Метод Коупленда или Лулля — это система ранжированного голосования, основанная на подсчете попарных побед и поражений каждого кандидата.
В этой системе избиратели ранжируют кандидатов от лучшего к худшему в своем бюллетене. Затем кандидаты соревнуются в круговом турнире , где бюллетени используются для определения того, какой кандидат будет предпочтен большинством избирателей в каждом матче. Кандидатом становится тот, кто выигрывает больше матчей (при равенстве очков выигрывает пол-очка).
Метод Коупленда относится к классу методов Кондорсе , поскольку любой кандидат, который выигрывает все выборы один на один, очевидно, будет иметь наибольшее количество побед в целом. [1] Метод Коупленда имеет то преимущество, что он, вероятно, является самым простым методом Кондорсе для объяснения и его легко администрировать вручную. С другой стороны, если нет победителя по Кондорсе, процедура часто приводит к ничьей. В результате он обычно используется только для выборов с низкими ставками.
Метод Коупленда был разработан Рамоном Луллием в его трактате 1299 года «Ars Electionis», который обсуждался Николаем Кузанским в пятнадцатом веке. [2] Однако его часто называют в честь Артура Герберта Коупленда , который независимо отстаивал его в лекции 1951 года. [3]
Входные данные такие же, как и для других рейтинговых систем голосования: каждый избиратель должен предоставить упорядоченный список предпочтений по кандидатам, где допускаются равные голоса ( строгий слабый порядок ).
Это можно сделать, предоставив каждому избирателю список кандидатов, в котором он должен написать «1» против наиболее предпочтительного кандидата, «2» против второго по предпочтению и т. д. Избиратель, который оставляет рейтинги некоторых кандидатов пустыми, считается безразличным к ним, но предпочитает им всех кандидатов с рейтингом.
Матрица результатов r строится следующим образом: [4] r ij — это
Это можно назвать методом «1/ 1 ⁄ 2 /0» (одно число для побед, ничьих и поражений соответственно).
По соглашению r ii равен 0.
Оценка Коупленда для кандидата i — это сумма по j от r ij . Если есть кандидат с оценкой n − 1 (где n — количество кандидатов), то этот кандидат является (обязательно уникальным) победителем Кондорсе и Коупленда. В противном случае метод Кондорсе не выдает никакого решения, и победителем Коупленда (но он может быть не уникальным) становится кандидат с наибольшей оценкой.
Альтернативный (и эквивалентный) способ построения матрицы результатов — это позволить r ij быть 1, если больше избирателей строго предпочитают кандидата i кандидату j, чем предпочитают j кандидату i , 0, если числа равны, и −1, если больше избирателей предпочитают j кандидату i , чем предпочитают i кандидату j . В этом случае матрица r является антисимметричной .
Метод, первоначально описанный выше, иногда называют методом «1/ 1 ⁄ 2 /0». Сам Луллий предложил метод 1/1/0, так что два кандидата с равной поддержкой оба получат одинаковый кредит, как если бы они победили друг друга. [5]
Связи предпочтений становятся все менее вероятными по мере увеличения числа избирателей.
Метод, родственный методу Коупленда, обычно используется в круговых турнирах . Обычно предполагается, что каждая пара участников играет одинаковое количество игр друг против друга. r ij — это количество раз, когда участник i выигрывал у участника j, плюс половина количества ничьих между ними.
Именно в такой форме она была принята в международных шахматах в середине девятнадцатого века. [6] Она была принята в первом сезоне Английской футбольной лиги (1888–1889), организаторы изначально рассматривали возможность использования системы 1/0/0. Для удобства числа были удвоены, то есть система была записана как 2/1/0, а не как 1/ 1 ⁄ 2 /0.
( Счет Борда также использовался для оценки спортивных турниров. Счет Борда аналогичен турниру, в котором каждый заполненный бюллетень определяет результат игры между каждой парой участников.)
Во многих случаях, решаемых методом Коупленда, победителем оказывается единственный кандидат, удовлетворяющий критерию Кондорсе; в этих случаях аргументы в пользу этого критерия (которые являются весомыми, но не общепринятыми [7] ) в равной степени применимы и к методу Коупленда.
