Мера Гиббса

В математике мера Гиббса , названная в честь Джозайи Уилларда Гиббса , является вероятностной мерой, часто встречающейся во многих задачах теории вероятностей и статистической механики . Это обобщение канонического ансамбля на бесконечные системы. Канонический ансамбль дает вероятность того, что система X находится в состоянии x (что эквивалентно случайной величине X , имеющей значение x ), как

${\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x)).}$

Здесь E — функция от пространства состояний к действительным числам; в физических приложениях E ( x ) интерпретируется как энергия конфигурации x . Параметр β является свободным параметром; в физике это обратная температура . Нормализующая константа Z ( β ) является статистической суммой . Однако в бесконечных системах полная энергия уже не является конечным числом и не может быть использована при традиционном построении распределения вероятностей канонического ансамбля. Традиционные подходы статистической физики изучали предел интенсивных свойств при стремлении размера конечной системы к бесконечности ( термодинамический предел ). Когда энергетическую функцию можно записать как сумму членов, каждое из которых включает только переменные из конечной подсистемы, понятие меры Гиббса обеспечивает альтернативный подход. Меры Гиббса были предложены теоретиками вероятности, такими как Добрушин , Лэнфорд и Рюэль , и обеспечили основу для непосредственного изучения бесконечных систем вместо того, чтобы брать предел конечных систем.

Мера является мерой Гиббса, если условные вероятности, которые она индуцирует в каждой конечной подсистеме, удовлетворяют условию согласованности: если все степени свободы вне конечной подсистемы заморожены, канонический ансамбль для подсистемы, на которую распространяются эти граничные условия, соответствует вероятностям в Гиббсе. мера , обусловленная замороженными степенями свободы.

Теорема Хаммерсли-Клиффорда подразумевает, что любая вероятностная мера, удовлетворяющая марковскому свойству , является мерой Гиббса для соответствующего выбора (локально определенной) энергетической функции. Следовательно, мера Гиббса применима к широко распространенным проблемам за пределами физики , таким как сети Хопфилда , сети Маркова , сети марковской логики и ограниченно рациональные потенциальные игры в теории игр и экономике. Мера Гиббса в системе с локальными (конечнодействующими) взаимодействиями максимизирует плотность энтропии для заданной ожидаемой плотности энергии ; или, что то же самое, минимизирует плотность свободной энергии .

Мера Гиббса бесконечной системы не обязательно единственна, в отличие от канонического ансамбля конечной системы, который уникален. Существование более чем одной меры Гиббса связано со статистическими явлениями, такими как нарушение симметрии и сосуществование фаз .

Статистическая физика

Множество мер Гиббса в системе всегда выпукло ^[1] , поэтому существует либо единственная мера Гиббса (в этом случае система называется « эргодической »), либо их бесконечно много (и система называется «эргодической»). неэргодический»). В неэргодическом случае меры Гиббса могут быть выражены как набор выпуклых комбинаций гораздо меньшего числа специальных мер Гиббса, известных как «чистые состояния» (не путать с родственным, но отличным понятием чистых состояний в квантовой механике ) . . В физических приложениях гамильтониан (функция энергии) обычно имеет некоторый смысл локальности , а чистые состояния обладают свойством разложения кластеров , при котором «далеко разделенные подсистемы» независимы. На практике физически реалистичные системы находятся в одном из этих чистых состояний.

Если гамильтониан обладает симметрией, то единственная (т.е. эргодическая) мера Гиббса обязательно будет инвариантной относительно симметрии. Но в случае множественных (т. е. неэргодических) мер Гиббса чистые состояния обычно не инвариантны относительно симметрии гамильтониана. Например, в бесконечной ферромагнитной модели Изинга ниже критической температуры есть два чистых состояния: «в основном вверх» и «в основном вниз», которые меняются местами в соответствии с симметрией модели . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Марковская недвижимость

Пример марковского свойства можно увидеть в мере Гиббса модели Изинга . Вероятность того, что данный спин _σk окажется в состоянии s , в принципе может зависеть от состояний всех остальных спинов в системе. Таким образом, мы можем записать вероятность как

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)}$.

Однако в модели Изинга только с взаимодействиями конечного радиуса действия (например, взаимодействиями ближайших соседей) мы фактически имеем

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)=P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\in N_{k})}$,

где N _k — окрестность узла k . То есть вероятность в узле k зависит только от спинов в конечной окрестности. Это последнее уравнение имеет форму локального марковского свойства . Меры с этим свойством иногда называют марковскими случайными полями . В более строгом смысле верно и обратное: любое положительное распределение вероятностей (везде ненулевая плотность), обладающее марковским свойством, может быть представлено как мера Гиббса для соответствующей энергетической функции. ^[2] Это теорема Хаммерсли–Клиффорда .

