Металогика – это изучение метатеории логики . В то время как логика изучает, как логические системы могут использоваться для построения обоснованных и обоснованных аргументов , металогика изучает свойства логических систем. [1] Логика касается истин, которые можно вывести с помощью логической системы; Металогика касается истин, которые можно вывести о языках и системах, используемых для выражения истин. [2]
Основными объектами металогического изучения являются формальные языки, формальные системы и их интерпретации . Изучение интерпретации формальных систем — это раздел математической логики , известный как теория моделей , а изучение дедуктивных систем — это раздел, известный как теория доказательств .
Формальный язык — это организованный набор символов , символы которого точно определяют его по форме и месту. Поэтому такой язык можно определить безотносительно к значениям его выражений; оно может существовать до того, как ему будет присвоена какая-либо интерпретация , то есть до того, как оно обретет какое-либо значение. Логика первого порядка выражается на некотором формальном языке. Формальная грамматика определяет, какие символы и наборы символов являются формулами формального языка.
Формальный язык можно формально определить как множество A строк (конечных последовательностей) в фиксированном алфавите α. Некоторые авторы, в том числе Рудольф Карнап , определяют язык как упорядоченную пару <α, A >. [3] Карнап также требует, чтобы каждый элемент α встречался хотя бы в одной строке в A .
Правила формирования (также называемые формальной грамматикой ) представляют собой точное описание правильно построенных формул формального языка. Они являются синонимами набора строк в алфавите формального языка, которые составляют правильно составленные формулы . Однако он не описывает их семантику (то есть, что они означают).
Формальная система (также называемая логическим исчислением или логической системой ) состоит из формального языка вместе с дедуктивным аппаратом (также называемым дедуктивной системой ). Дедуктивный аппарат может состоять из набора правил преобразования (также называемых правилами вывода ) или набора аксиом , либо иметь и то, и другое. Формальная система используется для получения одного выражения из одного или нескольких других выражений.
Формальную систему можно формально определить как упорядоченную тройку <α, , d>, где d — отношение прямой выводимости. Это отношение понимается во всеобъемлющем смысле , так что примитивные предложения формальной системы считаются непосредственно выводимыми из пустого множества предложений. Прямая выводимость — это отношение между предложением и конечным, возможно, пустым множеством предложений. Аксиомы выбраны таким образом, что каждый член первого места d является членом, а каждый член второго места является конечным подмножеством .
Формальная система также может быть определена только с помощью отношения d. Тем самым можно опустить и α в определениях интерпретируемого формального языка и интерпретируемой формальной системы . Однако этот метод может быть более трудным для понимания и использования. [3]
Формальное доказательство — это последовательность корректных формул формального языка, последняя из которых является теоремой формальной системы. Теорема является синтаксическим следствием всех правильно составленных формул, предшествующих ей в системе доказательства. Чтобы правильно составленная формула могла считаться частью доказательства, она должна быть результатом применения правила дедуктивного аппарата некоторой формальной системы к предыдущим правильно составленным формулам в последовательности доказательства.
Интерпретация формальной системы — это присвоение значений символам и истинностных значений предложениям формальной системы. Изучение интерпретаций называется формальной семантикой . Предоставление интерпретации является синонимом построения модели .
В металогике формальные языки иногда называют объектными языками . Язык, используемый для высказываний об объектном языке, называется метаязыком . Это различие является ключевым различием между логикой и металогикой. В то время как логика имеет дело с доказательствами в формальной системе , выраженными на некотором формальном языке, металогика имеет дело с доказательствами формальной системы , которые выражены в метаязыке некоторого объектного языка.
В металогике «синтаксис» имеет дело с формальными языками или формальными системами безотносительно к какой-либо их интерпретации, тогда как «семантика» имеет дело с интерпретациями формальных языков. Термин «синтаксический» имеет несколько более широкий охват, чем «теоретико-доказательный», поскольку его можно применять к свойствам формальных языков без каких-либо дедуктивных систем, а также к формальным системам. «Семантический» является синонимом «теоретико-модельного».
В металогике слова «использовать» и «упоминать», как в форме существительного, так и в форме глагола, приобретают технический смысл, чтобы выявить важное различие. [2] Различие между использованием и упоминанием (иногда называемое различием «слова как слова ») — это различие между использованием слова (или фразы) и его упоминанием . Обычно указывается, что выражение упоминается, а не используется, заключая его в кавычки, печатая курсивом или помещая выражение отдельно в строку. Заключение выражения в кавычки дает нам имя выражения , например:
Различие типа и токена — это различие в металогике, которое отделяет абстрактное понятие от объектов, которые являются конкретными экземплярами этого понятия. Например, конкретный велосипед в вашем гараже является символом вещи, известной как «Велосипед». В то время как велосипед в вашем гараже находится в определенном месте в определенное время, это не относится к слову «велосипед», используемому в предложении: « Велосипед в последнее время стал более популярным». Это различие используется для уточнения значения символов формальных языков .
Металогические вопросы задавались со времен Аристотеля . [4] Однако только с появлением формальных языков в конце 19 и начале 20 века исследования основ логики начали процветать. В 1904 году Дэвид Гильберт заметил, что при исследовании основ математики предполагаются логические понятия, и поэтому требуется одновременное объяснение металогических и метаматематических принципов. Сегодня металогика и метаматематика во многом являются синонимами друг друга, и обе они в значительной степени отнесены к математической логике в академических кругах. Возможную альтернативную, менее математическую модель можно найти в трудах Чарльза Сандерса Пирса и других семиотиков .
Результаты в металогике состоят из таких вещей, как формальные доказательства, демонстрирующие непротиворечивость , полноту и разрешимость конкретных формальных систем .
Основные результаты металогики включают:
СМИ, связанные с Металогикой, на Викискладе?
