Экстраполяция

Метод оценки новых данных за пределами известных точек данных

В математике экстраполяция — это тип оценки , выходящей за пределы исходного диапазона наблюдений , значения переменной на основе ее связи с другой переменной. Она похожа на интерполяцию , которая дает оценки между известными наблюдениями, но экстраполяция подвержена большей неопределенности и более высокому риску получения бессмысленных результатов. Экстраполяция может также означать расширение метода, предполагая, что будут применимы аналогичные методы. Экстраполяция может также применяться к человеческому опыту для проецирования, расширения или расширения известного опыта в область, не известную или ранее не испытанную, чтобы прийти к (обычно предположительному) знанию неизвестного ^[1] (например, водитель экстраполирует дорожные условия за пределы своего поля зрения во время вождения). Метод экстраполяции может применяться в задаче реконструкции интерьера .

Пример иллюстрации задачи экстраполяции, состоящей из присвоения значимого значения в синем поле, при , учитывая красные точки данных ${\displaystyle x=7}$

Метод

Обоснованный выбор метода экстраполяции для применения зависит от априорного знания процесса, создавшего существующие точки данных. Некоторые эксперты предложили использовать причинные силы при оценке методов экстраполяции. ^[2] Решающими вопросами являются, например, можно ли предположить, что данные являются непрерывными, гладкими, возможно периодическими и т. д.

Линейный

Линейная экстраполяция означает создание касательной линии в конце известных данных и ее продление за этот предел. Линейная экстраполяция даст хорошие результаты только в том случае, если она используется для продления графика приблизительно линейной функции или не слишком далеко за пределы известных данных.

Если две точки данных, ближайшие к точке, подлежащей экстраполяции, — это и , линейная экстраполяция дает функцию: ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle (x_{k-1},y_{k-1})}$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$

${\displaystyle y(x_{*})=y_{k-1}+{\frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_{k}-y_{k-1}).}$

(что идентично линейной интерполяции, если ). Можно включить более двух точек и усреднить наклон линейного интерполянта с помощью методов, подобных регрессии , по выбранным для включения точкам данных. Это похоже на линейное предсказание . ${\displaystyle x_{k-1}<x_{*}<x_{k}}$

Полиномиальный

Экстраполяция Лагранжа последовательности 1, 2, 3. Экстраполяция по 4 приводит к полиному минимальной степени ( голубая линия).

Полиномиальная кривая может быть создана по всем известным данным или только около конца (две точки для линейной экстраполяции, три точки для квадратичной экстраполяции и т. д.). Полученная кривая затем может быть расширена за пределы конца известных данных. Полиномиальная экстраполяция обычно выполняется с помощью интерполяции Лагранжа или с использованием метода конечных разностей Ньютона для создания ряда Ньютона , который соответствует данным. Полученный полином может быть использован для экстраполяции данных.

Высокопорядковую полиномиальную экстраполяцию следует использовать с должной осторожностью. Для примера набора данных и задачи на рисунке выше все, что выше порядка 1 (линейная экстраполяция), может привести к неиспользуемым значениям; оценка ошибки экстраполированного значения будет расти с ростом степени полиномиальной экстраполяции. Это связано с явлением Рунге .

Конический

Коническое сечение может быть создано с использованием пяти точек вблизи конца известных данных. Если созданное коническое сечение является эллипсом или окружностью , при экстраполяции оно замкнется и соединится с собой. Экстраполированная парабола или гипербола не соединится с собой, но может изогнуться обратно относительно оси X. Этот тип экстраполяции может быть выполнен с помощью шаблона конических сечений (на бумаге) или с помощью компьютера.

