Метод Галеркина

Метод решения непрерывных операторных задач (типа дифференциальных уравнений)

В математике , в области численного анализа , методы Галеркина — это семейство методов преобразования непрерывной операторной задачи, такой как дифференциальное уравнение , обычно в слабой формулировке , в дискретную задачу путем применения линейных ограничений, определяемых конечными наборами базисных функций. Они названы в честь советского математика Бориса Галеркина .

Часто, ссылаясь на метод Галеркина, приводят его название, а также типичные используемые допущения и методы приближения:

• Метод Ритца–Галеркина (в честь Вальтера Ритца ) обычно предполагает симметричную и положительно определенную билинейную форму в слабой формулировке , где дифференциальное уравнение для физической системы может быть сформулировано посредством минимизации квадратичной функции, представляющей энергию системы, а приближенное решение представляет собой линейную комбинацию заданного набора базисных функций. ^[1]
• Метод Бубнова–Галеркина (по Ивану Бубнову ) не требует, чтобы билинейная форма была симметричной , и заменяет минимизацию энергии ограничениями ортогональности , определяемыми теми же базисными функциями, которые используются для аппроксимации решения. В операторной формулировке дифференциального уравнения метод Бубнова–Галеркина можно рассматривать как применение ортогональной проекции к оператору.
• Метод Петрова–Галеркина (по Георгию И. Петрову ^[2] ) позволяет использовать базисные функции для ограничений ортогональности (называемые тестовыми базисными функциями ), которые отличаются от базисных функций, используемых для аппроксимации решения. Метод Петрова–Галеркина можно рассматривать как расширение метода Бубнова–Галеркина, применяя проекцию, которая не обязательно является ортогональной в операторной формулировке дифференциального уравнения .

Примерами методов Галеркина являются:

• Метод взвешенных невязок Галеркина , наиболее распространенный метод расчета глобальной матрицы жесткости в методе конечных элементов , ^{[3] [4]}
• метод граничных элементов для решения интегральных уравнений,
• Методы подпространства Крылова . ^[5]

Пример: Матричная линейная система

Сначала мы представляем и иллюстрируем метод Галеркина, применяемый к системе линейных уравнений . Мы определяем параметры следующим образом: ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}}$

которая симметрична и положительно определена, а правая часть

${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Истинное решение этой линейной системы —

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

С помощью метода Галеркина мы можем решить систему в пространстве меньшей размерности, чтобы получить приближенное решение. Давайте используем следующий базис для подпространства:

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Тогда мы можем записать уравнение Галеркина , где левая матрица имеет вид ${\displaystyle \left(V^{*}AV\right)\mathbf {y} =V^{*}\mathbf {b} }$

${\displaystyle V^{*}AV={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}},}$

а правый вектор равен

${\displaystyle V^{*}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Затем мы можем получить вектор решения в подпространстве:

${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

которое мы, наконец, проецируем обратно в исходное пространство, чтобы определить приближенное решение исходного уравнения как

${\displaystyle V\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

В этом примере наше исходное гильбертово пространство на самом деле является 3-мерным евклидовым пространством, снабженным стандартным скалярным произведением , наша матрица 3 на 3 определяет билинейную форму , а правый вектор определяет ограниченный линейный функционал . Столбцы ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {v} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}A\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=\mathbf {b} ^{T}\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

матрицы образуют ортонормированный базис 2-мерного подпространства проекции Галеркина. Элементы матрицы Галеркина размером 2 на 2 равны , а компоненты правого вектора уравнения Галеркина равны . Наконец, приближенное решение получается из компонент вектора решения уравнения Галеркина и базиса как . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}AV}$ ${\displaystyle a(e_{j},e_{i}),\,i,j=1,2}$ ${\displaystyle V^{*}\mathbf {b} }$ ${\displaystyle f(e_{i}),\,i=1,2}$ ${\displaystyle V\mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{2}y_{j}\mathbf {e} _{j}}$

