Метод потока в зоне аэрации с конечным содержанием воды

Метод потока в зоне аэрации с конечным содержанием воды ^{[1] [2]} представляет собой одномерную альтернативу численному решению уравнения Ричардса ^[3] для моделирования движения воды в ненасыщенных почвах. Метод конечного содержания воды решает адвективоподобный член уравнения скорости влажности почвы , которое является обыкновенным дифференциальным уравнением, альтернативным частному дифференциальному уравнению Ричардса . Уравнение Ричардса трудно аппроксимировать в общем случае, поскольку оно не имеет аналитического решения в замкнутой форме, за исключением нескольких случаев. ^[4] Метод конечного содержания воды, возможно, является первой универсальной заменой численного решения уравнения Ричардса . Решение с конечным содержанием воды имеет несколько преимуществ по сравнению с решением уравнения Ричардса . Во-первых, как обыкновенное дифференциальное уравнение оно явное, гарантированно сходится ^[5] и вычислительно недорого для решения. Во-вторых, используя методологию решения с конечным объемом , он гарантированно сохраняет массу. Метод конечного содержания воды легко моделирует острые фронты смачивания, с чем борется решение Ричардса. ^[6] Основным ограничивающим предположением, необходимым для использования метода конечной влажности, является однородность почвы по слоям.

Дискретизация конечного содержания воды. Пористая среда делится на n однородных «ячеек» содержания воды. ${\displaystyle \Delta \theta }$

Метод потока в зоне аэрации с конечным содержанием воды выводится из той же отправной точки, что и вывод уравнения Ричардса . Однако вывод использует преобразование годографа ^[7] для получения решения адвекции, которое не включает диффузию почвенной воды, где становится зависимой переменной и становится независимой переменной: ^[2] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]\ }$

где:

${\displaystyle K}$- ненасыщенная гидравлическая проводимость [LT ⁻¹ ],

${\displaystyle \psi }$капиллярный напор [L] (отрицательный для ненасыщенной почвы),

${\displaystyle z}$- вертикальная координата [L] (положительная, направленная вниз),

${\displaystyle \theta }$содержание воды , (−) и

${\displaystyle t}$время [ T ].

Это уравнение было преобразовано в набор из трех обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) ^[2] с использованием метода прямых ^[8] для преобразования частных производных в правой части уравнения в соответствующие формы конечных разностей . Эти три ОДУ представляют динамику инфильтрующейся воды, падающих пробок и капиллярных грунтовых вод соответственно.

Вывод

Более совершенный вывод был опубликован ^{[9] в 2017 году, показывая, что это уравнение представляет собой версию} уравнения скорости изменения влажности почвы без диффузии .

Один из способов решения этого уравнения — решить его относительно и путем интегрирования: ^[10] ${\displaystyle q(\theta ,t)}$ ${\displaystyle z(\theta ,t)}$

${\displaystyle \int {\frac {\partial q}{\partial \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\partial z}{\partial t}}\,d\theta }$

Вместо этого используется конечная дискретизация содержания воды, а интегралы заменяются суммированием:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}\Delta \theta =\sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_{j}\Delta \theta }$

где — общее количество ячеек с конечным содержанием воды. ${\displaystyle N}$

При использовании этого подхода уравнение сохранения для каждого контейнера выглядит следующим образом:

${\displaystyle \left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}=\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_{j}.}$

Метод линий используется для замены частных дифференциальных форм в правой части на соответствующие конечно-разностные формы. Этот процесс приводит к набору из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, которые описывают динамику фронтов инфильтрации, падающих пробок и капиллярных фронтов грунтовых вод с использованием дискретизации конечного содержания воды.

Основы метода

Метод расчета потока в зоне аэрации с конечным содержанием воды заменяет уравнение Ричардса PDE на набор из трех обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE). Эти три ODE разрабатываются в следующих разделах. Кроме того, поскольку метод конечного содержания воды явно не включает диффузию почвенной воды, он требует отдельного шага капиллярной релаксации. Капиллярная релаксация ^[11] представляет собой процесс минимизации свободной энергии в масштабе пор, который не производит адвекции за пределами масштаба REV.

