Методы без сетки

Методы численного анализа, не требующие знания соседних точек

20 точек и их ячейки Вороного

В области численного анализа , методы без сеток — это те, которые не требуют соединения между узлами области моделирования, т. е. сетки , а скорее основаны на взаимодействии каждого узла со всеми его соседями. Как следствие, исходные обширные свойства, такие как масса или кинетическая энергия, больше не назначаются элементам сетки, а назначаются отдельным узлам. Методы без сеток позволяют моделировать некоторые сложные типы задач за счет дополнительного времени вычислений и усилий по программированию. Отсутствие сетки позволяет проводить лагранжевы моделирования, в которых узлы могут двигаться в соответствии с полем скорости .

Мотивация

Численные методы, такие как метод конечных разностей , метод конечных объемов и метод конечных элементов , изначально были определены на сетках точек данных. В такой сетке каждая точка имеет фиксированное число предопределенных соседей, и эта связь между соседями может использоваться для определения математических операторов, таких как производная . Затем эти операторы используются для построения уравнений для моделирования, таких как уравнения Эйлера или уравнения Навье–Стокса .

Но в симуляциях, где имитируемый материал может перемещаться (как в вычислительной гидродинамике ) или где могут происходить большие деформации материала (как в симуляциях пластичных материалов ), связность сетки может быть трудно поддерживать без внесения ошибок в симуляцию. Если сетка становится запутанной или вырожденной во время симуляции, операторы, определенные на ней, могут больше не давать правильных значений. Сетка может быть воссоздана во время симуляции (процесс, называемый пересозданием сетки), но это также может привести к ошибке, поскольку все существующие точки данных должны быть отображены на новый и другой набор точек данных. Методы Meshfree предназначены для устранения этих проблем. Методы Meshfree также полезны для:

• Моделирование, в котором создание полезной сетки из геометрии сложного трехмерного объекта может быть особенно сложным или требовать участия человека.
• Моделирование, в котором узлы могут создаваться или уничтожаться, например, моделирование взлома.
• Моделирование, в котором геометрия проблемы может выйти за пределы фиксированной сетки, например, при моделировании изгиба.
• Моделирование, содержащее нелинейное поведение материала, разрывы или сингулярности

Пример

В традиционном моделировании методом конечных разностей областью одномерного моделирования будет некоторая функция , представленная в виде сетки значений данных в точках , где ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle u_{i}^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle i=0,1,2...}$

${\displaystyle n=0,1,2...}$

${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h\ \forall i}$

${\displaystyle t_{n+1}-t_{n}=k\ \forall n}$

Мы можем определить производные, которые встречаются в моделируемом уравнении, используя некоторые формулы конечных разностей в этой области, например:

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n} \over 2h}}$

и

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}={u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n} \over k}}$

Затем мы можем использовать эти определения и его пространственные и временные производные, чтобы записать моделируемое уравнение в форме конечных разностей, а затем моделировать уравнение одним из многих методов конечных разностей . ${\displaystyle u(x,t)}$

В этом простом примере шаги (здесь пространственный шаг и временной шаг ) постоянны вдоль всей сетки, а левые и правые соседи сетки значения данных в являются значениями в и , соответственно. Обычно в конечных разностях можно очень просто разрешить переменные шаги вдоль сетки, но все исходные узлы должны быть сохранены, и они могут двигаться независимо, только деформируя исходные элементы. Если хотя бы два из всех узлов изменят свой порядок или даже только один узел будет добавлен или удален из моделирования, это создаст дефект в исходной сетке, и простое конечно-разностное приближение больше не может быть выполнено. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i+1}}$

Гидродинамика сглаженных частиц (SPH), один из старейших методов без сеток, решает эту проблему, рассматривая точки данных как физические частицы с массой и плотностью, которые могут перемещаться с течением времени и нести с собой некоторое значение. Затем SPH определяет значение между частицами с помощью ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle u(x,t_{n})=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}W(|x-x_{i}|)}$

где — масса частицы , — плотность частицы , а — функция ядра, которая работает с близлежащими точками данных и выбирается для гладкости и других полезных качеств. По линейности мы можем записать пространственную производную как ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}{\partial W(|x-x_{i}|) \over \partial x}}$