Линейное уравнение в гильбертовом пространстве

Слабая формулировка линейного уравнения

Представим метод Галеркина с абстрактной задачей, поставленной в виде слабой формулировки на гильбертовом пространстве , а именно, ${\displaystyle V}$

найти такое, что для всех . ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle v\in V,a(u,v)=f(v)}$

Здесь — билинейная форма (точные требования к будут указаны позже), а — ограниченный линейный функционал на . ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$

Сокращение размерности Галеркина

Выбираем подпространство размерности n и решаем поставленную задачу: ${\displaystyle V_{n}\subset V}$

Найдите такое, что для всех . ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ ${\displaystyle v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}$

Мы называем это уравнением Галеркина . Обратите внимание, что уравнение осталось неизменным, изменились только пространства. Сведение задачи к конечномерному векторному подпространству позволяет нам численно вычислить как конечную линейную комбинацию базисных векторов в . ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Ортогональность Галеркина

Ключевым свойством подхода Галеркина является то, что ошибка ортогональна выбранным подпространствам. Поскольку , мы можем использовать в качестве тестового вектора в исходном уравнении. Вычитая два, мы получаем соотношение ортогональности Галеркина для ошибки, которое является ошибкой между решением исходной задачи, , и решением уравнения Галеркина, ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon _{n}=u-u_{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}$

Матричная форма уравнения Галеркина

Поскольку целью метода Галеркина является построение линейной системы уравнений , мы строим ее матричную форму, которую можно использовать для алгоритмического вычисления решения.

Пусть будет базисом для . Тогда достаточно использовать их по очереди для проверки уравнения Галеркина, т.е.: найти такое, что ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

Расширяем по этому базису и подставляем его в уравнение выше, чтобы получить ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

${\displaystyle a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

Это предыдущее уравнение на самом деле является линейной системой уравнений , где ${\displaystyle Au=f}$

${\displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$

Симметрия матрицы

В силу определения элементов матрицы, матрица уравнения Галеркина симметрична тогда и только тогда, когда симметрична билинейная форма . ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$

Анализ методов Галеркина

Здесь мы ограничимся симметричными билинейными формами , то есть

${\displaystyle a(u,v)=a(v,u).}$

Хотя это не является ограничением методов Галеркина, применение стандартной теории становится намного проще. Кроме того, в несимметричном случае может потребоваться метод Петрова–Галеркина .

Анализ этих методов проводится в два этапа. Во-первых, мы покажем, что уравнение Галеркина является корректно поставленной задачей в смысле Адамара и, следовательно, допускает единственное решение. На втором этапе мы изучим качество аппроксимации решения Галеркина . ${\displaystyle u_{n}}$

Анализ будет в основном основываться на двух свойствах билинейной формы , а именно:

• Ограниченность: для всех удерживает ${\displaystyle u,v\in V}$

  ${\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|}$для некоторой константы ${\displaystyle C>0}$

• Эллиптичность: для всех зацепок ${\displaystyle u\in V}$

  ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}}$для некоторой константы ${\displaystyle c>0.}$

По теореме Лакса-Милгрэма (см. слабую формулировку ) эти два условия подразумевают корректность исходной задачи в слабой формулировке. Все нормы в следующих разделах будут нормами, для которых выполняются указанные выше неравенства (эти нормы часто называют энергетической нормой).

