Измерьте пространство

Множество, на котором определяется обобщение объемов и интегралов

Пространство меры является основным объектом теории меры , раздела математики , изучающего обобщенные понятия объёмов . Он содержит базовый набор, подмножества этого набора, которые можно измерить ( σ -алгебра ), и метод, который используется для измерения ( мера ). Одним из важных примеров пространства меры является вероятностное пространство .

Измеримое пространство состоит из первых двух компонентов без конкретной меры.

Определение

Пространство с мерой — это тройка, где ^{[1] [2]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ),}$

• ${\displaystyle X}$это набор
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$является σ -алгеброй на множестве ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu }$это мера по ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

Другими словами, пространство с мерой состоит из измеримого пространства и меры на нем. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

Пример

Набор . -алгебра на конечных множествах, таких как приведенное выше, обычно представляет собой набор степеней , который представляет собой набор всех подмножеств (данного набора) и обозначается как Придерживаясь этого соглашения, мы полагаем ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle \wp (\cdot ).}$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\wp (X)}$$

В этом простом случае набор мощности можно записать явно:

$${\displaystyle \wp (X)=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}$$

В качестве меры определим ${\textstyle \mu }$

$${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}$$

${\textstyle \mu (X)=1}$ ${\textstyle \mu (\varnothing )=0}$

Это приводит к пространству меры. Это вероятностное пространство , поскольку мера соответствует распределению Бернулли , которое , например, используется для моделирования честного подбрасывания монеты. ${\textstyle (X,\wp (X),\mu ).}$ ${\textstyle \mu (X)=1.}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$

Важные классы пространств меры

Наиболее важные классы пространств меры определяются свойствами связанных с ними мер. Сюда входят в порядке возрастания общности:

• Вероятностные пространства , пространство меры, где мера является вероятностной мерой ^[1]
• Пространства с конечной мерой, где мера является конечной мерой ^[3]
• ${\displaystyle \sigma }$-конечные пространства с мерой, где мера является -конечной мерой ^[3] ${\displaystyle \sigma }$

Другой класс пространств с мерой — полные пространства с мерой . ^[4]

Рекомендации

1. Косорок, Майкл Р. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод . Нью-Йорк: Спрингер. п. 83. ИСБН 978-0-387-74977-8.
2. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности . Берлин: Шпрингер. п. 18. дои : 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
3. Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Мера пространства», Энциклопедия математики , EMS Press
4. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности . Берлин: Шпрингер. п. 33. дои : 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.