В математике расслоение (или морфизм расслоения ) — это морфизм в категории расслоений . Существуют два различных, но тесно связанных понятия расслоения, в зависимости от того, имеют ли рассматриваемые расслоения общее базовое пространство . Существует также несколько вариаций на основную тему , в зависимости от того, какая именно категория расслоений рассматривается. В первых трех разделах мы рассмотрим общие расслоения в категории топологических пространств . Затем в четвертом разделе будут приведены некоторые другие примеры.
Пусть и будут расслоениями над пространством M. Тогда отображение расслоений из E в F над M является непрерывным отображением таким, что . То есть, диаграмма
должно коммутировать . Эквивалентно, для любой точки x в M , отображает слой E над x в слой F над x . [1]
Пусть π E : E → M и π F : F → N — расслоения над пространствами M и N соответственно. Тогда непрерывное отображение называется отображением расслоения из E в F, если существует непрерывное отображение f : M → N такое, что диаграмма
коммутирует, то есть, . Другими словами, сохраняет слои , а f является индуцированным отображением на пространстве слоев E : поскольку π E сюръективно, f однозначно определяется . Для заданного f такое отображение расслоения называется отображением расслоения , покрывающим f . [2]
Из определений немедленно следует, что отображение расслоения над M (в первом смысле) — это то же самое, что отображение расслоения , покрывающее тождественное отображение M.
Наоборот, общие отображения расслоений могут быть сведены к отображениям расслоений над фиксированным базовым пространством с помощью понятия обратного расслоения . Если π F : F → N — расслоение над N , а f : M → N — непрерывное отображение, то обратное отображение F с помощью f — это расслоение f * F над M, чей слой над x задается как ( f * F ) x = F f ( x ) . Тогда следует, что отображение расслоения из E в F, покрывающее f , — это то же самое, что и отображение расслоения из E в f * F над M.
Существует два вида вариаций общего понятия карты расслоений.
Во-первых, можно рассматривать расслоения в другой категории пространств. Это приводит, например, к понятию гладкого отображения расслоений между гладкими расслоениями над гладким многообразием .
Во-вторых, можно рассматривать расслоения с дополнительной структурой в своих волокнах и ограничить внимание отображениями расслоений, которые сохраняют эту структуру. Это приводит, например, к понятию гомоморфизма (векторного) расслоения между векторными расслоениями , в котором волокна являются векторными пространствами, а отображение расслоения φ должно быть линейным отображением на каждом волокне. [3] В этом случае такое отображение расслоения φ (покрывающее f ) можно также рассматривать как сечение векторного расслоения Hom( E , f * F ) над M , чей слой над x является векторным пространством Hom( E x , F f ( x ) ) (также обозначаемым L ( E x , F f ( x ) )) линейных отображений из E x в F f ( x ) .
