Геодезические координаты

Геодезические координаты — это тип криволинейной ортогональной системы координат, используемой в геодезии на основе референц-эллипсоида . Они включают в себя геодезическую широту (север/юг) $ϕ$ , долготу (восток/запад) $λ$ и эллипсоидальную высоту $h$ (также известную как геодезическая высота ^[1] ). Триада также известна как земные эллипсоидальные координаты ^[2] (не путать с эллипсоидально-гармоническими координатами или эллипсоидальными координатами ).

Определения

Долгота измеряет угол вращения между нулевым меридианом и измеряемой точкой. По соглашению для Земли, Луны и Солнца она выражается в градусах в диапазоне от −180° до +180°. Для других тел используется диапазон от 0° до 360°. Для этой цели необходимо определить нулевой меридиан , который для Земли обычно является нулевым меридианом . Для других тел обычно ссылаются на фиксированную поверхностную особенность, которая для Марса является меридианом, проходящим через кратер Эйри-0 . На одном и том же референц-эллипсоиде можно определить множество различных систем координат.

Геодезическая широта измеряет, насколько близко к полюсам или экватору находится точка вдоль меридиана, и представлена как угол от −90° до +90°, где 0° — экватор. Геодезическая широта — это угол между экваториальной плоскостью и линией, которая перпендикулярна референц-эллипсоиду. В зависимости от уплощения она может немного отличаться от геоцентрической широты , которая является углом между экваториальной плоскостью и линией из центра эллипсоида. Для неземных тел вместо этого используются термины планетографическая широта и планетоцентрическая широта .

Эллипсоидальная высота (или эллипсоидальная высота ), также известная как геодезическая высота (или геодезическая высота), представляет собой расстояние между точкой интереса и поверхностью эллипсоида, вычисленное вдоль вектора нормали эллипсоида ; она определяется как знаковое расстояние , при котором точки внутри эллипсоида имеют отрицательную высоту.

Геодезические и геоцентрические координаты

Геодезическая широта и геоцентрическая широта имеют разные определения. Геодезическая широта определяется как угол между экваториальной плоскостью и нормалью к поверхности в точке эллипсоида, тогда как геоцентрическая широта определяется как угол между экваториальной плоскостью и радиальной линией, соединяющей центр эллипсоида с точкой на поверхности (см. рисунок). При использовании без уточнения термин широта относится к геодезической широте. Например, широта, используемая в географических координатах, — это геодезическая широта. Стандартное обозначение для геодезической широты — $φ$ . Стандартного обозначения для геоцентрической широты не существует; примеры включают $θ$ , $ψ$ , $φ'$ .

Аналогично, геодезическая высота определяется как высота над поверхностью эллипсоида, перпендикулярная эллипсоиду; тогда как геоцентрическая высота определяется как расстояние до референц-эллипсоида вдоль радиальной линии до геоцентра. При использовании без уточнения, как в авиации, термин высота относится к геодезической высоте (возможно, с дальнейшими уточнениями, такими как ортометрические высоты ). Геоцентрическая высота обычно используется в орбитальной механике (см. орбитальная высота ).

Если влияние экваториальной выпуклости Земли несущественно для данного приложения (например, межпланетного космического полета ), земной эллипсоид можно упростить до сферической Земли , в этом случае геоцентрическая и геодезическая широты равны, а зависящий от широты геоцентрический радиус упрощается до глобального среднего радиуса Земли (см. также: сферическая система координат ).

Конверсия

Зная геодезические координаты, можно вычислить геоцентрические декартовы координаты точки следующим образом: ^[3]

{\begin{align}X&={\big (}N+h{\big )}\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&={\big (}N+h{\big )}\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h\right)\sin {\phi }\end{align}}

где $a$ и $b$ — экваториальный радиус ( большая полуось ) и полярный радиус ( малая полуось ) соответственно. $N$ — основной вертикальный радиус кривизны , функция широты $ϕ$ :

N={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}},

Напротив, извлечение $ϕ$ , $λ$ и $h$ из прямоугольных координат обычно требует итерации , поскольку $ϕ$ и $h$ взаимно связаны через $N$ : ^[4]^[5]

\lambda =\operatorname {atan2} (Y,X)

h={\frac {p}{\cos \phi }}-N,

\phi =\arctan \left((Z/p)/(1-e^{2}N/(N+h))\right).

где . Доступны более сложные методы . $p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$

Смотрите также

Ссылки

^ Национальная геодезическая служба (США).; Национальная геодезическая служба (США) (1986). Геодезический глоссарий. Технические публикации NOAA. Министерство торговли США, Национальное управление океанических и атмосферных исследований, Национальная океаническая служба, Картографические и геодезические службы. стр. 107. Получено 24.10.2021 .
^ Аванж, JL; Графаренд, EW; Паланц, Б.; Залетник, П. (2010). Алгебраическая геодезия и геоинформатика. Шпрингер Берлин Гейдельберг. п. 156. ИСБН 978-3-642-12124-1. Получено 24.10.2021 .
^ Хофманн-Велленхоф, Б.; Лихтенеггер, Х.; Коллинз, Дж. (1994). GPS – теория и практика . Раздел 10.2.1. С. 282. ISBN 3-211-82839-7.
^ "Руководство по системам координат в Великобритании". Ordnance Survey . Приложения B1, B2. Архивировано из оригинала 2012-02-11 . Получено 2012-01-11 .
^ Osborne, P (2008). "Проекции Меркатора" (PDF) . Раздел 5.4. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-01-18.