Уравнения мелкой воды

Набор дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих поток под поверхностью давления в жидкости

Выходные данные из модели уравнения мелководья для воды в ванне. Вода испытывает пять всплесков, которые генерируют поверхностные гравитационные волны, которые распространяются от мест всплесков и отражаются от стенок ванны.

Уравнения мелкой воды ( SWE ) представляют собой набор гиперболических уравнений в частных производных (или параболических, если рассматривается вязкий сдвиг), которые описывают поток под поверхностью давления в жидкости (иногда, но не обязательно, свободной поверхностью ). ^[1] Уравнения мелкой воды в однонаправленной форме также называются (де)уравнениями Сен-Венана , в честь Адемара Жана Клода Барре де Сен-Венана (см. соответствующий раздел ниже).

Уравнения выводятся ^[2] из глубинного интегрирования уравнений Навье–Стокса в случае, когда горизонтальный масштаб длины намного больше вертикального масштаба длины. При этом условии сохранение массы подразумевает, что вертикальный масштаб скорости жидкости мал по сравнению с горизонтальным масштабом скорости. Из уравнения импульса можно показать, что вертикальные градиенты давления являются почти гидростатическими , а горизонтальные градиенты давления обусловлены смещением поверхности давления, что подразумевает, что горизонтальное поле скорости постоянно по всей глубине жидкости. Вертикальное интегрирование позволяет удалить вертикальную скорость из уравнений. Таким образом выводятся уравнения мелкой воды.

Хотя в уравнениях мелкой воды отсутствует член вертикальной скорости, следует отметить, что эта скорость не обязательно равна нулю. Это важное различие, поскольку, например, вертикальная скорость не может быть равна нулю, когда дно меняет глубину, и, таким образом, если бы она была равна нулю, то в уравнениях мелкой воды можно было бы использовать только плоские дны. После того, как решение (т. е. горизонтальные скорости и смещение свободной поверхности) найдено, вертикальную скорость можно восстановить с помощью уравнения непрерывности.

Ситуации в динамике жидкости, когда горизонтальный масштаб длины намного больше вертикального масштаба длины, являются обычными, поэтому уравнения мелкой воды широко применимы. Они используются с силами Кориолиса в атмосферном и океаническом моделировании как упрощение примитивных уравнений атмосферного потока.

Модели уравнений мелкой воды имеют только один вертикальный уровень, поэтому они не могут напрямую охватывать любой фактор, который меняется с высотой. Однако в случаях, когда среднее состояние достаточно простое, вертикальные изменения можно отделить от горизонтальных, и несколько наборов уравнений мелкой воды могут описать состояние.

Уравнения

Одномерная диаграмма, представляющая модель мелководья.

Консервативная форма

Уравнения мелкой воды выводятся из уравнений сохранения массы и сохранения линейного импульса ( уравнения Навье-Стокса ), которые выполняются даже тогда, когда предположения о мелкой воде нарушаются, например, при гидравлическом скачке . В случае горизонтального ложа , с пренебрежимо малыми силами Кориолиса , силами трения и вязкости , уравнения мелкой воды имеют вид: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho \eta )}{\partial t}}&+{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho \eta u^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\rho \eta v^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial x}}=0.\end{aligned}}}$$

Здесь η — общая высота столба жидкости (мгновенная глубина жидкости как функция x , y и t ), а двумерный вектор ( u , v ) — горизонтальная скорость потока жидкости , усредненная по вертикальному столбу. Далее g — ускорение силы тяжести, а ρ — плотность жидкости . Первое уравнение выводится из закона сохранения массы, вторые два — из закона сохранения импульса. ^[3]

Неконсервативная форма

Разлагая производные в приведенном выше выражении с использованием правила произведения , получаем неконсервативную форму уравнений мелкой воды. Поскольку скорости не подчиняются фундаментальному уравнению сохранения, неконсервативные формы не сохраняются при ударе или гидравлическом скачке . Также включены соответствующие термины для сил Кориолиса, трения и вязкости, чтобы получить (для постоянной плотности жидкости): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}(H+h)u{\Bigr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}(H+h)v{\Bigr )}=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-kv+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$

