Матричный анализ

В математике , особенно в линейной алгебре и приложениях, матричный анализ — это изучение матриц и их алгебраических свойств. ^[1] Некоторые частные темы из многих включают: операции, определенные на матрицах (такие как сложение матриц , умножение матриц и операции, производные от них), функции матриц (такие как возведение в степень матрицы и логарифм матрицы , и даже синусы и косинусы и т. д. матриц), и собственные значения матриц ( собственное разложение матрицы , теория возмущения собственных значений ). ^[2]

Матричные пространства

Множество всех матриц m  ×  n над полем F, обозначенное в этой статье M _mn ( F ), образует векторное пространство . Примерами F являются множество рациональных чисел , действительных чисел и множество комплексных чисел . Пространства M _mn ( F ) и M _pq ( F ) являются различными пространствами, если m и p не равны, и если n и q не равны; например, M ₃₂ ( F ) ≠ M ₂₃ ( F ). Две матрицы m  ×  n A и B в M _mn ( F ) можно сложить, чтобы сформировать другую матрицу в пространстве M _mn ( F ): ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)}$

и умножается на α в F , чтобы получить другую матрицу в M _mn ( F ):

${\displaystyle \alpha \in F\,,\quad \alpha \mathbf {A} \in M_{mn}(F)}$

Объединяя эти два свойства, линейная комбинация матриц A и B из M _mn ( F ) представляет собой еще одну матрицу из M _mn ( F ):

${\displaystyle \alpha \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \in M_{mn}(F)}$

где α и β — числа в F.

Любая матрица может быть выражена как линейная комбинация базисных матриц, которые играют роль базисных векторов для матричного пространства. Например, для набора матриц 2 × 2 над полем действительных чисел, один законный базисный набор матриц имеет вид: ${\displaystyle M_{22}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

поскольку любая матрица 2 × 2 может быть выражена как:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

где a , b , c , d — все действительные числа. Эта идея применима к другим полям и матрицам более высоких размерностей.

Определители

Определитель квадратной матрицы — важное свойство. Определитель указывает, является ли матрица обратимой (т.е. существует обратная матрица, если определитель не равен нулю). Определители используются для нахождения собственных значений матриц (см. ниже) и для решения систем линейных уравнений (см. правило Крамера ).

Собственные значения и собственные векторы матриц

Определения

Матрица A размера n  ×  n имеет собственные векторы x и собственные значения λ, определяемые соотношением:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$

На словах, матричное умножение A с последующим собственным вектором x (здесь n -мерная столбчатая матрица ), то же самое, что и умножение собственного вектора на собственное значение. Для матрицы n  ×  n существует n собственных значений. Собственные значения являются корнями характеристического многочлена :

${\displaystyle p_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}$

где I — единичная матрица размера n  ×  n .

Корни многочленов, в данном контексте собственные значения, могут быть все разными, или некоторые могут быть равными (в этом случае собственное значение имеет кратность , количество раз, которое встречается собственное значение). После решения для собственных значений собственные векторы, соответствующие собственным значениям, могут быть найдены с помощью определяющего уравнения.

Возмущения собственных значений

Матричное сходство

Две матрицы A и B размером n  ×  n подобны, если они связаны преобразованием подобия :

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1}}$

Матрица P называется матрицей подобия и обязательно обратима .

Унитарное подобие

Канонические формы

Форма эшелона ряда

Нормальная форма Жордана

Каноническая форма Вейра

Нормальная форма Фробениуса

Треугольная факторизация

LU-разложение

LU-разложение разбивает матрицу на матричное произведение верхней треугольной матрицы и нижней треугольной матрицы.

Матричные нормы

Поскольку матрицы образуют векторные пространства, можно сформировать аксиомы (аналогичные аксиомам векторов) для определения «размера» конкретной матрицы. Норма матрицы — это положительное действительное число.

Определение и аксиомы

Для всех матриц A и B в M _mn ( F ) и всех чисел α в F матричная норма, ограниченная двойными вертикальными чертами || ... ||, удовлетворяет условию: ^{[примечание 1]}

• Неотрицательный :

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|\geq 0}$

с равенством только для A = 0 , нулевой матрицы .

• Скалярное умножение :

${\displaystyle \|\alpha \mathbf {A} \|=|\alpha |\|\mathbf {A} \|}$

• Неравенство треугольника :

${\displaystyle \|\mathbf {A} +\mathbf {B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}$

норма Фробениуса

Норма Фробениуса аналогична скалярному произведению евклидовых векторов: перемножаем элементы матрицы по порядку, складываем результаты, затем извлекаем положительный квадратный корень :

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} :\mathbf {A} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(A_{ij})^{2}}}}$

Он определен для матриц любой размерности (т.е. нет ограничений на квадратные матрицы).

Положительно определенные и полуопределенные матрицы

Функции

Элементы матрицы не ограничиваются постоянными числами, они могут быть математическими переменными .

Функции матриц

Функция матрицы принимает матрицу и возвращает что-то другое (число, вектор, матрицу и т. д.).

Матричнозначные функции

Матричная функция принимает что-либо (число, вектор, матрицу и т. д.) и возвращает матрицу.

Смотрите также

Другие разделы анализа

• Математический анализ
• Тензорный анализ
• Матричное исчисление
• Численный анализ

Другие концепции линейной алгебры

• Тензорное произведение
• Спектр оператора
• Матричный геометрический ряд

Типы матриц

• Ортогональная матрица , унитарная матрица
• Симметричная матрица , антисимметричная матрица
• Стохастическая матрица

Матричные функции

• Матричный полином
• Матрица экспоненциальная

Сноски

1. Некоторые авторы, например Хорн и Джонсон, используют тройные вертикальные черты вместо двойных: ||| A |||.

Ссылки

Примечания

1. RA Horn, CR Johnson (2012). Матричный анализ (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-052-183-940-2.
2. NJ Higham (2000). Функции матриц: теория и вычисления. SIAM. ISBN 089-871-777-9.

Дальнейшее чтение

• C. Meyer (2000). Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. Книга и руководство по решениям. Том 2. SIAM. ISBN 089-871-454-0.
• TS Shores (2007). Прикладная линейная алгебра и матричный анализ. Бакалаврские тексты по математике . Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
• Раджендра Бхатия (1997). Матричный анализ. Серия матричного анализа. Том 169. Springer. ISBN 038-794-846-5.
• Алан Дж. Лауб (2012). Вычислительный матричный анализ. SIAM. ISBN 978-161-197-221-4.