Линейный многошаговый метод

Класс итеративных численных методов решения дифференциальных уравнений

Линейные многошаговые методы используются для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Концептуально численный метод начинается с начальной точки, а затем делает небольшой шаг вперед во времени, чтобы найти следующую точку решения. Процесс продолжается с последующими шагами, чтобы наметить решение. Одношаговые методы (например, метод Эйлера ) ссылаются только на одну предыдущую точку и ее производную для определения текущего значения. Такие методы, как метод Рунге–Кутты , используют некоторые промежуточные шаги (например, полушаг), чтобы получить метод более высокого порядка, но затем отбрасывают всю предыдущую информацию перед выполнением второго шага. Многошаговые методы пытаются повысить эффективность, сохраняя и используя информацию из предыдущих шагов, а не отбрасывая ее. Следовательно, многошаговые методы ссылаются на несколько предыдущих точек и производных значений. В случае линейных многошаговых методов используется линейная комбинация предыдущих точек и производных значений.

Определения

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений приближенно решают задачи начального значения вида $${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$$

Результатом являются приближения для значения в дискретные моменты времени : где — временной шаг (иногда обозначаемый как ), а — целое число. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t_{i}}$ $${\displaystyle y_{i}\approx y(t_{i})\quad {\text{where}}\quad t_{i}=t_{0}+ih,}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle i}$

Многошаговые методы используют информацию из предыдущих шагов для вычисления следующего значения. В частности, линейный многошаговый метод использует линейную комбинацию и для вычисления значения для желаемого текущего шага. Таким образом, линейный многошаговый метод — это метод вида с . Коэффициенты и определяют метод. Разработчик метода выбирает коэффициенты, балансируя между необходимостью получить хорошее приближение к истинному решению и желанием получить метод, который легко применять. Часто многие коэффициенты равны нулю для упрощения метода. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle f(t_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}\cdot y_{n+s-1}+a_{s-2}\cdot y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}\cdot y_{n}\\&\qquad {}=h\cdot \left(b_{s}\cdot f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}\cdot f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}\cdot f(t_{n},y_{n})\right)\\&\Leftrightarrow \sum _{j=0}^{s}a_{j}y_{n+j}=h\sum _{j=0}^{s}b_{j}f(t_{n+j},y_{n+j}),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a_{s}=1}$ ${\displaystyle a_{0},\dotsc ,a_{s-1}}$ ${\displaystyle b_{0},\dotsc ,b_{s}}$

Можно различать явные и неявные методы . Если , то метод называется «явным», поскольку формула может напрямую вычислить . Если , то метод называется «неявным», поскольку значение зависит от значения , и уравнение должно быть решено относительно . Для решения неявной формулы часто используются итерационные методы, такие как метод Ньютона . ${\displaystyle b_{s}=0}$ ${\displaystyle y_{n+s}}$ ${\displaystyle b_{s}\neq 0}$ ${\displaystyle y_{n+s}}$ ${\displaystyle f(t_{n+s},y_{n+s})}$ ${\displaystyle y_{n+s}}$

Иногда явный многошаговый метод используется для «предсказания» значения . Затем это значение используется в неявной формуле для «коррекции» значения. Результатом является метод предиктора–корректора . ${\displaystyle y_{n+s}}$

Примеры

Рассмотрим в качестве примера задачу . Точное решение: . $${\displaystyle y'=f(t,y)=y,\quad y(0)=1.}$$ ${\displaystyle y(t)=e^{t}}$

Одношаговый Эйлер

Простым численным методом является метод Эйлера: Метод Эйлера можно рассматривать как явный многошаговый метод для вырожденного случая одного шага. $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}$$

Этот метод, примененный с шагом решения задачи , дает следующие результаты: ${\displaystyle h={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle y'=y}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=y_{0}+hf(t_{0},y_{0})=1+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1=1.5,\\y_{2}&=y_{1}+hf(t_{1},y_{1})=1.5+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=2.25,\\y_{3}&=y_{2}+hf(t_{2},y_{2})=2.25+{\tfrac {1}{2}}\cdot 2.25=3.375,\\y_{4}&=y_{3}+hf(t_{3},y_{3})=3.375+{\tfrac {1}{2}}\cdot 3.375=5.0625.\end{aligned}}}$$