Когда нет победителя Кондорсе, метод Коупленда стремится принять решение естественным расширением метода Кондорсе, объединяя предпочтения простым сложением. Обоснование этого заключается скорее в его простоте, чем в логических аргументах.
Подсчет Борда — еще один метод, который аддитивно объединяет предпочтения. Существенное отличие заключается в том, что предпочтение избирателя одному кандидату перед другим имеет вес в системе Борда, который увеличивается с числом кандидатов, ранжированных между ними. Аргумент с точки зрения подсчета Борда заключается в том, что число промежуточных кандидатов дает представление о силе предпочтения; контраргумент заключается в том, что это зависит в тревожной степени от того, какие кандидаты баллотировались на выборах.
Партха Дасгупта и Эрик Маскин пытались оправдать метод Коупленда в популярном журнале, где они сравнивали его с подсчетом Борда и голосованием по относительному голосованию. [8] Их аргументация основывается на достоинствах критерия Кондорсе, уделяя особое внимание мнениям, лежащим в спектре. Использование метода Коупленда в первом случае, а затем тай-брейка, для определения результатов выборов без победителя по Кондорсе представлено как «возможно, самая простая модификация» метода Кондорсе.
Как и любой метод голосования, метод Коупленда может привести к ничьим результатам, если два кандидата получат равное количество голосов; но в отличие от большинства методов, он также может привести к ничьим по причинам, которые не исчезают по мере увеличения электората. Это может произойти всякий раз, когда в предпочтениях избирателей есть циклы Кондорсе, как показано в следующем примере.
Предположим, что есть четыре кандидата, Эйбл, Бейкер, Чарли и Драммонд, и пять избирателей, из которых двое голосуют за ABCD, двое голосуют за BCDA и один голосует за DABC. Результаты между парами кандидатов показаны в основной части следующей таблицы, а баллы Коупленда для первого кандидата указаны в дополнительной колонке.
Ни один кандидат не удовлетворяет критерию Кондорсе, и между A и B наблюдается ничья по Коупленду. Если бы избирателей было в 100 раз больше, но они голосовали примерно в тех же пропорциях (с учетом колебаний выборки), то количество бюллетеней увеличилось бы, но баллы Коупленда остались бы прежними; например, строка «A» могла бы выглядеть так:
Риск ничьих особенно опасен, поскольку главная цель метода Коупленда — выявить победителя в случаях, когда ни один кандидат не удовлетворяет критерию Кондорсе. Моделирование, проведенное Ричардом Дарлингтоном, показывает, что для полей до 10 кандидатов эта задача будет выполнена менее чем в половине случаев. [9]
В общем, если избиратели голосуют в соответствии с предпочтениями вдоль спектра , теорема о медианном избирателе гарантирует отсутствие циклов Кондорсе. Следовательно, такие циклы могут возникнуть только потому, что предпочтения избирателей не лежат вдоль спектра, или потому, что избиратели не голосуют в соответствии со своими предпочтениями (например, по тактическим причинам).
Николаус Тидеман и Флоренц Плассман провели масштабное исследование заявленных электоральных предпочтений. [10] Они обнаружили значительное количество циклов в подвыборах, но отметили, что их можно было бы отнести полностью или в значительной степени к малому числу избирателей. Они пришли к выводу, что их данные согласуются с предположением, что «циклы голосования будут происходить очень редко, если вообще будут, на выборах с большим количеством избирателей».
Мгновенный сток (IRV) , минимакс и счет Борда являются естественными тай-брейками. Первые два не часто рекомендуются для этого использования, но иногда обсуждаются в связи с методом Смита , где применяются аналогичные соображения.