Французская кривая

Экстраполяция французской кривой — это метод, подходящий для любого распределения, имеющего тенденцию к экспоненциальному росту, но с ускоряющими или замедляющими факторами. ^[3] Этот метод успешно использовался для прогнозирования роста ВИЧ/СПИДа в Великобритании с 1987 года и варианта болезни Крейтцфельда-Якоба в Великобритании в течение ряда лет. Другое исследование показало, что экстраполяция может давать такое же качество результатов прогнозирования, как и более сложные стратегии прогнозирования. ^[4]

Геометрическая экстраполяция с прогнозированием ошибок

Может быть создан с помощью 3 точек последовательности и «моментов» или «индексов», этот тип экстраполяции имеет 100% точность предсказаний в большом проценте известных баз данных рядов (OEIS). ^[5]

Пример экстраполяции с прогнозированием ошибок:

${\displaystyle {\text{sequence}}=[1,2,3,5]}$

${\displaystyle {f_{1}(x,y)={\frac {x}{y}}}}$

${\displaystyle d_{1}=f_{1}(3,2)}$

${\displaystyle {d_{2}=f_{1}(5,3)}}$

${\displaystyle m={\text{sequence}}(5)}$

${\displaystyle n={\text{sequence}}(3)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{f}}(m,n,d_{1},d_{2})&={\text{round}}\left((n\cdot d_{1}-m)+(m\cdot d_{2})\right)\\&={\text{round}}\left((3\times 1.5-5\right)+(5\times 1.66))=8\end{aligned}}}$

Качество

Обычно качество конкретного метода экстраполяции ограничивается предположениями о функции, сделанными методом. Если метод предполагает, что данные гладкие, то негладкая функция будет плохо экстраполирована.

Что касается сложных временных рядов, некоторые эксперты обнаружили, что экстраполяция более точна, если она выполняется посредством разложения причинных сил. ^[6]

Даже при правильных предположениях о функции экстраполяция может сильно расходиться с функцией. Классический пример — усеченные степенные ряды представлений sin( x ) и связанных тригонометрических функций . Например, взяв только данные вблизи x  = 0, мы можем оценить, что функция ведет себя как sin( x ) ~  x . В окрестности x  = 0 это превосходная оценка. Однако вдали от x  = 0 экстраполяция произвольно удаляется от оси x , в то время как sin( x ) остается в интервале [−1,  1]. Т.е. ошибка неограниченно возрастает.

Взятие большего количества членов в степенном ряду sin( x ) около x  = 0 даст лучшее согласие на большем интервале вблизи x  = 0, но приведет к экстраполяциям, которые в конечном итоге будут отклоняться от оси x даже быстрее, чем линейное приближение.

Это расхождение является специфическим свойством методов экстраполяции и обходит только тогда, когда функциональные формы, предполагаемые методом экстраполяции (непреднамеренно или преднамеренно из-за дополнительной информации), точно представляют природу экстраполируемой функции. Для конкретных задач эта дополнительная информация может быть доступна, но в общем случае невозможно удовлетворить все возможные поведения функций с помощью работающего малого набора потенциального поведения.

В комплексной плоскости

В комплексном анализе задача экстраполяции может быть преобразована в задачу интерполяции путем замены переменной . Это преобразование меняет местами часть комплексной плоскости внутри единичной окружности с частью комплексной плоскости вне единичной окружности. В частности, точка компактификации на бесконечности отображается в начало координат и наоборот. Однако с этим преобразованием следует быть осторожным, поскольку исходная функция могла иметь «особенности», например полюса и другие сингулярности , на бесконечности, которые не были очевидны из выборочных данных. ${\displaystyle {\hat {z}}=1/z}$

Другая проблема экстраполяции слабо связана с проблемой аналитического продолжения , где (обычно) представление функции в виде степенного ряда расширяется в одной из точек сходимости для получения степенного ряда с большим радиусом сходимости . По сути, набор данных из небольшой области используется для экстраполяции функции на большую область.

Опять же, аналитическое продолжение может быть затруднено особенностями функции , которые не были очевидны из исходных данных.

Также можно использовать преобразования последовательностей, такие как аппроксимации Паде и преобразования последовательностей типа Левина, как методы экстраполяции, которые приводят к суммированию степенных рядов , которые расходятся за пределами исходного радиуса сходимости . В этом случае часто получаются рациональные аппроксимации .