Двухшаговый Адамс–Башфорт

Метод Эйлера — это одношаговый метод . Простой многошаговый метод — это двухшаговый метод Адамса–Башфорта. Этот метод требует двух значений и для вычисления следующего значения . Однако задача начального значения дает только одно значение . Одна из возможностей решения этой проблемы — использовать вычисленное методом Эйлера в качестве второго значения. При таком выборе метод Адамса–Башфорта дает (округленное до четырех цифр): Точное решение при равно , поэтому двухшаговый метод Адамса–Башфорта точнее метода Эйлера. Это всегда так, если размер шага достаточно мал. $${\displaystyle y_{n+2}=y_{n+1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n+1},y_{n+1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n}).}$$ ${\displaystyle y_{n+1}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y_{n+2}}$ ${\displaystyle y_{0}=1}$ ${\displaystyle y_{1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{1},y_{1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{0},y_{0})=1.5+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1=2.375,\\y_{3}&=y_{2}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{2},y_{2})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{1},y_{1})=2.375+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=3.7812,\\y_{4}&=y_{3}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{3},y_{3})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{2},y_{2})=3.7812+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 3.7812-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375=6.0234.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle t=t_{4}=2}$ ${\displaystyle e^{2}=7.3891\ldots }$

Семейства многошаговых методов

Обычно используются три семейства линейных многошаговых методов: методы Адамса–Башфорта, методы Адамса–Моултона и формулы обратного дифференцирования (BDF).

Методы Адамса–Башфорта

Методы Адамса–Башфорта являются явными методами. Коэффициенты и , а выбираются так, чтобы методы имели порядок s (это определяет методы однозначно). ${\displaystyle a_{s-1}=-1}$ ${\displaystyle a_{s-2}=\cdots =a_{0}=0}$ ${\displaystyle b_{j}}$

Методы Адамса–Башфорта с s = 1, 2, 3, 4, 5 следующие (Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.1; Butcher 2003, стр. 103): $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\qquad {\text{(This is the Euler method)}}\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {23}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {16}{12}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {5}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {37}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {9}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\left({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})-{\frac {2774}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {2616}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {1274}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}}$$

Коэффициенты можно определить следующим образом. Используйте полиномиальную интерполяцию , чтобы найти полином p такой степени , что Формула Лагранжа для полиномиальной интерполяции дает Полином p локально является хорошим приближением правой части дифференциального уравнения , которое должно быть решено, поэтому вместо этого рассмотрим уравнение. Это уравнение можно решить точно; решение — это просто интеграл от p . Это предполагает, что Метод Адамса–Башфорта возникает, когда формула для p подставляется. Коэффициенты оказываются заданными как Замена на его интерполянт p влечет за собой ошибку порядка h ^s , и из этого следует, что s -шаговый метод Адамса–Башфорта действительно имеет порядок s (Iserles 1996, §2.1) ${\displaystyle b_{j}}$ ${\displaystyle s-1}$ $${\displaystyle p(t_{n+i})=f(t_{n+i},y_{n+i}),\qquad {\text{for }}i=0,\ldots ,s-1.}$$ $${\displaystyle p(t)=\sum _{j=0}^{s-1}{\frac {(-1)^{s-j-1}f(t_{n+j},y_{n+j})}{j!(s-j-1)!h^{s-1}}}\prod _{i=0 \atop i\neq j}^{s-1}(t-t_{n+i}).}$$ ${\displaystyle y'=f(t,y)}$ ${\displaystyle y'=p(t)}$ $${\displaystyle y_{n+s}=y_{n+s-1}+\int _{t_{n+s-1}}^{t_{n+s}}p(t)\,\mathrm {d} t.}$$ ${\displaystyle b_{j}}$ $${\displaystyle b_{s-j-1}={\frac {(-1)^{j}}{j!(s-j-1)!}}\int _{0}^{1}\prod _{i=0 \atop i\neq j}^{s-1}(u+i)\,\mathrm {d} u,\qquad {\text{for }}j=0,\ldots ,s-1.}$$ ${\displaystyle f(t,y)}$

Методы Адамса–Башфорта были разработаны Джоном Каучом Адамсом для решения дифференциального уравнения, моделирующего капиллярное действие, предложенного Фрэнсисом Башфортом . Башфорт (1883) опубликовал свою теорию и численный метод Адамса (Goldstine 1977).