где

Анимация линеаризованных уравнений мелкой воды для прямоугольного бассейна без трения и силы Кориолиса. Вода испытывает всплеск, который генерирует поверхностные гравитационные волны, которые распространяются от места всплеска и отражаются от стенок бассейна. Анимация создана с использованием точного решения Carrier и Yeh (2005) для осесимметричных волн. ^[4]

Часто бывает так, что члены, квадратичные по u и v , которые представляют эффект объемной адвекции , малы по сравнению с другими членами. Это называется геострофическим балансом и эквивалентно утверждению, что число Россби мало. Предполагая также, что высота волны очень мала по сравнению со средней высотой ( h ≪ H ), мы имеем (без боковых вязких сил): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+H\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku,\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-kv.\end{aligned}}}$$

Одномерные уравнения Сен-Венана

Одномерные (1-D) уравнения Сен-Венана были выведены Адемаром Жаном Клодом Барре де Сен-Венаном и обычно используются для моделирования переходного потока в открытом русле и поверхностного стока . Их можно рассматривать как сокращение двумерных (2-D) уравнений мелкой воды, которые также известны как двумерные уравнения Сен-Венана. Одномерные уравнения Сен-Венана содержат в определенной степени основные характеристики формы поперечного сечения русла .

Одномерные уравнения широко используются в компьютерных моделях , таких как TUFLOW, Mascaret (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS , ^[5] SWMM5, ISIS, ^[5] InfoWorks, ^[5] Flood Modeller, SOBEK 1DFlow, MIKE 11 , ^[5] и MIKE SHE , поскольку их значительно легче решать, чем полные уравнения мелководья. К распространенным применениям одномерных уравнений Сен-Венана относятся маршрутизация паводков вдоль рек (включая оценку мер по снижению рисков затопления), анализ прорыва плотины, штормовые импульсы в открытом русле, а также штормовой сток в поверхностном потоке.

Уравнения

Поперечное сечение открытого канала.

Система уравнений в частных производных , описывающая одномерный поток несжимаемой жидкости в открытом канале произвольного поперечного сечения , выведенная и сформулированная Сен-Венаном в его статье 1871 года (уравнения 19 и 20), выглядит следующим образом: ^[6]

и

где x - пространственная координата вдоль оси канала, t обозначает время, A ( x , t ) - площадь поперечного сечения потока в точке x , u ( x , t ) - скорость потока , ζ ( x , t ) - возвышение свободной поверхности и τ ( x , t ) - касательное напряжение стенки вдоль смоченного периметра P ( x , t ) поперечного сечения в точке x . Далее ρ - (постоянная) плотность жидкости , а g - ускорение свободного падения .

Замыкание гиперболической системы уравнений ( 1 )–( 2 ) получается из геометрии поперечных сечений – путем предоставления функциональной зависимости между площадью поперечного сечения A и высотой поверхности ζ в каждой точке x . Например, для прямоугольного поперечного сечения с постоянной шириной канала B и высотой ложа канала z _b площадь поперечного сечения равна: A = B (ζ − z _b ) = B h . Мгновенная глубина воды равна h ( x , t ) = ζ( x , t ) − z _b ( x ) , где z _b ( x ) – уровень ложа (т. е. высота самой низкой точки ложа над нулем , см. рисунок поперечного сечения). Для неподвижных стенок канала площадь поперечного сечения A в уравнении ( 1 ) можно записать как: где b ( x , h ) – эффективная ширина поперечного сечения канала в точке x, когда глубина жидкости равна h – поэтому b ( x , h ) = B ( x ) для прямоугольных каналов. ^[7] $${\displaystyle A(x,t)=\int _{0}^{h(x,t)}b(x,h')\,dh',}$$

Касательное напряжение стенки τ зависит от скорости потока u , их можно связать, например, с помощью уравнения Дарси–Вейсбаха , формулы Мэннинга или формулы Шези .

Далее, уравнение ( 1 ) является уравнением непрерывности , выражающим сохранение объема воды для этой несжимаемой однородной жидкости. Уравнение ( 2 ) является уравнением импульса , дающим баланс между силами и скоростями изменения импульса.