Быстрый

Экстраполированные данные часто сворачиваются в функцию ядра. После экстраполяции данных размер данных увеличивается в N раз, здесь N составляет примерно 2–3. Если эти данные необходимо свернуть в известную функцию ядра, численные вычисления увеличатся в N  log(N) раз даже при быстром преобразовании Фурье (БПФ). Существует алгоритм, который аналитически вычисляет вклад от части экстраполированных данных. Время расчета можно сократить по сравнению с исходным расчетом свертки. Следовательно, с этим алгоритмом расчеты свертки с использованием экстраполированных данных почти не увеличиваются. Это называется быстрой экстраполяцией. Быстрая экстраполяция была применена для реконструкции изображений КТ. ^[7]

Аргументы экстраполяции

Аргументы экстраполяции — это неформальные и неквантифицированные аргументы, которые утверждают, что что-то, вероятно, истинно за пределами диапазона значений, для которых оно известно как истинное. Например, мы верим в реальность того, что мы видим через увеличительные стекла, потому что это согласуется с тем, что мы видим невооруженным глазом, но выходит за его пределы; мы верим в то, что мы видим через световые микроскопы, потому что это согласуется с тем, что мы видим через увеличительные стекла, но выходит за его пределы; и аналогично для электронных микроскопов. Такие аргументы широко используются в биологии при экстраполяции с исследований животных на людей и с пилотных исследований на более широкую популяцию. ^[8]

Подобно аргументам о скользком склоне , аргументы экстраполяции могут быть сильными или слабыми в зависимости от таких факторов, как то, насколько далеко экстраполяция выходит за пределы известного диапазона. ^[9]

Смотрите также

• Прогнозирование
• Минимальная полиномиальная экстраполяция
• Метод многосеточного моделирования
• Переобучение
• Интервал прогнозирования
• Регрессионный анализ
• Экстраполяция Ричардсона
• Статический анализ
• Оценка тренда
• Анализ области экстраполяции
• Расчет пути
• Реконструкция интерьера
• Теория экстремальных значений
• Интерполяция

Примечания

1. Экстраполяция, запись в Merriam–Webster
2. Дж. Скотт Армстронг; Фред Коллопи (1993). «Причинные силы: структурирование знаний для экстраполяции временных рядов». Журнал прогнозирования . 12 (2): 103–115. CiteSeerX  10.1.1.42.40 . doi :10.1002/for.3980120205. S2CID  3233162. Получено 10 января 2012 г.
3. AIDSCJDUK.info Основной индекс
4. Дж. Скотт Армстронг (1984). «Прогнозирование путем экстраполяции: выводы из двадцати пяти лет исследований». Интерфейсы . 14 (6): 52–66. CiteSeerX 10.1.1.715.6481 . doi :10.1287/inte.14.6.52. S2CID  5805521. Получено 10.01.2012 . 
5. V. Nos (2021). "Probnet: геометрическая экстраполяция целочисленных последовательностей с прогнозированием ошибок" . Получено 14.03.2023 .
6. Дж. Скотт Армстронг; Фред Коллопи; Дж. Томас Йокум (2004). «Разложение по причинным силам: процедура прогнозирования сложных временных рядов». Международный журнал прогнозирования . 21 : 25–36. doi :10.1016/j.ijforecast.2004.05.001. S2CID  8816023.
7. Шуангрен Чжао; Кан Ян; Синти Ян (2011). «Реконструкция из усеченных проекций с использованием смешанных экстраполяций экспоненциальных и квадратичных функций» (PDF) . Журнал рентгеновской науки и технологии . 19 (2): 155–72. doi :10.3233/XST-2011-0284. PMID  21606580. Архивировано из оригинала (PDF) 29-09-2017 . Получено 03-06-2014 .
8. Стил, Дэниел (2007). Через границы: экстраполяция в биологии и социальных науках. Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 9780195331448.
9. Франклин, Джеймс (2013). «Аргументы, сила которых зависит от непрерывной вариации». Informal Logic . 33 (1): 33–56. doi :10.22329/il.v33i1.3610 . Получено 29 июня 2021 г. .

Ссылки

• Методы экстраполяции. Теория и практика, К. Брезински и М. Редиво Залья , Северная Голландия, 1991.
• Авраам Сиди: «Практические методы экстраполяции: теория и применение», Cambridge University Press, ISBN 0-521-66159-5 (2003).
• Клод Брезински и Микела Редиво-Залья: «Экстраполяция и рациональная аппроксимация», Springer Nature, Швейцария, ISBN 9783030584177, (2020).