Методы Адамса–Моултона

Методы Адамса–Моултона похожи на методы Адамса–Башфорта тем, что они также имеют и . Опять же, коэффициенты b выбираются для получения максимально возможного порядка. Однако методы Адамса–Моултона являются неявными методами. Устранив ограничение, что , s -шаговый метод Адамса–Моултона может достичь порядка , в то время как s -шаговый метод Адамса–Башфорта имеет только порядок s . ${\displaystyle a_{s-1}=-1}$ ${\displaystyle a_{s-2}=\cdots =a_{0}=0}$ ${\displaystyle b_{s}=0}$ ${\displaystyle s+1}$

Перечислены методы Адамса–Моултона с s = 0, 1, 2, 3, 4 (Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.1; Quarteroni, Sacco & Saleri 2000), где первые два метода — это обратный метод Эйлера и метод трапеций соответственно: $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n}&=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n}),\\y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {5}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {8}{12}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {9}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}}$$

Вывод методов Адамса–Моултона аналогичен выводу метода Адамса–Башфорта; однако интерполирующий полином использует не только точки , как выше, но и . Коэффициенты задаются как ${\displaystyle t_{n-1},\dots ,t_{n-s}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ $${\displaystyle b_{s-j}={\frac {(-1)^{j}}{j!(s-j)!}}\int _{0}^{1}\prod _{i=0 \atop i\neq j}^{s}(u+i-1)\,\mathrm {d} u,\qquad {\text{for }}j=0,\ldots ,s.}$$

Методы Адамса–Моултона, как и методы Адамса–Башфорта, принадлежат исключительно Джону Каучу Адамсу . Имя Фореста Рэя Моултона стало ассоциироваться с этими методами, поскольку он понял, что их можно использовать в тандеме с методами Адамса–Башфорта в качестве пары предиктор-корректор (Moulton 1926); у Милна (1926) была та же идея. Адамс использовал метод Ньютона для решения неявного уравнения (Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.1).

Формулы обратной дифференциации (BDF)

Методы BDF являются неявными методами с и другими коэффициентами, выбранными таким образом, чтобы метод достигал порядка s (максимально возможного). Эти методы особенно используются для решения жестких дифференциальных уравнений . ${\displaystyle b_{s-1}=\cdots =b_{0}=0}$

Анализ

Центральными понятиями при анализе линейных многошаговых методов, как и любого численного метода для дифференциальных уравнений, являются сходимость, порядок и устойчивость .

Последовательность и порядок

Первый вопрос заключается в том, является ли метод последовательным: является ли разностное уравнение хорошим приближением дифференциального уравнения ? Точнее, многошаговый метод является последовательным, если локальная ошибка усечения стремится к нулю быстрее, чем размер шага h , когда h стремится к нулю, где локальная ошибка усечения определяется как разница между результатом метода, предполагая, что все предыдущие значения точны, и точным решением уравнения в момент времени . Вычисление с использованием ряда Тейлора показывает, что линейный многошаговый метод является последовательным тогда и только тогда, когда Все упомянутые выше методы являются последовательными (Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.2). $${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{s}y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle y'=f(t,y)}$ ${\displaystyle y_{n+s}}$ ${\displaystyle y_{n+s-1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle t_{n+s}}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}a_{k}=-1\quad {\text{and}}\quad \sum _{k=0}^{s}b_{k}=s+\sum _{k=0}^{s-1}ka_{k}.}$$

