В математике метод эквивалентности Картана — это метод в дифференциальной геометрии для определения того, являются ли две геометрические структуры одинаковыми с точностью до диффеоморфизма . Например, если M и N — два римановых многообразия с метриками g и h соответственно, когда существует диффеоморфизм
такой что
Хотя ответ на этот конкретный вопрос был известен в размерности 2 Гауссу , а в более высоких размерностях — Кристоффелю и, возможно , Риману , Эли Картан и его интеллектуальные наследники разработали методику ответа на аналогичные вопросы для радикально отличающихся геометрических структур. (Например, см. алгоритм Картана–Карлхеде .)
Картан успешно применил свой метод эквивалентности ко многим таким структурам, включая проективные структуры, CR-структуры и комплексные структуры , а также, по-видимому, негеометрические структуры, такие как эквивалентность лагранжианов и обыкновенных дифференциальных уравнений . (Его методы позднее были более полно развиты многими другими, такими как Д. К. Спенсер и Шиинг-Шен Черн .)
Метод эквивалентности — это по сути алгоритмическая процедура для определения идентичности двух геометрических структур. Для Картана первичная геометрическая информация была выражена в кофрейме или наборе кофреймов на дифференцируемом многообразии . См. метод движущихся фреймов .
В частности, предположим, что M и N — пара многообразий, каждое из которых несет G-структуру для структурной группы G. Это равносильно заданию специального класса кофреймов на M и N. Метод Картана решает вопрос о том, существует ли локальный диффеоморфизм φ: M → N , при котором G -структура на N возвращается к заданной G -структуре на M. Проблема эквивалентности «решена» , если можно указать полный набор структурных инвариантов для G -структуры: это означает, что такой диффеоморфизм существует тогда и только тогда, когда все структурные инварианты согласуются в подходящим образом определенном смысле.
Явно, локальные системы одноформ θ i и γ i заданы на M и N , соответственно, которые охватывают соответствующие кокасательные расслоения (т.е. являются кофреймами ). Вопрос в том, существует ли локальный диффеоморфизм φ: M → N такой, что пулбэк кофрейма на N удовлетворяет
где коэффициент g является функцией на M, принимающей значения в группе Ли G. Например, если M и N являются римановыми многообразиями, то G = O ( n ) является ортогональной группой, а θ i и γ i являются ортонормированными кофреймами M и N соответственно. Вопрос о том, являются ли два римановых многообразия изометричными, является тогда вопросом о том, существует ли диффеоморфизм φ, удовлетворяющий (1).
Первый шаг в методе Картана — выразить отношение обратного хода (1) как можно более инвариантным способом с помощью « продолжения ». Наиболее экономичный способ сделать это — использовать G -подпучок PM главного пучка линейных кофреймов LM , хотя такой подход может привести к ненужным осложнениям при выполнении реальных вычислений. В частности, далее в этой статье используется другой подход. Но для целей обзора удобно придерживаться точки зрения главного пучка.
Вторым шагом является использование инвариантности диффеоморфизма внешней производной для попытки изолировать любые другие инварианты высшего порядка G -структуры. По сути, получается связность в главном расслоении PM с некоторым кручением. Компоненты связности и кручения рассматриваются как инварианты задачи.
Третий шаг заключается в том, что если оставшиеся коэффициенты кручения не являются постоянными в волокнах главного расслоения PM , то часто возможно (хотя иногда и сложно) нормализовать их, установив их равными удобному постоянному значению и решив эти уравнения нормализации, тем самым уменьшая эффективную размерность группы Ли G. Если это происходит, то возвращаемся к первому шагу, теперь имея для работы группу Ли на одну размерность ниже.
Основной целью первых трех шагов было максимально возможное сокращение самой структурной группы. Предположим, что проблема эквивалентности прошла через цикл достаточное количество раз, так что дальнейшее сокращение невозможно. На этом этапе существуют различные возможные направления, в которых ведет метод эквивалентности. Для большинства проблем эквивалентности существует только четыре случая: полное сокращение, инволюция, продолжение и вырождение.
Полная редукция. Здесь структурная группа полностью редуцировалась к тривиальной группе . Теперь проблема может быть решена такими методами, как теорема Фробениуса . Другими словами, алгоритм успешно завершился.
С другой стороны, возможно, что коэффициенты кручения постоянны на волокнах PM . Эквивалентно, они больше не зависят от группы Ли G, поскольку нормализовать нечего, хотя некоторое кручение все еще может быть. Три оставшихся случая предполагают это.
Инволюция. Проблема эквивалентности называется инволютивной (или находящейся в инволюции ), если она проходит тест Картана. По сути, это условие ранга на связи, полученной на первых трех шагах процедуры. Тест Картана обобщает теорему Фробениуса о разрешимости линейных систем уравнений с частными производными первого порядка. Если кофреймы на M и N (полученные путем тщательного применения первых трех шагов алгоритма) согласуются и удовлетворяют тесту Картана, то две G -структуры эквивалентны. (На самом деле, насколько известно автору, кофреймы должны быть действительно аналитическими , чтобы это выполнялось, поскольку теорема Картана-Келера требует аналитичности.)
Продолжение. Это самый сложный случай. Фактически, есть два подслучая. В первом подслучае все кручение может быть однозначно поглощено в форме связности. (Римановы многообразия являются примером, поскольку связность Леви-Чивиты поглощает все кручение). Коэффициенты связности и их инвариантные производные образуют полный набор инвариантов структуры, и проблема эквивалентности решена. Во втором подслучае, однако, либо невозможно поглотить все кручение, либо есть некоторая неоднозначность (как это часто бывает в гауссовом исключении , например). Здесь, как и в гауссовом исключении, есть дополнительные параметры, которые появляются при попытке поглотить кручение. Эти параметры сами оказываются дополнительными инвариантами задачи, поэтому структурная группа G должна быть продолжена в подгруппу группы струй . После того, как это сделано, получается новый кофрейм на продолженном пространстве и необходимо вернуться к первому шагу метода эквивалентности. (См. также продолжение G-структур.)
Вырожденность. Из-за неравномерности некоторого рангового условия метод эквивалентности не справляется с этой конкретной проблемой эквивалентности. Например, рассмотрим задачу эквивалентности отображения многообразия M с одной одноформой θ на другое многообразие с одной одноформой γ, такое что φ*γ=θ. Нули этих одноформ, а также ранг их внешних производных в каждой точке необходимо учитывать. Метод эквивалентности может решать такие проблемы, если все ранги однородны, но он не всегда подходит, если ранг меняется. Конечно, в зависимости от конкретного приложения, большой объем информации все еще может быть получен с помощью метода эквивалентности.