Корректность уравнения Галеркина

Поскольку , то ограниченность и эллиптичность билинейной формы применимы к . Поэтому корректность задачи Галеркина фактически наследуется от корректности исходной задачи. ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Квазинаилучшее приближение (лемма Сеа)

Ошибка между оригиналом и решением Галеркина допускает оценку ${\displaystyle u-u_{n}}$

${\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}$

Это означает, что с точностью до константы решение Галеркина так же близко к исходному решению , как и любой другой вектор из . В частности, достаточно будет изучать приближение пространствами , полностью забывая о решаемом уравнении. ${\displaystyle C/c}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Доказательство

Поскольку доказательство очень простое и является основным принципом всех методов Галеркина, мы приводим его здесь: в силу эллиптичности и ограниченности билинейной формы (неравенства) и ортогональности Галеркина (знак равенства в середине) для произвольного имеем : ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle c\|u-u_{n}\|^{2}\leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}$

Разделив на и взяв нижнюю грань по всем возможным значениям, получаем лемму. ${\displaystyle c\|u-u_{n}\|}$ ${\displaystyle v_{n}}$

Свойство наилучшего приближения Галеркина в энергетической норме

Для простоты изложения в разделе выше мы предположили, что билинейная форма симметрична и положительно определена, что подразумевает, что она является скалярным произведением , а выражение фактически является допустимой векторной нормой, называемой энергетической нормой . При этих предположениях можно легко доказать дополнительно свойство наилучшего приближения Галеркина в энергетической норме. ${\displaystyle a(u,v)}$ ${\displaystyle \|u\|_{a}={\sqrt {a(u,u)}}}$

Используя a-ортогональность Галеркина и неравенство Коши–Шварца для энергетической нормы, получаем

${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}^{2}=a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq \|u-u_{n}\|_{a}\,\|u-v_{n}\|_{a}.}$

Деление на и взятие инфимума по всем возможным доказывает, что приближение Галеркина является наилучшим приближением по энергетической норме в пределах подпространства , т.е. представляет собой не что иное, как ортогональную относительно скалярного произведения проекцию решения на подпространство . ${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}}$ ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$ ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ ${\displaystyle a(u,v)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Метод Галеркина для ступенчатых структур

I. Elishakof , M. Amato, A. Marzani, PA Arvan и JN Reddy ^{[6] [7] [8] [9]} изучали применение метода Галеркина к ступенчатым структурам. Они показали, что для получения точных результатов необходимы обобщенные функции, а именно функция единичного шага, дельта-функция Дирака и дублетная функция.

История

Подход обычно приписывают Борису Галеркину . ^{[10] [11]} Метод был объяснен западному читателю Хенки ^[12] и Дунканом ^{[13] [14]} среди других. Его сходимость изучалась Михлиным ^[15] и Лейпхольцем ^{[16] [17] [18] [19]} Его совпадение с методом Фурье было проиллюстрировано Элишакоффом и др. ^{[20] [21] [22]} Его эквивалентность методу Ритца для консервативных задач была показана Зингером. ^[23] Гандер и Ваннер ^[24] показали, как методы Ритца и Галеркина привели к современному методу конечных элементов. Сто лет развития метода обсуждались Репиным. ^[25] Элишакофф, Каплунов и Каплунов ^[26] показывают, что метод Галеркина не был разработан Ритцем, вопреки утверждениям Тимошенко.

