Точность (статистика)

В статистике матрица точности или матрица концентрации является матрицей, обратной ковариационной матрице или дисперсионной матрице, . ^[1]^[2]^[3] Для одномерных распределений матрица точности вырождается в скалярную точность , определяемую как обратная величина дисперсии , . [ ^4] $P=\Сигма ^{-1}$ $p={\frac {1}{\sigma ^{2}}}$

Другие сводные статистики статистической дисперсии, также называемые точностью (или неточностью ^[5]^[6] ) , включают обратную величину стандартного отклонения ; ^[3] само стандартное отклонение и относительное стандартное отклонение ; ^[7] а также стандартную ошибку ^[8] и доверительный интервал (или его полуширину, предел погрешности ). ^[9] $p={\frac {1}{\sigma }}$

Использование

Одно из конкретных применений матрицы точности — в контексте байесовского анализа многомерного нормального распределения : например, Бернардо и Смит предпочитают параметризовать многомерное нормальное распределение в терминах матрицы точности, а не матрицы ковариации, из-за определенных упрощений, которые при этом возникают. ^[10] Например, если и априорная вероятность , и вероятность имеют гауссову форму, и матрица точности обеих из них существует (потому что их ковариационная матрица имеет полный ранг и, следовательно, обратима), то матрица точности апостериорной вероятности будет просто суммой матриц точности априорной вероятности и вероятности.

Будучи обратной эрмитовой матрицей , матрица точности действительных случайных величин, если она существует, является положительно определенной и симметричной.

Другая причина, по которой матрица точности может быть полезна, заключается в том, что если два измерения и многомерной нормальной функции условно независимы , то элементы и матрицы точности являются . Это означает, что матрицы точности, как правило, разрежены, когда многие измерения условно независимы, что может привести к вычислительной эффективности при работе с ними. Это также означает, что матрицы точности тесно связаны с идеей частичной корреляции . $я$ $j$ $ij$ $джи$ $0$

Матрица точности играет центральную роль в обобщенном методе наименьших квадратов по сравнению с обычным методом наименьших квадратов , где — единичная матрица , и с взвешенным методом наименьших квадратов , где — диагональ ( матрица весов ). $P$ $P$

Этимология

Термин точность в этом смысле («mensura praecisionis observationum») впервые появился в работах Гаусса (1809) « Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium » (стр. 212). Определение Гаусса отличается от современного на фактор . Он пишет, для функции плотности нормального распределения с точностью (обратной среднеквадратичному отклонению), ${\sqrt {2}}$ $ч$

\varphi \Delta = {\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-hh\Delta \Delta }.

где (см. современную экспоненциальную запись ). Позже Уиттекер и Робинсон (1924) « Исчисление наблюдений » назвали эту величину модулем (точности) , но этот термин вышел из употребления. ^[11] $чч=ч^{2}$

Ссылки

^ ДеГрут, Моррис Х. (1969). Оптимальные статистические решения . Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 56.
^ Дэвидсон, Рассел; Маккиннон, Джеймс Г. (1993). Оценка и вывод в эконометрике. Нью-Йорк: Oxford University Press. стр. 144. ISBN 0-19-506011-3.
^ ab Dodge, Y. (2003). Оксфордский словарь статистических терминов . Oxford University Press. ISBN 0-19-920613-9.
^ Болстад, В. М.; Карран, Дж. М. (2016). Введение в байесовскую статистику. Wiley. стр. 221. ISBN 978-1-118-59315-8. Получено 2022-08-13 .
^ Натрелла, МГ (2013). Экспериментальная статистика. Dover Books on Mathematics (на итальянском). Dover Publications. стр. 21-PA14. ISBN 978-0-486-15455-8. Получено 14 августа 2022 г. .
^ Балакришнан, Н. (2009). Методы и применение статистики в науках о жизни и здоровье. Методы и применение статистики. Wiley. стр. 537. ISBN 978-0-470-40509-3. Получено 14 августа 2022 г. .
^ Эллисон, СЛР; Фаррант, ТДж; Барвик, В. (2009). Практическая статистика для ученого-аналитика: настольное руководство. Действительные аналитические измерения. Королевское химическое общество. стр. 145. ISBN 978-0-85404-131-2. Получено 14 августа 2022 г. .
^ Уилберн, А. Дж. (1984). Практическая статистическая выборка для аудиторов. Статистика: серия учебников и монографий. Тейлор и Фрэнсис. стр. 62. ISBN 978-0-8247-7124-9. Получено 14 августа 2022 г. .
^ Камминг, Г. (2013). Понимание новой статистики: размеры эффекта, доверительные интервалы и метаанализ. Серия «Многомерные приложения». Тейлор и Фрэнсис. стр. 366. ISBN 978-1-136-65918-8. Получено 14 августа 2022 г. .
^ Бернардо, Дж. М. и Смит, А. Ф. М. (2000) Байесовская теория , Wiley ISBN 0-471-49464-X
^ «Самые ранние известные случаи использования некоторых слов в математике».