stringtranslate.com

Метод аналитического элемента

Метод аналитических элементов ( AEM ) — это численный метод, используемый для решения уравнений с частными производными . [1] [2] [3] Первоначально он был разработан О. Д. Л. Штраком в Университете Миннесоты . По своей природе он похож на метод граничных элементов (BEM), поскольку не опирается на дискретизацию объемов или областей в моделируемой системе; дискретизируются только внутренние и внешние границы. Одним из основных различий между AEM и BEM является то, что граничные интегралы вычисляются аналитически. Хотя изначально AEM был разработан для моделирования потока грунтовых вод, [4] впоследствии он был применен в других областях исследований, включая исследования теплового потока и проводимости, периодических волн и деформации под действием силы. [5]

Поток вокруг непроницаемых цилиндров. Решено с помощью AEM с использованием 20 коэффициентов в рядах расширений.

Математическая основа

Основная предпосылка метода аналитических элементов заключается в том, что для линейных дифференциальных уравнений элементарные решения могут быть наложены друг на друга для получения более сложных решений. Набор двумерных и трехмерных аналитических решений («элементов») доступен для различных основных уравнений. Эти элементы обычно соответствуют разрыву в зависимой переменной или ее градиенту вдоль геометрической границы (например, точки, линии, эллипса, окружности, сферы и т. д.). Этот разрыв имеет определенную функциональную форму (обычно полином в двумерном пространстве) и может быть изменен для удовлетворения граничных условий Дирихле, Неймана или Робина (смешанных). Каждое аналитическое решение бесконечно в пространстве и/или времени.

Обычно каждое аналитическое решение содержит степени свободы (коэффициенты), которые могут быть рассчитаны для удовлетворения заданным граничным условиям вдоль границы элемента. Чтобы получить глобальное решение (т. е. правильные коэффициенты элемента), система уравнений решается таким образом, чтобы граничные условия удовлетворялись вдоль всех элементов (используя коллокацию , минимизацию наименьших квадратов или аналогичный подход). Примечательно, что глобальное решение обеспечивает пространственно непрерывное описание зависимой переменной всюду в бесконечной области, а управляющее уравнение удовлетворяется везде точно, за исключением вдоль границы элемента, где управляющее уравнение не является строго применимым из-за разрыва.

Возможность наложения многочисленных элементов в одном решении означает, что аналитические решения могут быть реализованы для произвольно сложных граничных условий. То есть, могут быть решены модели, имеющие сложную геометрию, прямые или изогнутые границы, множественные границы, переходные граничные условия, множественные водоносные слои, кусочно-изменяющиеся свойства и непрерывно изменяющиеся свойства. Элементы могут быть реализованы с использованием расширений дальнего поля, так что модели, содержащие многие тысячи элементов, могут быть эффективно решены с высокой точностью.

Метод аналитических элементов применялся к проблемам потока грунтовых вод , управляемым различными линейными уравнениями с частными производными, включая уравнение Лапласа , уравнение Пуассона , модифицированное уравнение Гельмгольца, [6] уравнение теплопроводности и бигармонические уравнения. Часто эти уравнения решаются с использованием комплексных переменных, что позволяет использовать математические методы, доступные в теории комплексных переменных. Полезным методом решения сложных задач является использование конформного отображения , которое отображает границу геометрии, например эллипса, на границу единичной окружности , где решение известно.

В методе аналитического элемента используются потенциал разряда и функция потока или объединенный комплексный потенциал. Этот потенциал связывает физические свойства системы грунтовых вод, гидравлический напор или границы потока с математическим представлением потенциала. Это математическое представление может использоваться для расчета потенциала в терминах положения и, таким образом, также решать проблемы потока грунтовых вод. Элементы разрабатываются путем решения граничных условий для любого из этих двух свойств, гидравлического напора или границы потока, что приводит к аналитическим решениям, способным иметь дело с многочисленными граничными условиями.

Сравнение с другими методами

Как уже упоминалось, метод аналитического элемента не полагается на дискретизацию объема или площади в модели, как в методах конечных элементов или конечных различных методах. Таким образом, он может моделировать сложные проблемы с ошибкой порядка точности машины. Это проиллюстрировано в исследовании, в котором моделировался высоконеоднородный изотропный водоносный горизонт путем включения 100 000 сферических неоднородностей со случайной проводимостью и отслеживания 40 000 частиц. [7] Метод аналитического элемента может эффективно использоваться в качестве проверки или в качестве инструмента скрининга в более крупных проектах, поскольку он может быстро и точно рассчитать поток грунтовых вод для многих сложных задач. [8] [9]