Если метод последователен, то следующим вопросом является то, насколько хорошо разностное уравнение, определяющее численный метод, аппроксимирует дифференциальное уравнение. Говорят, что многошаговый метод имеет порядок p, если локальная ошибка имеет порядок при стремлении h к нулю. Это эквивалентно следующему условию на коэффициенты методов: s - шаговый метод Адамса–Башфорта имеет порядок s , в то время как s -шаговый метод Адамса–Моултона имеет порядок (Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.2). ${\displaystyle O(h^{p+1})}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}a_{k}=-1\quad {\text{and}}\quad q\sum _{k=0}^{s}k^{q-1}b_{k}=s^{q}+\sum _{k=0}^{s-1}k^{q}a_{k}{\text{ for }}q=1,\ldots ,p.}$$ ${\displaystyle s+1}$

Эти условия часто формулируются с использованием характеристических многочленов . В терминах этих многочленов указанное выше условие для метода иметь порядок p становится В частности, метод является последовательным, если он имеет порядок не менее одного, что имеет место, если и . $${\displaystyle \rho (z)=z^{s}+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}z^{k}\quad {\text{and}}\quad \sigma (z)=\sum _{k=0}^{s}b_{k}z^{k}.}$$ $${\displaystyle \rho (e^{h})-h\sigma (e^{h})=O(h^{p+1})\quad {\text{as }}h\to 0.}$$ ${\displaystyle \rho (1)=0}$ ${\displaystyle \rho '(1)=\sigma (1)}$

Стабильность и конвергенция

Численное решение одношагового метода зависит от начального условия , но численное решение s -шагового метода зависит от всех s начальных значений, . Таким образом, интересно, является ли численное решение устойчивым по отношению к возмущениям начальных значений. Линейный многошаговый метод является нуль-устойчивым для определенного дифференциального уравнения на заданном интервале времени, если возмущение начальных значений размером ε приводит к тому, что численное решение на этом интервале времени изменяется не более чем на K ε для некоторого значения K , которое не зависит от размера шага h . Это называется «нуль-устойчивостью», потому что достаточно проверить условие для дифференциального уравнения (Süli & Mayers 2003, стр. 332). ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle y_{0},y_{1},\ldots ,y_{s-1}}$ ${\displaystyle y'=0}$

Если все корни характеристического многочлена ρ имеют модуль, меньший или равный 1, а корни с модулем 1 имеют кратность 1, мы говорим, что корневое условие выполняется. Линейный многошаговый метод является нулеустойчивым тогда и только тогда, когда корневое условие выполняется (Süli & Mayers 2003, стр. 335).

Теперь предположим, что последовательный линейный многошаговый метод применяется к достаточно гладкому дифференциальному уравнению и что все начальные значения сходятся к начальному значению как . Тогда численное решение сходится к точному решению, как если и только если метод является нулевым устойчивым. Этот результат известен как теорема эквивалентности Дальквиста , названная в честь Германа Дальквиста ; эта теорема по духу близка к теореме эквивалентности Лакса для методов конечных разностей . Кроме того, если метод имеет порядок p , то глобальная ошибка (разница между численным решением и точным решением в фиксированное время) равна (Süli & Mayers 2003, стр. 340). ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{s-1}}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle O(h^{p})}$

Кроме того, если метод сходится, то говорят, что метод сильно устойчив , если — единственный корень модуля 1. Если он сходится и все корни модуля 1 не повторяются, но таких корней больше одного, говорят, что он относительно устойчив . Обратите внимание, что 1 должен быть корнем, чтобы метод был сходящимся; таким образом, сходящиеся методы всегда являются одним из этих двух. ${\displaystyle z=1}$

Чтобы оценить производительность линейных многошаговых методов на жестких уравнениях , рассмотрим линейное тестовое уравнение y' = λ y . Многошаговый метод, примененный к этому дифференциальному уравнению с размером шага h, дает линейное рекуррентное соотношение с характеристическим полиномом Этот полином называется полиномом устойчивости многошагового метода. Если все его корни имеют модуль меньше единицы, то численное решение многошагового метода будет сходиться к нулю, и многошаговый метод называется абсолютно устойчивым для этого значения h λ. Говорят, что метод является A-устойчивым, если он абсолютно устойчив для всех h λ с отрицательной действительной частью. Область абсолютной устойчивости — это множество всех h λ, для которых многошаговый метод абсолютно устойчив (Süli & Mayers 2003, стр. 347 и 348). Более подробную информацию см. в разделе о жестких уравнениях и многошаговых методах . $${\displaystyle \pi (z;h\lambda )=(1-h\lambda \beta _{s})z^{s}+\sum _{k=0}^{s-1}(\alpha _{k}-h\lambda \beta _{k})z^{k}=\rho (z)-h\lambda \sigma (z).}$$

