Метод Паунда–Древера–Холла

Техника светостабилизации

Метод Паунда-Древера-Холла ( PDH ) — это широко используемый и мощный подход к стабилизации частоты света, излучаемого лазером, посредством привязки к стабильной полости. Метод PDH имеет широкий спектр применения, включая интерферометрические детекторы гравитационных волн , атомную физику и стандарты измерения времени , многие из которых также используют родственные методы, такие как спектроскопия частотной модуляции . Названный в честь Р. В. Паунда , Рональда Древера и Джона Л. Холла , метод PDH был описан в 1983 году Древером, Холлом и другими, работавшими в Университете Глазго и Национальном бюро стандартов США . ^[1] Этот оптический метод имеет много общего со старым методом частотной модуляции, разработанным Паундом для микроволновых полостей. ^[2]

Поскольку широкий диапазон условий способствует определению ширины линии, создаваемой лазером, метод PDH обеспечивает средства для управления и уменьшения ширины линии лазера, при условии, что оптический резонатор более стабилен, чем лазерный источник. В качестве альтернативы, если доступен стабильный лазер, метод PDH может быть использован для стабилизации и/или измерения нестабильностей в длине оптического резонатора. ^[3] Метод PDH реагирует на частоту излучения лазера независимо от интенсивности, что важно, поскольку многие другие методы, которые управляют частотой лазера, такие как блокировка боковой полосы, также подвержены нестабильности интенсивности.

Лазерная стабилизация

В последние годы метод Паунда-Древера-Холла стал основой стабилизации частоты лазера. Стабилизация частоты необходима для высокой точности, поскольку все лазеры демонстрируют блуждание частоты на определенном уровне. Эта нестабильность в первую очередь обусловлена ​​колебаниями температуры, механическими дефектами и динамикой усиления лазера ^[4] , которые изменяют длину лазерного резонатора, колебания тока и напряжения драйвера лазера, ширину атомного перехода и многие другие факторы. Блокировка PDH предлагает одно из возможных решений этой проблемы путем активной настройки лазера для соответствия резонансному условию стабильного эталонного резонатора.

Конечная ширина линии, полученная при стабилизации PDH, зависит от ряда факторов. С точки зрения анализа сигнала шум на сигнале блокировки не может быть ниже, чем тот, который задан пределом дробового шума . ^[3] Однако это ограничение диктует, насколько точно лазер может следовать за резонатором. Для условий жесткой блокировки ширина линии зависит от абсолютной стабильности резонатора, которая может достигать пределов, налагаемых тепловым шумом. ^[5] Используя технику PDH, были продемонстрированы оптические ширины линий ниже 40 мГц. ^[6]

Приложения

В частности, область интерферометрического обнаружения гравитационных волн критически зависит от повышенной чувствительности, обеспечиваемой оптическими полостями. ^[7] Метод PDH также используется, когда требуются узкие спектроскопические зонды отдельных квантовых состояний, например, в атомной физике , стандартах измерения времени и квантовых компьютерах .

Обзор техники

Схема сервоконтура PDH для синхронизации частоты лазера (вверху слева) с резонатором Фабри-Перо (вверху справа). Свет от лазера посылается через фазовый модулятор и затем направляется в резонатор. (Для диодных лазеров быстрая частотная или фазовая модуляция может быть выполнена просто путем модуляции тока диода, что устраняет необходимость во внешнем электрооптическом или акустооптическом фазовом модуляторе). Изолятор не участвует в установке PDH; он присутствует только для того, чтобы гарантировать, что свет от различных оптических компонентов не отражается обратно в лазер. Поляризационный светоделитель (PBS) и пластина λ/4 действуют совместно, чтобы различать два направления распространения света: свет, движущийся в направлении слева направо, проходит прямо через него и попадает в резонатор, в то время как свет, движущийся в направлении справа налево (т. е. из резонатора), отклоняется к фотодетектору. Фазовый модулятор приводится в действие синусоидальным сигналом от генератора ; это накладывает боковые полосы на лазерный свет. Как описано в разделе о функции считывания PDH, сигнал фотодетектора демодулируется (то есть проходит через смеситель и фильтр нижних частот) для получения сигнала ошибки, который подается обратно в порт управления частотой лазера.

Фазово-модулированный свет, состоящий из несущей частоты и двух боковых полос, направляется на двухзеркальный резонатор. Свет, отраженный от резонатора, измеряется с помощью высокоскоростного фотодетектора ; отраженный сигнал состоит из двух неизмененных боковых полос вместе с фазово-сдвинутым компонентом несущей. Сигнал фотодетектора смешивается с локальным генератором , который находится в фазе со световой модуляцией. После сдвига фазы и фильтрации результирующий электронный сигнал дает меру того, насколько далеко несущая лазера находится от резонанса с резонатором, и может использоваться в качестве обратной связи для активной стабилизации. Обратная связь обычно осуществляется с помощью ПИД-регулятора , который считывает сигнал ошибки PDH и преобразует его в напряжение, которое может быть подано обратно в лазер, чтобы удерживать его заблокированным на резонансе с резонатором.