Затем мы можем использовать эти определения и его пространственные производные, чтобы записать моделируемое уравнение как обыкновенное дифференциальное уравнение и моделировать уравнение одним из многих численных методов . В физических терминах это означает вычисление сил между частицами, а затем интегрирование этих сил по времени для определения их движения. ${\displaystyle u(x,t)}$

Преимущество SPH в этой ситуации заключается в том, что формулы для и ее производных не зависят от какой-либо информации о смежности частиц; они могут использовать частицы в любом порядке, поэтому не имеет значения, перемещаются ли частицы или даже меняются ли они местами. ${\displaystyle u(x,t)}$

Одним из недостатков SPH является то, что он требует дополнительного программирования для определения ближайших соседей частицы. Поскольку функция ядра возвращает ненулевые результаты только для близлежащих частиц в пределах двойной «длины сглаживания» (потому что мы обычно выбираем функции ядра с компактной поддержкой ), было бы пустой тратой усилий вычислять суммы выше для каждой частицы в большой симуляции. Поэтому обычно симуляторы SPH требуют некоторого дополнительного кода для ускорения этого вычисления ближайшего соседа. ${\displaystyle W}$

История

Одним из самых ранних методов без сеток является метод сглаженной гидродинамики частиц , представленный в 1977 году. ^[1] Либерски и др. ^[2] были первыми, кто применил SPH в механике твердого тела. Главными недостатками SPH являются неточные результаты вблизи границ и нестабильность натяжения, впервые исследованная Свеглом. ^[3]

В 1990-х годах появился новый класс методов без сеток, основанный на методе Галеркина . Этот первый метод, названный методом диффузных элементов ^[4] (DEM), впервые предложенный Найролесом и др., использовал приближение MLS в решении Галеркина уравнений с частными производными с приближенными производными функции MLS. После этого Белишко стал пионером метода Галеркина без элементов (EFG) ^[5] , который использовал MLS с множителями Лагранжа для обеспечения граничных условий, более высокий порядок числовой квадратуры в слабой форме и полные производные приближения MLS, что давало лучшую точность. Примерно в то же время появился метод воспроизводящих частиц ядра ^[6] (RKPM), приближение было мотивировано отчасти для исправления оценки ядра в SPH: для обеспечения точности вблизи границ, в неоднородных дискретизациях и более высокого порядка точности в целом. Примечательно, что в параллельной разработке примерно в то же время были разработаны методы материальной точки ^[7] , которые предлагают схожие возможности. Методы материальных точек широко используются в киноиндустрии для моделирования механики твердого тела с большими деформациями, например, снега в фильме «Холодное сердце» . ^[8] Метод RKPM и другие бессеточные методы были широко разработаны Ченом, Лю и Ли в конце 1990-х годов для различных приложений и различных классов задач. ^[9] В течение 1990-х годов и в последующие годы было разработано несколько других разновидностей, включая перечисленные ниже.

Список методов и сокращений

Следующие численные методы обычно считаются относящимися к общему классу методов «без сетки». Сокращения указаны в скобках.