Фронты инфильтрации

Фронты инфильтрации в области конечной влажности.

Ссылаясь на рисунок 1, вода, просачивающаяся на поверхность земли, может протекать через поровое пространство между и . В контексте метода линий члены частной производной заменяются на: ${\displaystyle \theta _{d}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.}$

Учитывая, что любая глубина запруженной воды на поверхности земли составляет , используется предположение Грина и Эмпта (1911) ^{[12] ,} ${\displaystyle h_{p}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}},}$

представляет собой градиент капиллярного напора, который управляет потоком. Поэтому конечное уравнение содержания воды в случае фронтов инфильтрации имеет вид:

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\right).}$

Падающие слизни

Падающие слизни в области конечного содержания воды. Вода в каждом контейнере считается отдельной слизью.

После того, как осадки прекращаются и вся поверхностная вода просачивается, вода в ячейках, содержащих инфильтрационные фронты, отделяется от поверхности земли. Предполагая, что капиллярность на переднем и заднем краях этого «падающего слизняка» воды сбалансирована, тогда вода падает через среду с инкрементальной проводимостью, связанной с -ым ячейкой : ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \Delta \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}}$

Капиллярные фронты грунтовых вод

Капиллярные фронты грунтовых вод в области конечной влажности.

В этом случае поток воды в бункер происходит между бункерами j и i . Поэтому в контексте метода линий : ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},}$

и,

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}}$

что дает:

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).}$

Эффективность этого уравнения была проверена для случаев, когда скорость уровня грунтовых вод была меньше 0,92 [ ^13] с использованием эксперимента с колонной, разработанного после эксперимента Чайлдса и Пуловассилиса (1962). ^[14] Результаты этой проверки показали, что метод расчета потока в зоне аэрации с конечным содержанием воды дает результаты, сопоставимые с численным решением уравнения Ричардса. ${\displaystyle K_{s}}$

Расслабление капилляров

Поскольку гидравлическая проводимость быстро увеличивается по мере того, как содержание воды движется к насыщению, со ссылкой на рис. 1, самые правые ячейки как в капиллярных фронтах грунтовых вод, так и в фронтах инфильтрации могут «обогнать» своих соседей слева. В дискретизации конечного содержания воды эти толчки ^[15] рассеиваются процессом капиллярной релаксации, который представляет собой процесс минимизации свободной энергии в масштабе пор, который не производит адвекции за пределами шкалы REV ^[11]. Численно этот процесс представляет собой числовую сортировку, которая размещает фронты в монотонно уменьшающейся величине слева направо.

Учредительные отношения

Метод потока в зоне аэрации с конечным содержанием воды работает с любой монотонной кривой удержания воды /ненасыщенными соотношениями гидравлической проводимости, такими как Брукс и Кори ^[16], Клэпп и Хорнбергер ^[17] и Ван Генухтен-Муалем. ^[18] Метод может работать с гистерезисными соотношениями удержания воды — они еще не были протестированы.

Ограничения

Метод конечного содержания воды не учитывает эффект диффузии почвенной воды. Это упущение не влияет на точность расчетов потока с использованием метода, поскольку среднее значение диффузионного потока мало. На практике это означает, что форма фронта смачивания не играет никакой роли в управлении инфильтрацией. Метод до сих пор ограничен 1-мерным пространством в практических приложениях. Уравнение инфильтрации ^[2] было расширено до 2- и квази-3-мерного пространства. ^[5] Еще многое предстоит сделать для расширения всего метода на более чем одно измерение.

Награды

Статья, описывающая этот метод ^[2], была выбрана Сетью молодых гидрогеологов Международной ассоциации гидрогеологов для получения награды «Самая крутая статья, опубликованная в 2015 году» в знак признания потенциального влияния публикации на будущее гидрогеологии.