Дасгупта и Маскин предложили подсчет Борда в качестве тай-брейка Коупленда: это известно как метод Дасгупты-Маскина . [11] Ранее он использовался в фигурном катании под названием «правило OBO» (=один за одним). [5]
Альтернативы можно проиллюстрировать на примере «Эйбл-Бейкер» выше, в котором Эйбл и Бейкер являются общими победителями Copeland. Чарли и Драммонд выбывают, сокращая бюллетени до 3 A-B и 2 B-A. Любой тай-брейк затем выберет Эйбла. [12]
Метод Коупленда обладает многими стандартными желаемыми свойствами (см. таблицу ниже). Самое важное, что он удовлетворяет критерию Кондорсе , то есть если кандидат победит у каждого из своих соперников в голосовании один на один, этот кандидат является победителем. Таким образом, метод Коупленда удовлетворяет теореме медианного избирателя, которая гласит, что если взгляды лежат вдоль спектра, то победившим кандидатом будет тот, которого предпочитает медианный избиратель .
Метод Коупленда также удовлетворяет критерию Смита . [13]
Аналогия между методом Коупленда и спортивными турнирами, а также общая простота метода Коупленда, как утверждается, делают его более приемлемым для избирателей, чем другие алгоритмы Кондорсе. [14]
Предположим, что Теннесси проводит выборы по месту расположения своей столицы . Население сосредоточено вокруг четырех крупных городов. Все избиратели хотят, чтобы столица была как можно ближе к ним. Возможны следующие варианты:
Предпочтения избирателей каждого региона таковы:
Чтобы найти победителя Кондорсе, каждый кандидат должен быть сопоставлен с каждым другим кандидатом в серии воображаемых соревнований один на один. В каждой паре каждый избиратель выберет город, физически ближайший к его местоположению. В каждой паре победителем становится кандидат, которого предпочитает большинство избирателей. Когда результаты для каждой возможной пары найдены, они следующие:
Сумма побед и поражений каждого кандидата выглядит следующим образом:
Нэшвилл , не имеющий поражений, является победителем Кондорсе. Оценка Коупленда по методу 1/0/−1 — это количество чистых побед, максимизированных Нэшвиллом. Поскольку избиратели выразили предпочтение тем или иным образом между каждой парой кандидатов, оценка по методу 1/ +1/2 /0 метод — это просто количество побед, также максимизированное Нэшвиллом. Матрица r для этой системы подсчета очков показана в последнем столбце.
На выборах, в которых за одно место боролись пять кандидатов, были поданы следующие голоса с использованием метода рейтингового голосования (100 голосов в четырех различных наборах):
В этом примере есть несколько равных голосов: например, 10% избирателей не присвоили ни одной позиции кандидатам B или C в своих рейтингах; поэтому считается, что они поставили этих кандидатов на одну позицию ниже кандидатов D, A и E.
Результаты 10 возможных попарных сравнений между кандидатами следующие:
Сумма побед и поражений каждого кандидата выглядит следующим образом:
Победителя по Кондорсе (кандидата, который побеждает всех остальных кандидатов в парных сравнениях) не существует. Кандидат А — победитель по Коупленду. Опять же, нет пары кандидатов, между которыми избиратели не выразили бы никаких предпочтений.
Поскольку метод Коупленда производит полное упорядочение кандидатов по баллам и прост в вычислении, он часто полезен для создания отсортированного списка кандидатов в сочетании с другим методом голосования, который не производит полное упорядочение. Например, методы Шульце и ранжированных пар производят транзитивное частичное упорядочение кандидатов, которое обычно производит одного победителя, но не уникальный способ табулирования финалистов. Применение метода Коупленда в соответствии с частичным упорядочением соответствующего метода даст полное упорядочение (топологическое упорядочение), гарантированно совместимое с частичным порядком метода, и проще, чем поиск в глубину, когда частичный порядок задается матрицей смежности .
В более общем смысле показатель Коупленда обладает полезным свойством: если существует подмножество кандидатов S, такое, что каждый кандидат из S превзойдет каждого кандидата не из S, то существует порог θ, такой что каждый кандидат с показателем Коупленда выше θ входит в S, а каждый кандидат с показателем Коупленда ниже θ не входит в S. Это делает показатель Коупленда практичным для поиска различных подмножеств кандидатов, которые могут представлять интерес, таких как набор Смита или доминирующий взаимный третий набор.