Главным новшеством метода PDH является мониторинг производной передачи полости относительно расстройки, а не самой передачи полости, которая симметрична относительно резонансной частоты. В отличие от захвата боковой полосы, это позволяет правильно определять знак сигнала обратной связи по обе стороны резонанса. Производная измеряется посредством быстрой модуляции входного сигнала и последующего смешивания с формой управляющей волны, во многом как в электронном парамагнитном резонансе .

Функция считывания PDH

Функция считывания PDH дает меру резонансного состояния полости. При взятии производной передаточной функции полости (которая симметрична и четна ) относительно частоты, она является нечетной функцией частоты и, следовательно, указывает не только на то, есть ли несоответствие между выходной частотой ω лазера и резонансной частотой ω _res полости, но также на то, больше или меньше ω _res . Нулевой переход функции считывания чувствителен только к колебаниям интенсивности из-за частоты света в полости и нечувствителен к колебаниям интенсивности от самого лазера. [ ^2]

Свет с частотой f = ω /2π может быть представлен математически его электрическим полем, E ₀ e ^iωt . Если этот свет затем модулируется по фазе β sin( ω _m t ), где ω _m — частота модуляции, а β — глубина модуляции, результирующее поле E _i равно

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{i}}&=E_{0}e^{i(\omega t+\beta \sin(\omega _{\mathrm {m} }t))}\\&\approx E_{0}e^{i\omega t}[1+i\beta \sin(\omega _{\mathrm {m} }t)]\\&=E_{0}e^{i\omega t}\left[1+{\frac {\beta }{2}}e^{i\omega _{\mathrm {m} }t}-{\frac {\beta }{2}}e^{-i\omega _{\mathrm {m} }t}\right].\end{aligned}}}$

Это поле можно рассматривать как суперпозицию трех частотных компонент. Первая компонента — это электрическое поле с угловой частотой ω , называемое несущей , а вторая и третья компоненты — это поля с угловой частотой ω + ω _m и ω − ω _m соответственно, называемые боковыми полосами .

В общем случае свет E _{r ,} отраженный от двухзеркального резонатора Фабри–Перо, связан со светом E _{i ,} падающим на резонатор, следующей передаточной функцией :

${\displaystyle R(\omega )={\frac {E_{\text{r}}}{E_{\text{i}}}}={\frac {-r_{1}+(r_{1}^{2}+t_{1}^{2})r_{2}e^{i2\alpha }}{1-r_{1}r_{2}e^{i2\alpha }}},}$

где α = ωL / c , и где r ₁ и r ₂ — коэффициенты отражения зеркал 1 и 2 резонатора, а t ₁ и t ₂ — коэффициенты пропускания зеркал.

Моделированные графики функции передачи отражения двухзеркальной полости Фабри-Перо и сигнала считывания PDH. Вверху: квадрат величины R ^* R функции передачи отражения; т. е. отраженная мощность. В середине: фаза arctan[Im( R )/Re( R )] функции передачи отражения. Внизу: функция считывания PDH V , с фазой демодуляции φ  = π/2. Зеркала моделируемой полости были выбраны с амплитудными коэффициентами отражения r ₁  = 0,99 и r ₂  = 0,98, а длина полости была L  = 1 м. Частота фазовой модуляции света была выбрана равной f _m  = 23 МГц ( f _m  = ω _m /2π). Часть функции считывания PDH, которая полезна в качестве сигнала ошибки следящего устройства, представляет собой линейную область вблизи f _res . Отраженная мощность и функция считывания PDH часто контролируются в реальном времени в виде следов на осциллографе с целью оценки состояния оптического резонатора и его сервоконтура.

Применение этой передаточной функции к фазово-модулированному свету E _i дает отраженный свет E _r : ^{[примечание 1]}

${\displaystyle E_{\text{r}}=E_{0}\left[R(\omega )e^{i\omega t}+R(\omega +\omega _{\mathrm {m} }){\frac {\beta }{2}}e^{i(\omega +\omega _{\mathrm {m} })t}-R(\omega -\omega _{\mathrm {m} }){\frac {\beta }{2}}e^{i(\omega -\omega _{\mathrm {m} })t}\right].}$

Мощность P _r отраженного света пропорциональна квадрату величины электрического поля, E _r ^* E _r , которая после некоторых алгебраических преобразований может быть представлена ​​как

