем расстояние между x и p , когда x приближается к p . Это приближение специализируется на приближении скалярной функции одной переменной ее полиномом Тейлора первой степени, а именно
В этом смысле якобиан можно рассматривать как своего рода « производную первого порядка » вектор-функции нескольких переменных. В частности, это означает, что градиент скалярной функции многих переменных тоже можно рассматривать как ее «производную первого порядка».
Составные дифференцируемые функции f : Rn → Rm и g : Rm → Rk удовлетворяют цепному правилу , а именно для x в Rn .
Якобиан градиента скалярной функции нескольких переменных имеет специальное название: матрица Гессе , которая в некотором смысле является « второй производной » рассматриваемой функции.
Если m = n , то f является функцией от Rn до самого себя , а матрица Якобиана является квадратной матрицей . Затем мы можем сформировать его определитель , известный как определитель Якобиана . Определитель якобиана иногда называют просто «якобианом».
Определитель Якобиана в данной точке дает важную информацию о поведении f вблизи этой точки. Например, непрерывно дифференцируемая функция f обратима вблизи точки p ∈ Rn , если определитель Якобиана в точке p отличен от нуля. Это теорема об обратной функции . Более того, если определитель Якобиана в точке p положителен , то f сохраняет ориентацию вблизи p ; если оно отрицательное , f меняет ориентацию. Абсолютное значение определителя Якобиана в точке p дает нам коэффициент, на который функция f расширяет или сжимает объемы вблизи p ; вот почему это происходит в общем правиле замены .
Определитель Якобиана используется при замене переменных при вычислении кратного интеграла функции по области в пределах ее области определения. Чтобы учесть изменение координат, величина определителя Якобиана возникает как мультипликативный множитель внутри интеграла. Это связано с тем, что n -мерный элемент dV , вообще говоря, представляет собой параллелепипед в новой системе координат, а n -объем параллелепипеда является определителем его векторов ребер.
Якобиан также можно использовать для определения устойчивости равновесия систем дифференциальных уравнений путем аппроксимации поведения вблизи точки равновесия.
Согласно теореме об обратной функции , матрица, обратная матрице Якоби обратимой функции , является матрицей Якоби обратной функции . То есть, если якобиан функции f : Rn → Rn непрерывен и неособ в точке p в Rn , то f обратима при ограничении некоторой окрестности p и
Другими словами, если определитель Якобиана не равен нулю в точке, то функция локально обратима вблизи этой точки, т. е. существует окрестность этой точки, в которой функция обратима.
(Недоказанная) гипотеза о якобиане связана с глобальной обратимостью в случае полиномиальной функции, то есть функции, определяемой n полиномами от n переменных. Он утверждает, что если определитель Якобиана является ненулевой константой (или, что то же самое, что он не имеет комплексного нуля), то функция обратима, а ее обратная функция является полиномиальной.
Если f : Rn → Rm — дифференцируемая функция , критическая точка f — это точка, в которой ранг матрицы Якоби не является максимальным. Это означает, что ранг в критической точке ниже ранга в некоторой соседней точке. Другими словами, пусть k — максимальная размерность открытых шаров , содержащихся в образе f ; тогда точка является критической, если все миноры ранга k функции f равны нулю.
В случае m = n = k точка является критической, если определитель Якобиана равен нулю.
Рассмотрим функцию f : R 2 → R 2 с ( x , y ) ↦ ( f 1 ( x , y ) , f 2 ( x , y )), заданную формулой
Тогда у нас есть
и
и матрица Якобиана f равна
а определитель Якобиана равен
Преобразование полярных координат ( r , φ ) в декартовы координаты ( x , y ) задается функцией F : R + × [0, 2 π ) → R 2 с компонентами:
Определитель Якобиана равен r . Это можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат:
Преобразование сферических координат ( ρ , φ , θ ) [7] в декартовы координаты ( x , y , z ) задается функцией F : R + × [0, π ) × [0, 2 π ) → R 3 с компонентами:
Матрица Якобиана для этого изменения координат равна
Определителем является ρ 2 sin φ . _ Поскольку dV = dx dy dz — это объем прямоугольного дифференциального элемента объема (поскольку объем прямоугольной призмы представляет собой произведение ее сторон), мы можем интерпретировать dV = ρ 2 sin φ dρ dφ dθ как объем сферического дифференциала элемент объема . В отличие от объема прямоугольного элемента дифференциального объема, объем этого элемента дифференциального объема не является константой и изменяется в зависимости от координат ( ρ и φ ). Его можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат:
Матрица Якоби функции F : R 3 → R 4 с компонентами
является
Этот пример показывает, что матрица Якобиана не обязательно должна быть квадратной матрицей.
Определитель Якоби функции F : R 3 → R 3 с компонентами
является
Отсюда мы видим, что F меняет ориентацию вблизи тех точек, где x 1 и x 2 имеют один и тот же знак; функция локально обратима всюду, кроме точек, где x 1 = 0 или x 2 = 0 . Интуитивно понятно, что если начать с крошечного объекта вокруг точки (1, 2, 3) и применить F к этому объекту, то в результате мы получим объект размером примерно в 40 × 1 × 2 = 80 раз больше исходного, с ориентация перевернута.
Рассмотрим динамическую систему вида , где – (покомпонентная) производная по параметру эволюции (времени), дифференцируемая. Если , то это стационарная точка (также называемая устойчивым состоянием ). По теореме Хартмана-Гробмана поведение системы вблизи стационарной точки связано с собственными значениями , якобиана системы в стационарной точке. [8] В частности, если все собственные значения имеют действительные части, которые отрицательны, то система устойчива вблизи стационарной точки. Если какое-либо собственное значение имеет положительную действительную часть, то точка неустойчива. Если наибольшая действительная часть собственных значений равна нулю, матрица Якоби не позволяет оценить устойчивость. [9]
Квадратная система связанных нелинейных уравнений может быть решена итерационным методом Ньютона . Этот метод использует матрицу Якоби системы уравнений.
Якобиан служит линеаризованной матрицей плана в статистической регрессии и подборе кривой ; см. нелинейный метод наименьших квадратов . Якобиан также используется в случайных матрицах, моментах, локальной чувствительности и статистической диагностике. [10] [11]
{{cite web}}
: CS1 maint: multiple names: authors list (link)