Формальное определение решеток

Далее следует формальное определение частного случая случайного поля на решетке. Однако идея меры Гиббса гораздо более общая.

Определение случайного поля Гиббса на решетке требует некоторой терминологии:

• Решетка : счетное множество . ${\displaystyle \mathbb {L} }$
• Односпиновое пространство : вероятностное пространство . ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}},\lambda )}$
• Конфигурационное пространство : , где и . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \Omega =S^{\mathbb {L} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {S}}^{\mathbb {L} }}$
• Учитывая конфигурацию ω ∈ Ω и подмножество , ограничение ω на Λ равно . Если и , то конфигурация — это конфигурация, ограничения которой на Λ ₁ и Λ ₂ равны и соответственно. ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }}$ ${\displaystyle \Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}=\emptyset }$ ${\displaystyle \Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}=\mathbb {L} }$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}\omega _{\Lambda _{2}}}$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}}$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{2}}}$
• Множество всех конечных подмножеств . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {L} }$
• Для каждого подмножества – σ -алгебра, порожденная семейством функций , где . Объединение этих σ -алгебр при вариации представляет собой алгебру цилиндрических множеств на решетке. ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Lambda }}$ ${\displaystyle (\sigma (t))_{t\in \Lambda }}$ ${\displaystyle \sigma (t)(\omega )=\omega (t)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
• Потенциал : семейство функций Φ _A  : Ω → R такое, что ${\displaystyle \Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}}$
  1. Для каждого is - измеримо , то есть оно зависит только от ограничения (и делает это измеримо). ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$ ${\displaystyle \omega _{A}}$
  2. Для всех и ω ∈ Ω существует следующий ряд: ^{[ при определении как? ]} ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )=\sum _{A\in {\mathcal {L}},A\cap \Lambda \neq \emptyset }\Phi _{A}(\omega ).}$

Мы интерпретируем Φ _A как вклад в полную энергию (гамильтониан), связанную с взаимодействием всех точек конечного множества A . Тогда как вклад в полную энергию всех конечных множеств A , встречающихся . Обратите внимание, что полная энергия обычно бесконечна, но когда мы «локализуем» каждую из них , мы надеемся, что она может быть конечной. ${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$

• Гамильтониан в с граничными условиями для потенциала Φ определяется формулой ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})=H_{\Lambda }^{\Phi }\left(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}\right)}$

где обозначает конфигурацию, принимающую значения in и in . ${\displaystyle \omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{c}:=\mathbb {L} \setminus \Lambda }$

• Статистическая сумма в с граничными условиями и обратной температурой β > 0 (для потенциала Φ и λ ) определяется выражением ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})=\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})),}$

где

${\displaystyle \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )=\prod _{t\in \Lambda }\lambda (\mathrm {d} \omega (t)),}$

это мера продукта

Потенциал Φ является λ -допустимым, если конечен для всех и β > 0 . ${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})}$ ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega }$

Вероятностная мера µ on является мерой Гиббса для λ -допустимого потенциала Φ , если она удовлетворяет уравнению Добрушина–Лэнфорда–Рюэля (ДЛР) ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \int \mu (\mathrm {d} {\bar {\omega }})Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})^{-1}\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }}))\,1_{A}(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}})=\mu (A),}$

для всех и . ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$

Пример

Чтобы помочь понять приведенные выше определения, вот соответствующие величины в важном примере модели Изинга с взаимодействиями ближайших соседей (константа связи J ) и магнитным полем ( h ) на Z ^d :

• Решетка просто . ${\displaystyle \mathbb {L} =\mathbf {Z} ^{d}}$
• Односпиновое пространство — это S = {−1, 1}.
• Потенциал определяется

${\displaystyle \Phi _{A}(\omega )={\begin{cases}-J\,\omega (t_{1})\omega (t_{2})&{\text{if }}A=\{t_{1},t_{2}\}{\text{ with }}\|t_{2}-t_{1}\|_{1}=1\\-h\,\omega (t)&{\text{if }}A=\{t\}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Смотрите также

• Распределение Больцмана
• Экспоненциальное семейство
• Алгоритм Гиббса
• Выборка Гиббса
• Взаимодействующая система частиц
• Потенциальная игра
• Софтмакс
• Стохастические клеточные автоматы

Рекомендации

1. «Меры Гиббса» (PDF) .
2. Росс Киндерманн и Дж. Лори Снелл, Марковские случайные поля и их приложения (1980) Американское математическое общество, ISBN 0-8218-5001-6 

дальнейшее чтение

• Георгий, Х.-О. (2011) [1988]. Меры Гиббса и фазовые переходы (2-е изд.). Берлин: де Грюйтер. ISBN 978-3-11-025029-9.
• Фридли, С.; Веленик, Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107184824.