Уклон дна S ( x ), уклон трения S _f ( x , t ) и гидравлический радиус R ( x , t ) определяются как: и $${\displaystyle S=-{\frac {\mathrm {d} z_{\mathrm {b} }}{\mathrm {d} x}},}$$ $${\displaystyle S_{\mathrm {f} }={\frac {\tau }{\rho gR}}}$$ $${\displaystyle R={\frac {A}{P}}.}$$

Следовательно, уравнение импульса ( 2 ) можно записать в виде: ^[7]

Сохранение импульса

Уравнение импульса ( 3 ) можно также представить в так называемой форме сохранения , с помощью некоторых алгебраических манипуляций над уравнениями Сен-Венана ( 1 ) и ( 3 ). В терминах разряда Q = Au : [ ^8]

где A , I ₁ и I ₂ являются функциями геометрии канала, описываемыми в терминах ширины канала B (σ, x ). Здесь σ - высота над самой низкой точкой поперечного сечения в месте x , см. рисунок поперечного сечения. Таким образом, σ - высота над уровнем дна z _b ( x ) (самой низкой точки поперечного сечения): $${\displaystyle {\begin{aligned}A(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }B(\sigma ',x)\;\mathrm {d} \sigma ',\\I_{1}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,B(\sigma ^{\prime },x)\;\mathrm {d} \sigma '\qquad {\text{and}}\\I_{2}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,{\frac {\partial B(\sigma ',x)}{\partial x}}\;\mathrm {d} \sigma '.\end{aligned}}}$$

Выше – в уравнении импульса ( 4 ) в форме сохранения – A , I ₁ и I ₂ оцениваются при σ = h ( x , t ) . Член g I ₁ описывает гидростатическую силу в определенном поперечном сечении. А для непризматического канала g I ₂ дает эффекты изменений геометрии вдоль оси канала x .

В приложениях, в зависимости от решаемой задачи, часто предпочтение отдается использованию либо уравнения импульса в несохраняющей форме ( 2 ) или ( 3 ), либо в форме сохранения ( 4 ). Например, в случае описания гидравлических прыжков предпочтительнее форма сохранения, поскольку поток импульса непрерывен по всей длине прыжка.

Характеристики

Характеристики, область зависимости и область влияния, связанные с местоположением P = ( x _P , t _P ) в пространстве x и времени t .

Уравнения Сен-Венана ( 1 )–( 2 ) можно проанализировать с помощью метода характеристик . ^{[9] [10] [11] [12]} Две скорости d x /d t на характеристических кривых следующие: ^[8] с $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u\pm c,}$$ $${\displaystyle c={\sqrt {\frac {gA}{B}}}.}$$

Число Фруда Fr = | u | / c определяет, является ли поток докритическим ( Fr < 1 ) или сверхкритическим ( Fr > 1 ).

Для прямоугольного и призматического канала постоянной ширины B , т.е. при A = B h и c = √ gh , инварианты Римана имеют вид: ^[9] и, таким образом, уравнения в характеристической форме имеют вид: ^[9] $${\displaystyle r_{+}=u+2{\sqrt {gh}}}$$ $${\displaystyle r_{-}=u-2{\sqrt {gh}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u+2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u+{\sqrt {gh}}\quad {\text{and}}\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u-2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u-{\sqrt {gh}}.\end{aligned}}}$$

Инварианты Римана и метод характеристик для призматического канала произвольного поперечного сечения описаны Диденкуловой и Пелиновским (2011). ^[12]

Характеристики и инварианты Римана предоставляют важную информацию о поведении потока, а также о том, что они могут быть использованы в процессе получения (аналитических или численных) решений. ^{[13] [14] [15] [16]}

Гамильтонова структура для течения без трения

В случае отсутствия трения и прямоугольного призматического сечения канала уравнения Сен-Венана имеют гамильтонову структуру. ^[17] Гамильтониан H равен энергии потока свободной поверхности: при постоянной ширине канала B и постоянной плотности жидкости ρ . Уравнения Гамильтона тогда имеют вид: поскольку ∂ A /∂ ζ = B ) . $${\displaystyle H=\rho \int \left({\frac {1}{2}}Au^{2}+{\frac {1}{2}}gB\zeta ^{2}\right)\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\rho B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial u}}\right)=\rho \left(B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=\rho \left({\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=0,\\&\rho B{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial \zeta }}\right)=\rho B\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)=0,\end{aligned}}}$$

