Медиальная ось

Точки с более чем одной ближайшей граничной точкой

Эллипс ( красный ), его эволюта (синий) и его срединная ось (зеленый). Набор симметрии , супермножество срединной оси, — это зеленые и желтые кривые. Показан один бикасательный круг.

(a) Простой 3D-объект. (b) Его медиальная осевая трансформация. Цвета представляют расстояние от медиальной оси до границы объекта.

Медиальная ось объекта — это множество всех точек, имеющих более одной ближайшей точки на границе объекта. Первоначально называемый топологическим скелетом , он был введен в 1967 году Гарри Блюмом ^[1] как инструмент для биологического распознавания форм . В математике замыкание медиальной оси известно как локус разреза .

В 2D срединная ось подмножества S , ограниченного плоской кривой C, является геометрическим местом центров окружностей, которые касаются кривой C в двух или более точках, причем все такие окружности содержатся в S. (Из этого следует, что сама срединная ось содержится в S. ) Срединная ось простого многоугольника представляет собой дерево, листья которого являются вершинами многоугольника, а ребра — либо прямыми отрезками, либо дугами парабол.

Медиальная ось вместе с соответствующей функцией радиуса максимально вписанных дисков называется преобразованием медиальной оси ( MAT ). Преобразование медиальной оси является полным дескриптором формы (см. также анализ формы ), что означает, что его можно использовать для реконструкции формы исходного домена.

Медиальная ось является подмножеством множества симметрии , которое определяется аналогично, за исключением того, что оно также включает окружности, не содержащиеся в S. (Следовательно, множество симметрии S обычно простирается до бесконечности, подобно диаграмме Вороного точечного множества.)

Медиальная ось обобщается на k -мерные гиперповерхности путем замены 2D-кругов на k -мерные гиперсферы. 2D-медиальная ось полезна для распознавания символов и объектов, в то время как 3D-медиальная ось имеет приложения в реконструкции поверхности для физических моделей и для размерной редукции сложных моделей. В любом измерении медиальная ось ограниченного открытого множества гомотопически эквивалентна данному множеству. ^[2]

Если S задано параметризацией единичной скорости , а — единичный касательный вектор в каждой точке. Тогда будет бикасательная окружность с центром c и радиусом r , если ${\displaystyle \gamma :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\underline {T}}(t)={d\gamma \over dt}}$

• ${\displaystyle (c-\gamma (s))\cdot {\underline {T}}(s)=(c-\gamma (t))\cdot {\underline {T}}(t)=0,}$
• ${\displaystyle |c-\gamma (s)|=|c-\gamma (t)|=r.\,}$

Для большинства кривых набор симметрии образует одномерную кривую и может содержать точки возврата . Набор симметрии имеет конечные точки , соответствующие вершинам S.

Смотрите также

• Травяной пожар трансформируется
• Размер локального объекта
• Прямой скелет
• Диаграмма Вороного , которую можно рассматривать как дискретную форму срединной оси.

Ссылки

1. Блум, Гарри (1967). «Преобразование для извлечения новых дескрипторов формы». В Wathen-Dunn, Weiant (ред.). Модели восприятия речи и визуальной формы (PDF) . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 362–380.
2. Льютье, Андре (сентябрь 2004 г.). «Любое открытое ограниченное подмножество имеет тот же гомотопический тип, что и его срединная ось». Computer-Aided Design . 36 (11): 1029–1046. doi :10.1016/j.cad.2004.01.011. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Дальнейшее чтение

• Leymarie, Frederic F.; Kimia, Benjamin B. (2008). «От бесконечно большого к бесконечно малому». Computational Imaging and Vision . Dordrecht: Springer Netherlands. doi :10.1007/978-1-4020-8658-8_11. ISBN 978-1-4020-8657-1. ISSN  1381-6446.
• Tagliasacchi, Andrea; Delame, Thomas; Spagnuolo, Michela; Amenta, Nina; Telea, Alexandru (2016). "3D-скелеты: отчет о состоянии дел" (PDF) . Computer Graphics Forum . 35 (2). Wiley: 573–597. doi :10.1111/cgf.12865. ISSN  0167-7055. S2CID  5740454.

Внешние ссылки

• Масштабное осевое преобразование – обобщение срединной оси
• Прямой скелет для многоугольника с отверстиями – конструктор прямого скелета, реализованный на Java.