Матричное разностное уравнение

Матричное разностное уравнение — это разностное уравнение , в котором значение вектора ( или иногда матрицы) переменных в один момент времени связано с его собственным значением в один или несколько предыдущих моментов времени с помощью матриц . ^[1]^[2] Порядок уравнения представляет собой максимальный временной интервал между любыми двумя указанными значениями вектора переменной. Например,

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

является примером матричного разностного уравнения второго порядка, в котором $x$ — вектор переменных размера $n \times 1 , а$ $A$ и $B$ — матрицы $размера n \times n$ . Это уравнение является однородным, поскольку в конце уравнения не добавляется векторный постоянный член. То же уравнение можно также записать как

\mathbf {x} _{t+2}=\mathbf {Ax} _{t+1}+\mathbf {Bx} _{t}

или как

\mathbf {x} _{n}=\mathbf {Ax} _{n-1}+\mathbf {Bx} _{n-2}

Наиболее часто встречающиеся матричные разностные уравнения относятся к первому порядку.

Неоднородный случай первого порядка и установившееся состояние

Примером неоднородного матричного разностного уравнения первого порядка является

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {b}

с аддитивным постоянным вектором $b$ . Устойчивым состоянием этой системы является такое значение $x *$ вектора $x$ , при достижении которого оно не будет отклоняться в дальнейшем. $x *$ находится путем установки $x t = x t -1 = x *$ в разностном уравнении и решения $x *$ для получения

\mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b}

где $I$ — единичная матрица размера $n \times n$ и предполагается, что $[$ $I$ $-$ $A$ $]$ обратимо . Тогда неоднородное уравнение можно переписать в однородную форму через отклонения от установившегося состояния:

\left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\ mathbf {x} ^{*}\right]

Устойчивость случая первого порядка

Матричное разностное уравнение первого порядка $[x t - x *] = A [x t -1 - x *]$ устойчиво , т. е. $x$ $t$ асимптотически сходится к установившемуся состоянию $x$ $*$ , тогда и только тогда, когда все собственные значения матрица перехода $A$ (действительная или комплексная) имеет абсолютное значение меньше 1.

Решение случая первого порядка

Предположим, что уравнение приведено к однородному виду $y t = Ay t -1$ . Затем мы можем многократно выполнять итерацию и замену из начального условия $y 0$ , которое является начальным значением вектора $y$ и которое необходимо знать, чтобы найти решение:

{\begin{aligned}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {Ay} _{0} \\\mathbf {y} _{2} &=\mathbf {Ay} _{1 }=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {Ay} _{2}=\mathbf {A} ^{ 3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}

и так далее, так что с помощью математической индукции решение в терминах $t$ будет

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} _{0}

Далее, если $A$ диагонализуемо, мы можем переписать $A$ через его собственные значения и собственные векторы , дав решение в виде

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {PD} ^{t} \mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},

где $P$ — матрица размера $n \times n$ , столбцы которой являются собственными векторами матрицы $A$ (при условии, что все собственные значения различны), а $D$ — диагональная матрица размера $n \times n$ , диагональные элементы которой являются собственными значениями матрицы $A.$ Это решение мотивирует приведенный выше результат стабильности: $A$ $t$ сжимается до нулевой матрицы с течением времени тогда и только тогда, когда все собственные значения $A$ меньше единицы по абсолютной величине.

Извлечение динамики одной скалярной переменной из матричной системы первого порядка

Начиная с $n$ -мерной системы $y t = Ay t -1$ , мы можем извлечь динамику одной из переменных состояния, скажем $y 1$ . Приведенное выше уравнение решения для $y t$ показывает, что решение для $y 1, t$ находится в терминах $n$ собственных значений $A$ . Следовательно, уравнение, описывающее эволюцию $y 1,$ само по себе должно иметь решение, включающее те же собственные значения. Это описание интуитивно мотивирует уравнение эволюции $y 1$ , которое имеет вид

y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}+\dots +a_{n}y_{1,tn}

где параметры $a i$ взяты из характеристического уравнения матрицы $A$ :

\lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a_{n}\lambda ^{0}= 0.