Производное моделирование

Динамическая волна

Динамическая волна — это полное одномерное уравнение Сен-Венана. Его численно сложно решить, но оно справедливо для всех сценариев руслового потока. Динамическая волна используется для моделирования переходных штормов в программах моделирования, включая Mascaret (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS , ^[18] InfoWorks_ICM Архивировано 25.10.2016 в Wayback Machine , ^[19] MIKE 11 , ^[20] Wash 123d ^[21] и SWMM5 .

В порядке возрастания упрощений, удаляя некоторые члены полных одномерных уравнений Сен-Венана (также известных как динамическое волновое уравнение), мы получаем также классические диффузионное волновое уравнение и кинематическое волновое уравнение.

Диффузионная волна

Для диффузионной волны предполагается, что инерционные члены меньше, чем члены гравитации, трения и давления. Поэтому диффузионную волну можно точнее описать как неинерционную волну, и она записывается как: $${\displaystyle g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0.}$$

Диффузионная волна действительна, когда инерционное ускорение намного меньше всех других форм ускорения, или, другими словами, когда в основном имеет место докритический поток с низкими значениями Фруда. Модели, которые используют предположение о диффузионной волне, включают MIKE SHE ^[22] и LISFLOOD-FP. ^[23] В программном обеспечении SIC (Irstea) эта опция также доступна, поскольку 2 члена инерции (или любой из них) можно удалить в опции из интерфейса.

Кинематическая волна

Для кинематической волны предполагается, что поток равномерен, а наклон трения приблизительно равен наклону канала. Это упрощает полное уравнение Сен-Венана для кинематической волны: $${\displaystyle S_{f}-S=0.}$$

Кинематическая волна действительна, когда изменение высоты волны с расстоянием и скорости с расстоянием и временем пренебрежимо мало относительно уклона русла, например, для мелких потоков на крутых склонах. ^[24] Кинематическая волна используется в HEC-HMS . ^[25]

Вывод из уравнений Навье–Стокса

Одномерное уравнение импульса Сен-Венана может быть получено из уравнений Навье–Стокса, описывающих движение жидкости . X -компонента уравнений Навье–Стокса – выраженная в декартовых координатах в направлении x – может быть записана как: $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+f_{x},}$$

где u — скорость в направлении x , v — скорость в направлении y , w — скорость в направлении z , t — время, p — давление, ρ — плотность воды, ν — кинематическая вязкость, а f _x — объемная сила в направлении x .

1. Если предположить, что трение учитывается как объемная сила, то можно принять равным нулю, поэтому: ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0.}$$
2. Предполагая одномерный поток в направлении x, следует, что: ^[26] $${\displaystyle v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=0}$$
3. Предполагая также, что распределение давления приблизительно гидростатическое, следует, что: ^[26] или в дифференциальной форме: И когда эти предположения применяются к x -компоненте уравнений Навье–Стокса: $${\displaystyle p=\rho gh}$$ $${\displaystyle \partial p=\rho g(\partial h).}$$ $${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\rho g\left(\partial h\right)}{\partial x}}=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}.}$$
4. На жидкость в канале действуют две объемные силы, а именно сила тяжести и трение: где f _x,g — объемная сила, вызванная силой тяжести, а f _x,f — объемная сила, вызванная трением. $${\displaystyle f_{x}=f_{x,g}+f_{x,f}}$$
5. f _{x , g} можно рассчитать, используя основы физики и тригонометрии: ^[27] где F _g — сила тяжести в направлении x , θ — угол, а M — масса. $${\displaystyle F_{g}=\sin(\theta )gM}$$

   

   Рисунок 1: Схема движения блока вниз по наклонной плоскости.