В отличие от других широко используемых методов моделирования грунтовых вод, например, метода конечных элементов или метода конечных различий , AEM не разделяет модельную область на ячейки. Это дает преимущество в том, что модель действительна для любой заданной точки в модельной области. Однако это также налагает, что область не так легко разделить на области, например, с различной гидравлической проводимостью, как при моделировании с помощью сетки ячеек; однако одним из решений этой проблемы является включение поддоменов в модель AEM. [10] Существуют также решения для реализации вертикально изменяющихся свойств или структур в водоносном горизонте в модели AEM. [11] [12] [13]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Strack, Otto DL, 1943- (1989). Механика грунтовых вод . Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-365412-5. OCLC  16276592.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
  2. ^ Штрак, Отто ДЛ (август 2017 г.). Аналитическая механика грунтовых вод. doi : 10.1017/9781316563144. ISBN 9781316563144. Получено 2020-04-20 . {{cite book}}: |website=проигнорировано ( помощь )
  3. ^ Хайтджема, ХМ (Хенк М.) (1995). Аналитическое элементное моделирование потока грунтовых вод . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 978-0-08-049910-9. OCLC  162129095.
  4. ^ Хайтджема, Х. М. (1995), «Моделирование аналитических элементов», Аналитическое элементное моделирование потока грунтовых вод , Elsevier, стр. 203–305, doi : 10.1016/b978-012316550-3/50005-2, ISBN 978-0-12-316550-3, получено 2023-09-11
  5. ^ Стюард, Дэвид Р. (17.09.2020). Метод аналитического элемента. Oxford University PressOxford. doi :10.1093/oso/9780198856788.001.0001. ISBN 978-0-19-885678-8.
  6. ^ Strack, ODL; Namazi, T (октябрь 2014 г.). «Новая формулировка для устойчивого потока в нескольких водоносных слоях: аналитический элемент для кусочно-постоянной инфильтрации». Water Resources Research . 50 (10): 7939–7956. doi :10.1002/2014WR015479.
  7. ^ Янкович, И.; Фиори, А.; Даган, Г. (2006). «Моделирование потока и переноса в высоконеоднородных трехмерных водоносных горизонтах: эргодичность, гауссовость и аномальное поведение — 1. Концептуальные вопросы и численное моделирование». Water Resources Research . 42 (6): W06D12. Bibcode : 2006WRR....42.6D12J. doi : 10.1029/2005WR004734 . ISSN  1944-7973.
  8. ^ Хант, Рэндалл Дж. (2006). «Применение моделирования грунтовых вод с использованием метода аналитических элементов». Грунтовые воды . 44 (1): 5–15. doi : 10.1111/j.1745-6584.2005.00143.x . ISSN  1745-6584. PMID  16405461. S2CID  24530553.
  9. ^ Крамер, Стивен Р. (2007). «Моделирование подземных вод на основе аналитических элементов как исследовательская программа (1980–2006)». Groundwater . 45 (4): 402–408. doi :10.1111/j.1745-6584.2007.00314.x. ISSN  1745-6584. PMID  17600570. S2CID  26319150.
  10. ^ Фиттс, CR (2010). «Моделирование систем водоносных горизонтов с аналитическими элементами и поддоменами: МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОДОНОСНЫХ ГОРИЗОНТОВ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПОДДОМЕНАМИ». Water Resources Research . 46 (7). doi :10.1029/2009WR008331.
  11. ^ Баккер, Марк; Штрак, Отто DL (2003-02-10). «Аналитические элементы для потока в нескольких водоносных слоях». Журнал гидрологии . 271 (1): 119–129. Bibcode : 2003JHyd..271..119B. doi : 10.1016/S0022-1694(02)00319-0. ISSN  0022-1694.
  12. ^ Strack, ODL; Ausk, BK (август 2015 г.). «Формулировка вертикально интегрированного потока грунтовых вод в стратифицированном прибрежном водоносном горизонте: СТРАТИФИЦИРОВАННЫЙ ПОТОК ПРИБРЕЖНОГО ВОДОНОСНОГО ГОРИЗОНТА». Water Resources Research . 51 (8): 6756–6775. doi : 10.1002/2015WR016887 .
  13. ^ Толлер, Эрик АЛ; Штрак, Отто DL (2019). «Интерфейсный поток с вертикально изменяющейся гидравлической проводимостью». Water Resources Research . 55 (11): 8514–8525. Bibcode : 2019WRR....55.8514T. doi : 10.1029/2019WR024927. ISSN  1944-7973. S2CID  202924261.

Читать далее

Внешние ссылки