Пример

Рассмотрим трехшаговый метод Адамса–Башфорта. Один характеристический многочлен имеет корни , и условия выше выполнены. Поскольку — единственный корень модуля 1, метод сильно устойчив. $${\displaystyle y_{n+3}=y_{n+2}+h\left({23 \over 12}f(t_{n+2},y_{n+2})-{4 \over 3}f(t_{n+1},y_{n+1})+{5 \over 12}f(t_{n},y_{n})\right).}$$ $${\displaystyle \rho (z)=z^{3}-z^{2}=z^{2}(z-1)}$$ ${\displaystyle z=0,1}$ ${\displaystyle z=1}$

Другой характеристический многочлен — $${\displaystyle \sigma (z)={\frac {23}{12}}z^{2}-{\frac {4}{3}}z+{\frac {5}{12}}}$$

Первый и второй барьеры Далквиста

Эти два результата были доказаны Гермундом Дальквистом и представляют собой важную границу для порядка сходимости и для A-устойчивости линейного многошагового метода. Первый барьер Дальквиста был доказан в работе Дальквиста (1956), а второй — в работе Дальквиста (1963).

Первый барьер Далквиста

Первый барьер Дальквиста утверждает, что нуль-устойчивый и линейный q -шаговый многошаговый метод не может достичь порядка сходимости выше q + 1, если q нечетное, и выше q + 2, если q четное. Если метод также явный, то он не может достичь порядка выше q (Hairer, Nørsett & Wanner 1993, Thm III.3.5).

Второй барьер Далквиста

Второй барьер Дальквиста утверждает, что ни один явный линейный многошаговый метод не является A-устойчивым . Кроме того, максимальный порядок (неявного) A-устойчивого линейного многошагового метода равен 2. Среди A-устойчивых линейных многошаговых методов порядка 2 трапецеидальное правило имеет наименьшую константу ошибки (Dahlquist 1963, Thm 2.1 и 2.2).

Смотрите также

• Цифровое усиление энергии

Ссылки

• Башфорт, Фрэнсис (1883), Попытка проверить теории капиллярного действия путем сравнения теоретических и измеренных форм капель жидкости. С объяснением метода интегрирования, используемого при построении таблиц, которые дают теоретические формы таких капель, Дж. К. Адамс , Кембридж{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).
• Бутчер, Джон К. (2003), Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений , John Wiley, ISBN 978-0-471-96758-3.
• Дальквист, Герман (1956), «Сходимость и устойчивость при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений», Mathematica Scandinavica , 4 : 33–53, doi : 10.7146/math.scand.a-10454.
• Дальквист, Джермунд (1963), «Специальная проблема устойчивости для линейных многошаговых методов», BIT , 3 : 27–43, doi : 10.1007/BF01963532, ISSN  0006-3835, S2CID  120241743.
• Голдстайн, Герман Х. (1977), История численного анализа с XVI по XIX век , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90277-7.
• Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: Нежесткие задачи (2-е изд.), Берлин: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.
• Хайрер, Эрнст; Ваннер, Герхард (1996), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений II: Жесткие и дифференциально-алгебраические проблемы (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-60452-5.
• Исерлес, Арье (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
• Милн, У. Э. (1926), «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений», American Mathematical Monthly , 33 (9), Математическая ассоциация Америки: 455–460, doi : 10.2307/2299609, JSTOR  2299609.
• Молтон, Форест Р. (1926), Новые методы внешней баллистики , Издательство Чикагского университета.
• Квартерони, Альфио ; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2000), Matematica Numerica , Springer Verlag, ISBN 978-88-470-0077-3.
• Сюли, Эндре; Майерс, Дэвид (2003), Введение в численный анализ , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Метод Адамса». MathWorld .