   Выражение для sin θ можно упростить, используя тригонометрию: Для малых θ (приемлемых почти для всех потоков) можно предположить, что: и учитывая, что f _x представляет собой силу на единицу массы, выражение становится: $${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{hyp}}}.}$$ $${\displaystyle \sin \theta =\tan \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{adj}}}=S}$$ $${\displaystyle f_{x,g}=gS.}$$
6. Если предположить, что линия энергетического класса не совпадает с уклоном канала, а для участка с постоянным уклоном существуют постоянные потери на трение, то следует, что: ^[28] $${\displaystyle f_{x,f}=S_{f}g.}$$
7. Все эти предположения в совокупности приводят к одномерному уравнению Сен-Венана в направлении x : где (a) — член локального ускорения, (b) — член конвективного ускорения, (c) — член градиента давления, (d) — член трения и (e) — член гравитации. $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0,}$$ $${\displaystyle (a)\quad \ \ (b)\quad \ \ \ (c)\qquad \ \ \ (d)\quad (e)\ }$$

Условия

Локальное ускорение (a) также можно рассматривать как «нестационарный член», поскольку он описывает некоторое изменение скорости с течением времени. Конвективное ускорение (b) — это ускорение, вызванное некоторым изменением скорости в зависимости от положения, например, ускорением или замедлением жидкости, входящей в сужение или отверстие соответственно. Оба эти члена составляют члены инерции одномерного уравнения Сен-Венана.

Член градиента давления (c) описывает, как давление изменяется в зависимости от положения, и поскольку давление предполагается гидростатическим, это изменение в положении напора. Член трения (d) учитывает потери энергии из-за трения, в то время как член гравитации (e) является ускорением из-за уклона дна.

Моделирование волн с помощью уравнений мелкой воды

Уравнения мелководья могут быть использованы для моделирования волн Россби и Кельвина в атмосфере, реках, озерах и океанах, а также гравитационных волн в меньшей области (например, поверхностных волн в ванне). Для того чтобы уравнения мелководья были действительными, длина волны явления, которое они должны моделировать, должна быть намного больше глубины бассейна, где происходит явление. Несколько меньшие длины волн могут быть обработаны путем расширения уравнений мелководья с использованием приближения Буссинеска для включения эффектов дисперсии . ^[29] Уравнения мелководья особенно подходят для моделирования приливов, которые имеют очень большие масштабы длины (более сотни километров). Для приливного движения даже очень глубокий океан можно считать мелким, поскольку его глубина всегда будет намного меньше приливной длины волны.

Генерация и распространение цунами , рассчитанные с помощью уравнений мелкой воды (красная линия; без частотной дисперсии) и с помощью модели типа Буссинеска (синяя линия; с частотной дисперсией). Обратите внимание, что модель типа Буссинеска (синяя линия) образует солитон с остающимся позади колебательным хвостом. Уравнения мелкой воды (красная линия) образуют крутой фронт, который впоследствии приведет к образованию бора . Глубина воды составляет 100 метров.

Моделирование турбулентности с использованием нелинейных уравнений мелкой воды

Снимок из моделирования уравнений мелкой воды, в которых присутствуют ударные волны

Уравнения мелководья в нелинейной форме являются очевидным кандидатом для моделирования турбулентности в атмосфере и океанах, т. е. геофизической турбулентности . Преимущество этого, по сравнению с квазигеострофическими уравнениями , заключается в том, что оно допускает решения, подобные гравитационным волнам , сохраняя при этом энергию и потенциальную завихренность . Однако есть и некоторые недостатки, касающиеся геофизических приложений — оно имеет неквадратичное выражение для полной энергии и тенденцию волн становиться ударными волнами . ^[30] Были предложены некоторые альтернативные модели, которые предотвращают образование ударных волн. Одной из альтернатив является изменение «члена давления» в уравнении импульса, но это приводит к сложному выражению для кинетической энергии . ^[31] Другой вариант — изменение нелинейных членов во всех уравнениях, что дает квадратичное выражение для кинетической энергии , избегает образования ударных волн, но сохраняет только линеаризованную потенциальную завихренность . ^[32]

