Мгновенная фаза и частота являются важными понятиями в обработке сигналов , которые возникают в контексте представления и анализа изменяющихся во времени функций. [1] Мгновенная фаза (также известная как локальная фаза или просто фаза ) комплексной функции s ( t ) является действительной функцией:
Когда φ ( t ) ограничена своим главным значением , либо интервалом (− π , π ] или [0, 2 π ) , это называется обернутой фазой . В противном случае это называется развернутой фазой , которая является непрерывной функцией аргумента t , предполагая, что s a ( t ) является непрерывной функцией t . Если не указано иное, следует подразумевать непрерывную форму.
Примеры
Пример 1
где ω > 0.
В этом простом примере синусоидальной формы константу θ также часто называют фазой или сдвигом фазы . φ ( t ) является функцией времени; θ нет. В следующем примере мы также видим, что сдвиг фазы вещественной синусоиды неоднозначен, если не указана ссылка (sin или cos). φ ( t ) определена однозначно.
Пример 2
где ω > 0.
В обоих примерах локальные максимумы s ( t ) соответствуют φ ( t ) = 2 π N для целых значений N. Это имеет применение в области компьютерного зрения.
Составы
Мгновенная угловая частота определяется как:
а мгновенная (обычная) частота определяется как:
где φ ( t ) должна быть развернутой фазой ; в противном случае, если φ ( t ) обернут, разрывы в φ ( t ) приведут к дельта- импульсам Дирака в f ( t ).
Обратная операция, которая всегда разворачивает фазу:
2 m 1 π и m 2 π — целые числа, кратные π , которые необходимо добавить, чтобы развернуть фазу. При значениях времени t , где нет изменения целого числа m 2 , производная φ ( t ) равна
Для функций с дискретным временем это можно записать как рекурсию:
Затем разрывы можно устранить, добавив 2 π всякий раз, когда Δ φ [ n ] ≤ − π , и вычитая 2 π всякий раз, когда Δ φ [ n ] > π . Это позволяет φ [ n ] накапливаться без ограничений и создает развернутую мгновенную фазу. Эквивалентная формулировка, которая заменяет операцию по модулю 2 π комплексным умножением:
где звездочка обозначает комплексно-сопряженное число. Мгновенная частота дискретного времени (в радианах на выборку) — это просто сдвиг фазы для этой выборки.
Комплексное представление
В некоторых приложениях, таких как усреднение значений фазы в несколько моментов времени, может быть полезно преобразовать каждое значение в комплексное число или векторное представление: [3]
Это представление похоже на развернутое фазовое представление тем, что оно не различает фазы, кратные 2 π , но похоже на развернутое фазовое представление, поскольку оно непрерывно. Фазу среднего вектора можно получить как аргумент суммы комплексных чисел, не беспокоясь об цикле.
^ Сейдич, Э.; Джурович И.; Станкович, Л. (август 2008 г.). «Количественный анализ производительности скалограммы как мгновенной оценки частоты». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 56 (8): 3837–3845. Бибкод : 2008ITSP...56.3837S. дои :10.1109/TSP.2008.924856. ISSN 1053-587X. S2CID 16396084.
^ Блэкледж, Джонатан М. (2006). Цифровая обработка сигналов: математические и вычислительные методы, разработка программного обеспечения и приложения (2-е изд.). Издательство Вудхед. п. 134. ИСБН1904275265.
^ Ван, С. (2014). «Улучшенный качественный метод управляемой фазовой развертки и его применение к МРТ». Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма . 145 : 273–286. дои : 10.2528/PIER14021005 .
дальнейшее чтение
Коэн, Леон (1995). Частотно-временной анализ . Прентис Холл.
Гранлунд; Кнутссон (1995). Обработка сигналов для компьютерного зрения . Академическое издательство Клювер.