Метод Эйлера–Маруямы

Метод в исчислении Ито

В исчислении Ито метод Эйлера –Маруямы (также называемый просто методом Эйлера ) — это метод приближенного численного решения стохастического дифференциального уравнения (СДУ). Он является расширением метода Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений до стохастических дифференциальных уравнений, названных в честь Леонарда Эйлера и Гисиро Маруямы . Такое же обобщение невозможно сделать для любого произвольного детерминированного метода. ^[1]

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (см. исчисление Ито )

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=a(X_{t},t)\,\mathrm {d} t+b(X_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},}$

с начальным условием X ₀  =  x ₀ , где W _t обозначает винеровский процесс , и предположим, что мы хотим решить это СДУ на некотором интервале времени [0,  T ]. Тогда приближение Эйлера–Маруямы к истинному решению X представляет собой цепь Маркова Y , определяемую следующим образом:

• Разобьем интервал [0,  T ] на N равных подынтервалов шириной : ${\displaystyle \Delta t>0}$

${\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<\cdots <\tau _{N}=T{\text{ and }}\Delta t=T/N;}$

• Установить Y0  =  x0_​​
• Рекурсивно определим Y _n для 0 ≤  n  ≤  N-1 с помощью

${\displaystyle \,Y_{n+1}=Y_{n}+a(Y_{n},\tau _{n})\,\Delta t+b(Y_{n},\tau _{n})\,\Delta W_{n},}$

где

${\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}.}$

Случайные величины Δ W _n являются независимыми и одинаково распределенными нормальными случайными величинами с ожидаемым значением нулевым и дисперсией Δ t .

Пример

Численное моделирование

Экспрессия генов смоделирована как стохастический процесс.

Область, которая значительно выиграла от SDE, — это математическая биология . Поскольку многие биологические процессы являются как стохастическими, так и непрерывными по своей природе, численные методы решения SDE весьма ценны в этой области.

На графике изображено стохастическое дифференциальное уравнение, решенное с использованием метода Эйлера-Маруямы. Детерминированный аналог показан синим цветом.

Компьютерная реализация

Следующий код Python реализует метод Эйлера–Маруямы и использует его для решения процесса Орнштейна–Уленбека, определяемого формулой

${\displaystyle dY_{t}=\theta \cdot (\mu -Y_{t})\,{\mathrm {d} }t+\sigma \,{\mathrm {d} }W_{t}}$

${\displaystyle Y_{0}=Y_{\mathrm {init} }.}$

Случайные числа генерируются с помощью математического пакета NumPy . ${\displaystyle {\mathrm {d} }W_{t}}$

# -*- кодировка: utf-8 -*-импортировать  numpy  как  npимпортировать  matplotlib.pyplot  как  plt Модель класса : """Константы стохастической модели.""" ТЕТА  =  0,7 МЕ  =  1,5 СИГМА  =  0,06def  mu ( y :  float ,  _t :  float )  ->  float : """Реализовать мю Орнштейна-Уленбека."""  Модель возврата . THETA  *  ( Модель . MU  -  y )def  sigma ( _y :  float ,  _t :  float )  ->  float : """Внедрить сигму Орнштейна-Уленбека."""  Модель возврата . SIGMAdef  dW ( delta_t :  float )  ->  float : """Выбор случайного числа при каждом вызове.""" вернуть  np.random.normal ( loc = 0.0 , scale = np.sqrt ( delta_t ) )​​​​​ определение  run_simulation (): """ Верните результат одной полной симуляции.""" Т_ИНИТ  =  3 Т_КОНЕЦ  =  7 N  =  1000  # Вычислить в 1000 точках сетки DT  =  float ( T_END  -  T_INIT )  /  N TS  =  np.arange ( T_INIT , T_END + DT , DT )​​     утверждение  TS . размер  ==  N  +  1 Y_INIT  =  0 ys  =  np . нули ( TS . размер ) ys [ 0 ]  =  Y_INIT для  i  в  диапазоне ( 1 ,  TS . size ): t  =  T_INIT  +  ( i  -  1 )  *  DT у  =  ys [ i  -  1 ] ys [ i ]  =  y  +  mu ( y ,  t )  *  DT  +  sigma ( y ,  t )  *  dW ( DT ) возврат  TS ,  ггdef  plot_simulations ( num_sims :  int ): """ Построить несколько симуляций на одном изображении.""" для  _  в  диапазоне ( num_sims ): plt . plot ( * run_simulation ()) plt.xlabel ( " время " ) plt.ylabel ( " y " ) plt . показать ()если  __name__  ==  "__main__" : NUM_SIMS  =  5 plot_simulations ( NUM_SIMS )

Ниже приведен простой перевод приведенного выше кода на язык программирования MATLAB (R2019b) :

%% Инициализация и утилитазакрыть все ; очистить все ; numSims = 5 ; % отобразить пять запусков   tBounds = [ 3 7 ]; % Границы t    N = 1000 ; % Вычислить в 1000 точках сетки   dt = ( tГраницы ( 2 ) - tГраницы ( 1 )) / N ;       y_init = 0 ; % Начальное состояние y   % Инициализируем распределение вероятностей для нашего% случайная величина со средним значением 0 и стандартным отклонением sqrt(dt)pd = makedist ( 'Нормальный' , 0 , sqrt ( dt ));  c = [ 0,7 , 1,5 , 0,06 ]; % Тета, Мю и Сигма соответственно     ts = linspace ( tBounds ( 1 ), tBounds ( 2 ), N ); % От t0-->t1 с N точками     ys = нули ( 1 , N ); % 1xN Матрица нулей   ys ( 1 ) = y_init ;  %% Вычисление процессадля j = 1 : numSims    для i = 2 : число ( ts )    t = tГраницы ( 1 ) + ( i - 1 ) .* dt ;       у = ys ( i - 1 );   мю = с ( 1 ) .* ( с ( 2 ) - у );       сигма = с ( 3 );   dW = случайный ( pd );    ys ( i ) = y + mu .* dt + сигма .* dW ;           конец фигура ; подожди ;​  участок ( ts , ys , 'o' )  конец

Смотрите также

• Метод Мильштейна
• Метод Рунге–Кутты (SDE)
• Метод Леймкулера–Мэтьюза

Ссылки

1. Клоден, П. Э. и Платен, Э. (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений . Springer, Берлин. ISBN 3-540-54062-8.