Смотрите также

• Волны и мелководье

Примечания

1. Vreugdenhil, CB (1986). Численные методы для мелководного потока. Библиотека водных наук и технологий. Том 13. Springer, Дордрехт. стр. 262. doi :10.1007/978-94-015-8354-1. ISBN 978-90-481-4472-3.
2. "Уравнения мелководья" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-03-16 . Получено 2010-01-22 .
3. Клинт Доусон и Кристофер М. Мирабито (2008). "Уравнения мелководья" (PDF) . Получено 28.03.2013 .
4. Carrier, GF ; Yeh, H. (2005), «Распространение цунами из конечного источника», Computer Modeling in Engineering & Sciences , 10 (2): 113–122, doi :10.3970/cmes.2005.010.113
5. S. Néelz; G Pender (2009). "Desktop review of 2DHydraulic Modeling Packages". Совместная программа по управлению рисками наводнений и прибрежной эрозии Агентства по охране окружающей среды/Defra (Science Report: SC080035): 5. Архивировано из оригинала 8 сентября 2019 года . Получено 2 декабря 2016 года .
6. Сен-Венант, AJC Барре де (1871), «Теория непостоянного движения воды, с применением aux crues des rivières и l'introduction de marées dans leurslits», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 73 : 147–154 и 237–240
7. Chow, Ven Te (1959), Гидравлика открытого канала , McGraw-Hill, OCLC  4010975, §18-1 и §18-2.
8. Cunge, JA, FM Holly Jr. и A. Verwey (1980), Практические аспекты вычислительной речной гидравлики , Pitman Publishing, ISBN 0 273 08442 9 , §§2.1 и 2.2 
9. Whitham, GB (1974) Линейные и нелинейные волны , §§5.2 и 13.10, Wiley, ISBN 0-471-94090-9 
10. Лайтхилл, Дж . (2005), Волны в жидкостях , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-01045-0 , §§2.8–2.14 
11. Мейер, Р. Э. (1960), Теория характеристик динамики невязкого газа. В: Fluid Dynamics/Strömungsmechanik , Encyclopedia of Physics IX , ред. С. Флюгге и К. Трусделл , Springer, Берлин, ISBN 978-3-642-45946-7 , стр. 225–282 
12. Didenkulova, I.; Pelinovsky, E. (2011). "Бродячие волны в нелинейных гиперболических системах (структура мелкой воды)". Нелинейность . 24 (3): R1–R18. Bibcode :2011Nonli..24R...1D. doi :10.1088/0951-7715/24/3/R01. S2CID  59438883.
13. Harris, MW; Nicolsky, DJ; Pelinovsky, EN; Rybkin, AV (2015-03-01). "Runup of Nonlinear Long Waves in Trapezoidal Bays: 1-D Analytical Theory and 2-D Numerical Computations". Pure and Applied Geophysics . 172 (3–4): 885–899. Bibcode : 2015PApGe.172..885H. doi : 10.1007/s00024-014-1016-3. ISSN  0033-4553. S2CID  55004099.
14. Харрис, М. В.; Никольский, Д. Д.; Пелиновский, Э. Н.; Пендер, Дж. М.; Рыбкин, А. В. (2016-05-01). «Накат нелинейных длинных волн в U-образных бухтах конечной длины: аналитическая теория и численные вычисления». Журнал океанической инженерии и морской энергетики . 2 (2): 113–127. doi : 10.1007/s40722-015-0040-4 . ISSN  2198-6444. S2CID  123725815.
15. Гарайшин, В.В.; Харрис, М.В.; Никольский, Д.Дж.; Пелиновский, Э.Н.; Рыбкин, А.В. (2016-04-10). «Аналитическое и численное исследование наката длинных волн в U-образных и V-образных бухтах». Прикладная математика и вычисления . 279 : 187–197. doi : 10.1016/j.amc.2016.01.005 .
16. Андерсон, Далтон; Харрис, Мэтью; Хартл, Харрисон; Никольский, Дмитрий; Пелиновский, Ефим; Раз, Амир; Рыбкин, Алексей (2017-02-02). "Run-Up of Long Waves in Piecewise Slopeing U-Shaped Bays". Чистая и прикладная геофизика . 174 (8): 3185. Bibcode : 2017PApGe.174.3185A. doi : 10.1007/s00024-017-1476-3. ISSN  0033-4553. S2CID  132114728.