${\textstyle {\begin{aligned}P_{\text{r}}=&\ P_{0}\left|R(\omega )\right|^{2}+P_{0}{\frac {\beta ^{2}}{4}}{\Big \{}\left|R(\omega +\omega _{\mathrm {m} })\right|^{2}+\left|R(\omega -\omega _{\mathrm {m} })\right|^{2}{\Big \}}\\&+P_{0}\beta {\Big \{}{\textrm {Re}}[\chi (\omega )]\cos {\omega _{\mathrm {m} }t}+{\textrm {Im}}[\chi (\omega )]\sin {\omega _{\mathrm {m} }t}{\Big \}}+({\text{terms in }}2\omega _{\mathrm {m} }).\end{aligned}}}$

Здесь P ₀  ∝ | E ₀ | ² — мощность света, падающего на резонатор Фабри–Перо, а χ определяется как

${\displaystyle \chi (\omega )=R(\omega )R^{*}(\omega +\omega _{\mathrm {m} })-R^{*}(\omega )R(\omega -\omega _{\mathrm {m} }).}$

Это χ является конечной величиной интереса; это антисимметричная функция ω − ω _res . Его можно извлечь из P _r путем демодуляции . Сначала отраженный луч направляется на фотодиод , который создает напряжение V _r , пропорциональное P _r . Затем это напряжение смешивается с задержанной по фазе версией исходного напряжения модуляции для создания V ′ _r :

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\text{r}}'&=V_{\text{r}}\cos(\omega _{\mathrm {m} }t+\varphi )\propto P_{\text{r}}\cos(\omega _{\mathrm {m} }t+\varphi ).\\\end{aligned}}}$

Наконец, V ′ _r отправляется через фильтр нижних частот для удаления любых синусоидально колеблющихся членов. Эта комбинация смешивания и фильтрации нижних частот создает напряжение V , которое содержит только члены, включающие χ :

${\displaystyle V(\omega )\propto {\textrm {Re}}[\chi (\omega )]\cos \varphi +{\textrm {Im}}[\chi (\omega )]\sin \varphi .}$

Теоретически χ можно полностью извлечь, настроив два пути демодуляции, один с φ = 0 , а другой с φ = π/2 . На практике, путем разумного выбора ω _m, можно сделать χ почти полностью действительным или почти полностью мнимым, так что потребуется только один путь демодуляции. V ( ω ), с соответствующим образом выбранным φ , является сигналом считывания PDH.

Примечания

1. Передаточная функция R применяется независимо к каждому из трех экспоненциальных членов, поскольку резонатор Фабри–Перо является линейной системой, инвариантной во времени . Реакция резонатора на свет с частотой ω ₁ одинакова независимо от того, реагирует ли он одновременно на свет с какой-либо другой частотой ω ₂ .

Ссылки

1. Drever, RWP; Hall, JL; Kowalski, FV; Hough, J.; Ford, GM; Munley, AJ; Ward, H. (июнь 1983 г.). "Стабилизация фазы и частоты лазера с использованием оптического резонатора" (PDF) . Applied Physics B. 31 ( 2): 97–105. Bibcode : 1983ApPhB..31...97D. doi : 10.1007/BF00702605. S2CID  34833705.
2. Black, Eric D. (2001). "Введение в стабилизацию частоты лазера по методу Паунда–Древера–Холла" (PDF) . Am J Phys . 69 (1): 79–87. Bibcode :2001AmJPh..69...79B. doi :10.1119/1.1286663. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-07-14 . Получено 2009-10-06 .(Педагогическая обзорная статья, описывающая данную методику.)
3. Black, Eric. "Notes on the Pound-Drever-Hall techniques" (PDF) . Техническое примечание LIGO . Получено 21 июня 2014 г. .
4. Гатак, Аджой Кумар (20 июля 1989 г.). Оптическая электроника. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 254. ИСБН 0-521-30643-4.
5. "Комментарии по различным геометриям полости: выемчатая горизонтальная, вертикальная срединная плоскость и сферическая" (PDF) . Stable Lasers . Получено 9 апреля 2014 г. .
6. Kessler, T; et al. (октябрь 2012 г.). "Лазер с шириной линии менее 40 МГц на основе оптического резонатора из кремния" (PDF) . Nature Photonics . 6 (10): 687–692. arXiv : 1112.3854 . Bibcode :2012NaPho...6..687K. doi :10.1038/nphoton.2012.217. S2CID  51818755.
7. Абрамовичи А. и др. (2009). «LIGO: Лазерная интерферометрическая гравитационно-волновая обсерватория». Science . 256 (5055): 325–333. arXiv : 0711.3041 . Bibcode :1992Sci...256..325A. doi :10.1126/science.256.5055.325. PMID  17743108. S2CID  53709232.