Таким образом, каждая отдельная скалярная переменная $n$ -мерной линейной системы первого порядка развивается согласно одномерному разностному уравнению $n$ -й степени, которое обладает тем же свойством устойчивости (устойчивым или неустойчивым), что и матричное разностное уравнение.

Решение и устойчивость случаев высших порядков

Матричные разностные уравнения более высокого порядка, т. е. с запаздыванием более одного периода, можно решать и анализировать их устойчивость, переводя их в форму первого порядка с помощью блочной матрицы (матрицы матриц). Например, предположим, что у нас есть уравнение второго порядка

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

с вектором переменной $x$ , равным $n \times 1$ , а $A$ и $B$ равными $n \times n$ . Это можно сложить в виде

{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}} = {\begin{bmatrix}\mathbf {A } &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf { x} _{t-2}\end{bmatrix}}

где $I$ — единичная матрица размера $n \times n$ , а $0$ — нулевая матрица размера $n$ $\times$ $n$ . Затем, обозначая сложенный вектор $2$ $n$ $\times 1$ текущих и однократно запаздывающих переменных как $z$ $t$ и блочную матрицу $2$ $n$ $\times 2$ $n$ как $L$ , мы имеем, как и раньше, решение

\mathbf {z} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} _{0}

Как и раньше, это составное уравнение и, следовательно, исходное уравнение второго порядка устойчивы тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы $L$ меньше единицы по абсолютной величине.

Нелинейные матричные разностные уравнения: уравнения Риккати

При линейно-квадратично-гауссовском управлении возникает нелинейное матричное уравнение для обратной эволюции матрицы текущих и будущих затрат , обозначенное ниже как $H.$ Это уравнение называется дискретным динамическим уравнением Риккати , и оно возникает, когда вектор переменной, развивающийся в соответствии с линейным матричным разностным уравнением, управляется путем манипулирования экзогенным вектором с целью оптимизации квадратичной функции стоимости . Это уравнение Риккати принимает следующую или подобную форму:

\mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\ mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A}

где $H$ , $K$ и $A$ — это $n \times n$ , $C$ — это $n \times k$ , $R$ — это $k \times k$ , $n$ — количество элементов в векторе, которым нужно управлять, а $k$ — количество элементов в векторе управления. Матрицы параметров $A$ и $C$ взяты из линейного уравнения, а матрицы параметров $K$ и $R$ взяты из квадратичной функции стоимости. Подробности смотрите здесь .

В общем случае это уравнение не может быть решено аналитически для $H t$ через $t$ ; скорее, последовательность значений $H t$ находится путем итерации уравнения Риккати. Однако было показано ^[3] , что это уравнение Риккати можно решить аналитически, если $R =$ и $n = k + 1$ , сведя его к скалярному рационально-разностному уравнению ; более того, для любых $k$ и $n$ , если матрица перехода $A$ невырождена, уравнение Риккати можно решить аналитически в терминах собственных значений матрицы, хотя, возможно, их придется найти численно. ^[4]

В большинстве случаев эволюция $H$ назад во времени стабильна, а это означает, что $H$ сходится к определенной фиксированной матрице $H *$ , которая может быть иррациональной, даже если все остальные матрицы рациональны. См. также Стохастический контроль § Дискретное время .

Родственное уравнение Риккати ^[5] :

\mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}

в котором все матрицы $X, A, B, C, E имеют$ $размер n \times n$ . Это уравнение можно решить явно. Предположим , что это заведомо верно для $t$ $= 0$ с $N$ $0$ $=$ $X$ $0$ и с $D$ $0$ $=$ $I$ . Затем использование этого в разностном уравнении дает ${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {t} = \ mathbf {N} _ {t} \ mathbf {D} _ {t} ^ {- 1},}$

{\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}

поэтому по индукции форма справедлива для всех $t$ . Тогда эволюцию $N$ и $D$ можно записать как $\mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}$

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t+1}\\\mathbf {D} _{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}

Таким образом, по индукции

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{0}\\\mathbf {D} _{0}\end{bmatrix}}