17. Ланнес, Д. (2013). Проблема волн на воде: математический анализ и асимптотика . Математические обзоры и монографии. Американское математическое общество. стр. 174. ISBN 9780821894705. LCCN  2012046540.
18. Бруннер, Г. В. (1995), Система анализа рек HEC-RAS. Гидравлическое справочное руководство. Версия 1.0 Rep., Документ DTIC.
19. Сирби, Д.; Дин, А.; Маргеттс Дж. (1998), Моделирование гидротехнических сооружений гавани Крайстчерча., Труды осенней встречи WAPUG, Блэкпул, Великобритания.
20. Хавнё, К., М. Мадсен, Дж. Дёрге и В. Сингх (1995), MIKE 11 — обобщенный пакет моделирования рек, Компьютерные модели гидрологии водоразделов., 733–782.
21. Yeh, G.; Cheng, J.; Lin, J.; Martin, W. (1995), Численная модель, имитирующая поток воды и перенос загрязняющих веществ и осадков в системах водоразделов одномерной сети ручьев и рек, двумерного режима суши и трехмерных подземных сред . Компьютерные модели гидрологии водоразделов, 733–782.
22. DHI (Датский гидравлический институт) (2011), Руководство пользователя MIKE SHE, том 2: Справочное руководство, под ред.
23. Бейтс, П., Т. Фьютрелл, М. Тригг и Дж. Нил (2008), Руководство пользователя и техническая записка LISFLOOD-FP, версия кода 4.3.6, Бристольский университет.
24. Новак, П. и др., Гидравлическое моделирование – Введение: принципы, методы и приложения. 2010: CRC Press.
25. Шарффенберг, WA, и М. Дж. Флеминг (2006), Система гидрологического моделирования HEC-HMS: Руководство пользователя, Инженерный корпус армии США, Гидрологический инженерный центр.
26. Vincent., Fromion (2009). Моделирование и управление гидросистемами . Springer. ISBN 9781848826243. OCLC  401159458.
27. "Наклонные плоскости". www.physicsclassroom.com . Получено 2017-05-16 .
28. Методы., Haestad (2007). Компьютерные приложения в гидротехнике: соединение теории с практикой . Bentley Institute Press. ISBN 978-0971414167. OCLC  636350249.
29. Dingemans, MW (1997), Распространение волн над неровным дном , Advanced Series on Ocean Engineering 13 , World Scientific, Сингапур, стр. 473 и 516, ISBN 978-981-02-0427-3
30. Ожье, Пьер; Моханан, Эшвин Вишну; Линдборг, Эрик (17.09.2019). «Турбулентность волн на мелководье». Журнал механики жидкости . 874 : 1169–1196. Bibcode : 2019JFM...874.1169A. doi : 10.1017/jfm.2019.375 . ISSN  1469-7645. S2CID  198976015.
31. Бюлер, Оливер (1998-09-01). «Модель мелководья, предотвращающая нелинейное усиление гравитационных волн». Журнал атмосферных наук . 55 (17): 2884–2891. Bibcode : 1998JAtS...55.2884B. doi : 10.1175/1520-0469(1998)055<2884:ASWMTP>2.0.CO;2 . ISSN  0022-4928.
32. Линдборг, Эрик; Моханан, Эшвин Вишну (2017-11-01). "Двумерная игрушечная модель геофизической турбулентности". Physics of Fluids . 29 (11): 111114. Bibcode : 2017PhFl...29k1114L. doi : 10.1063/1.4985990. ISSN  1070-6631.

Дальнейшее чтение

• Battjes, JA ; Labeur, RJ (2017), Неустановившийся поток в открытых каналах , Cambridge University Press, doi : 10.1017/9781316576878, ISBN 978-1-107-15029-4
• Vreugdenhil, CB (1994), Численные методы для мелководного потока , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792331643

Внешние ссылки

• Вывод уравнений мелкой воды из первых принципов (вместо упрощения уравнений Навье–Стокса , некоторые аналитические решения)