Смотрите также

• Уравнение Ричардса
• Инфильтрация (гидрология)
• Уравнение скорости влажности почвы

Ссылки

1. Talbot, CA и FL Ogden (2008), Метод вычисления инфильтрации и перераспределения в дискретной области содержания влаги, Water Resour. Res. , 44(8), doi: 10.1029/2008WR006815.
2. Огден, Флорида, В. Лай, Р. К. Стейнке, Дж. Чжу, К. А. Талбот и Дж. Л. Уилсон (2015), Новый общий метод решения одномерной вадозной зоны, Water Resour.Res. , 51, дата рождения:10.1002/2015WR017126.
3. Ричардс, Л.А. (1931), Капиллярная проводимость жидкостей через пористые среды, J. Appl. Phys. , 1(5), 318–333.
4. Росс, П. Дж. и Дж.-Й. Парланж (1994). Сравнение точных и численных решений уравнения Ричардса для одномерной инфильтрации и дренажа. Soil Sci. Vol 1557, No. 6, pp. 341-345.
5. Yu, H., CC Douglas и FL Ogden, (2012), Новое применение системы динамических данных в модели Талбота–Огдена для инфильтрации грунтовых вод, Procedia Computer Science , 9, 1073–1080.
6. Точчи, МД, К. Т. Келли и К. Т. Миллер (1997), Точное и экономичное решение уравнения Ричардса в форме напора методом прямых, Adv. Wat. Resour ., 20(1), 1–14.
7. Филипп, Дж. Р. 1957. Теория инфильтрации: 1. Уравнение инфильтрации и его решение, Soil Sci , 83(5), 345–357.
8. Гриффитс, Грэм; Шиссер, Уильям; Хамди, Самир (2007). «Метод линий». Scholarpedia . 2 (7): 2859. Bibcode :2007SchpJ...2.2859H. doi : 10.4249/scholarpedia.2859 .
9. Огден, FL, MB Allen, W.Lai, J. Zhu, CC Douglas, M. Seo и CA Talbot, 2017. Уравнение скорости почвенной влаги, J. Adv. Modeling Earth Syst. https://doi.org/10.1002/2017MS000931
10. Уилсон, Дж. Л. (1974), Дисперсионное смешивание в частично насыщенной пористой среде, докторская диссертация, 355 стр., Кафедра гражданской инженерии, Массачусетский технологический институт, Кембридж, Массачусетс.
11. Moebius, F., D. Canone и D. Or (2012), Характеристики акустической эмиссии, вызванной смещением фронта жидкости в пористых средах, Water Resour. Res. , 48(11), W11507, doi:10.1029/2012WR012525.
12. Грин, У. Х. и Г. А. Ампт (1911), Исследования по физике почвы, 1, Поток воздуха и воды через почвы, J. Agric. Sci. , 4(1), 1–24.
13. Огден, FL, W. Lai, RC Steinke и J. Zhu (2015b), Валидация метода динамики зоны аэрации с конечным содержанием воды с использованием экспериментов в колонках с движущимся уровнем грунтовых вод и приложенным поверхностным потоком, Water Resour. Res. , 10.1002/2014WR016454.
14. Чайлдс, EC и А. Пуловассилис (1962), Профиль влажности над движущимся уровнем грунтовых вод, J. Soil Sci ., 13(2), 271–285.
15. Смит, Р. Э. (1983), Приблизительное движение почвенной воды по кинематическим характеристикам, Soil Sci. Soc. Am. J. , 47(1), 3–8.
16. Брукс, Р. Х. и А. Т. Кори, 1964. Гидравлические свойства пористых сред. Hydrol. Pap. 3, Colo. State Univ., Форт-Коллинз, Колорадо, США.
17. Clapp RB и GM Hornberger, 1978. Эмпирические уравнения для некоторых гидравлических свойств почвы. Water Resour. Res. 14(4):601–604
18. van Genuchten, M. Th. (1980). "Уравнение в закрытой форме для прогнозирования гидравлической проводимости ненасыщенных почв" (PDF). Soil Sci. Soc. Am. J. , 44 (5): 892-898. doi:10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x