Смотрите также

• Метод Ритца

Ссылки

1. А. Эрн, Дж. Л. Гермонд, Теория и практика конечных элементов , Springer, 2004, ISBN  0-387-20574-8
2. "Георгий Иванович Петров (к столетию со дня рождения)", Fluid Dynamics, май 2012 г., том 47, выпуск 3, стр. 289-291, DOI 10.1134/S0015462812030015
3. С. Бреннер, Р. Л. Скотт, Математическая теория методов конечных элементов , 2-е издание, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1 
4. PG Ciarlet, Метод конечных элементов для эллиптических задач , North-Holland, 1978, ISBN 0-444-85028-7 
5. Y. Saad , Итерационные методы для разреженных линейных систем , 2-е издание, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2 
6. Элишакофф, И., Амато, М., Анкита, А. П. и Марзани, А. (2021). Строгая реализация метода Галеркина для ступенчатых структур требует обобщенных функций. Журнал звука и вибрации, 490, 115708.
7. Элишакофф, И., Амато, М. и Марзани, А. (2021). Метод Галеркина пересмотрен и исправлен в задаче Яворского и Доуэля. Механические системы и обработка сигналов, 155, 107604.
8. Элишаков, И. и Амато, М. (2021). Флаттер балки в сверхзвуковом потоке: усеченная версия уравнения Тимошенко–Эренфеста достаточна. Международный журнал механики и материалов в проектировании, 1-17.
9. Амато, М., Элишакофф, И. и Редди, Дж. Н. (2021). Флаттер многокомпонентного пучка в сверхзвуковом потоке. Журнал AIAA, 59(11), 4342-4353.
10. Галеркин, Б.Г., 1915, Стержни и пластины, ряд, встречающийся в различных вопросах, касающихся упругого равновесия стержней и пластин, Вестник инженеров и техников, т. 19, с. 897–908 (на русском языке), (перевод на английский язык: 63–18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info.1963).
11. «Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)», (Жан-Клод Пон, редактор), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2-9700636-5-0 
12. Хенки Х., 1927, Eine wichtige Vereinfachung der Methode von Ritz zur angennäherten Behandlung von Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 7, 80–81 (на немецком языке).
13. Дункан, У. Дж., 1937, Метод Галеркина в механике и дифференциальных уравнениях, Отчеты и меморандумы Комитета по авиационным исследованиям, № 1798.
14. Дункан, У. Дж., 1938, Принципы метода Галеркина, Отчет и меморандумы по аэронавтике, № 1894.
15. С. Г. Михлин, «Вариационные методы в математической физике», Pergamon Press, 1964
16. Leipholz HHE, 1976, Использование метода Галеркина для решения проблем вибрации, Shock and Vibration Digest, т. 8, стр. 3-18
17. Leipholz HHE, 1967, Über die Wahl der Ansatzfunktionen bei der Durchführung des Verfahrens von Galerkin, Acta Mech., Vol. 3, 295–317 (на немецком языке).
18. Leipholz HHE, 1967, Über die Befreiung der Anzatzfunktionen des Ritzschen und Galerkinschen Verfahrens von den Randbedingungen, Ing. Арх., Том. 36, 251–261 (на немецком языке).
19. Лейпхольц, Х. Х. Э., 1976, Использование метода Галеркина для решения задач вибрации, The Shock and Vibration Digest, том 8, стр. 3–18, 1976.
20. Элишакофф, И., Ли, Л. Х. Н., 1986, Об эквивалентности методов Галеркина и рядов Фурье для одного класса задач, Журнал звука и вибрации, т. 109, 174-177.
21. Элишаков, И., Зингалес, М., 2003, Совпадение Бубнова-Галеркина и точного решения в задаче прикладной механики, Журнал прикладной механики, т. 70, 777-779.
22. Элишаков, И., Зингалес М., 2004, Пример сходимости метода Бубнова-Галеркина, Журнал AIAA, т. 42(9), 1931-1933.
23. Сингер Дж., 1962, Об эквивалентности методов Галеркина и Рэлея-Ритца, Журнал Королевского авиационного общества, т. 66, № 621, стр. 592.
24. Гандер, М.Дж., Ваннер, Г., 2012, От Эйлера, Ритца и Галеркина к современным вычислениям, SIAM Review, т. 54(4), 627-666.
25. ] Репин, С., 2017, Сто лет методу Галеркина, Вычислительные методы и прикладная математика, Т. 17(3), 351-357.
26. .Elishakoff, I., Julius Kaplunov, Elizabeth Kaplunov, 2020, «Метод Галеркина не был разработан Ритцем, вопреки утверждению Тимошенко», в Nonlinear Dynamics of Discrete and Continuous Systems (ред. А. Абрамян, И. Андрианов и В. Гайко), стр. 63-82, Springer, Berlin.

Внешние ссылки

• «Метод Галеркина», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Метод Галеркина от MathWorld