• Гидродинамика сглаженных частиц (SPH) (1977)
• Метод диффузных элементов (DEM) (1992)
• Диссипативная динамика частиц (ДДЧ) (1992)
• Метод Галеркина без элементов (EFG/EFGM) (1994)
• Метод воспроизводящих ядерных частиц (RKPM) (1995)
• Метод конечных точек (FPM) (1996)
• Метод конечных точек (FPM) (1998)
• hp-облака
• Метод естественных элементов (МНЭ)
• Метод материальной точки (MPM)
• Бессетчатый локальный Петров Галеркин (MLPG) (1998) ^[10]
• Формулировка без сетки обобщенной деформации (GSMF) (2016) ^[11]
• Движущиеся частицы полунеявные (MPS)
• Обобщенный метод конечных разностей (GFDM) ^{[12] [13]}
• Частица в ячейке (PIC)
• Метод конечных элементов с движущимися частицами (MPFEM)
• Метод конечных облаков (FCM)
• Метод граничных узлов (BNM)
• Метод интерполяции Кригинга без сетки (MK)
• Метод граничного облака (BCM)
• Метод фундаментальных решений (МФР)
• Метод частного решения (МЧР)
• Метод конечных сфер (МКС)
• Метод дискретных вихрей (DVM)
• Метод воспроизводимых ядерных частиц (RKPM) (1995) ^[14]
• Обобщенный/градиентно воспроизводящий метод ядерных частиц (2011) ^[15]
• Метод конечных масс (FMM) (2000) ^[16]
• Метод сглаженной точечной интерполяции (S-PIM) (2005). ^[17]
• Метод локальной радиальной точечной интерполяции без сетки (RPIM). ^[17]
• Метод коллокации локальной радиальной базисной функции (LRBFCM) ^[18]
• Метод вязких вихревых доменов (ВВД)
• Метод растрескивания частиц (CPM) (2004)
• Дискретный метод наименьших квадратов без сетки (DLSM) (2006)
• Метод погруженных частиц (IPM) (2006)
• Метод оптимальной транспортировки без сеток (OTM) (2010) ^[19]
• Метод повторной замены (МПЗ) (2012) ^[20]
• Метод радиально-базисного интегрального уравнения ^[21]
• Метод наименьших квадратов коллокации без сетки (2001) ^[22]
• Метод экспоненциальных базисных функций (EBFs) (2010) ^[23]

Связанные методы:

• Метод наименьших квадратов (MLS) – обеспечивает общий метод аппроксимации для произвольного набора узлов.
• Методы разбиения единицы (PoUM) – обеспечивают общую формулировку приближения, используемую в некоторых бессеточных методах.
• Метод непрерывного смешивания (обогащение и соединение конечных элементов и бессеточных методов) – см. Huerta & Fernández-Méndez (2000)
• eXtended FEM , Generalized FEM (XFEM, GFEM) – варианты FEM (метода конечных элементов), объединяющие некоторые аспекты без сетки
• Сглаженный метод конечных элементов (S-FEM) (2007)
• Метод сглаживания градиента (GSM) (2008)
• Генерация передового узла (AFN) ^[24]
• Локальный максимум энтропии (LME) – см. Arroyo & Ortiz (2006)
• Метод пространственно-временной коллокации без сеток (STMCM) – см. Нетужилов (2008), Нетужилов и Зилиан (2009)
• Интерфейс без сетки - Метод конечных элементов (MIFEM) (2015) - гибридный метод конечных элементов - без сетки для численного моделирования задач фазового превращения и многофазного течения ^[25]

Недавнее развитие

Основными областями развития методов без сеток являются решение проблем с обязательным соблюдением границ, численной квадратурой, контактом и большими деформациями. ^[26] Общая слабая форма требует обязательного соблюдения основных граничных условий, однако в методах без сеток в целом отсутствует свойство дельта Кронекера . Это делает обязательное соблюдение основных граничных условий нетривиальным, по крайней мере, более сложным, чем метод конечных элементов , где они могут быть наложены напрямую. Были разработаны методы для преодоления этой трудности и наложения условий сильно. Было разработано несколько методов для слабого наложения основных граничных условий , включая множители Лагранжа , метод Ниче и метод штрафа.

Что касается квадратуры , то обычно предпочтительнее узловая интеграция, которая обеспечивает простоту, эффективность и сохраняет метод без сеток свободным от какой-либо сетки (в отличие от использования квадратуры Гаусса , которая требует сетки для генерации квадратурных точек и весов). Однако узловая интеграция страдает от численной нестабильности из-за недооценки энергии деформации, связанной с коротковолновыми модами, ^[27] , а также дает неточные и не сходящиеся результаты из-за недоинтеграции слабой формы. ^[28] Одним из основных достижений в численной интеграции стала разработка стабилизированной согласованной узловой интеграции (SCNI), которая обеспечивает метод узловой интеграции, который не страдает ни от одной из этих проблем. ^[28] Метод основан на сглаживании деформации, которое удовлетворяет тесту на патч первого порядка . Однако позже было обнаружено, что низкоэнергетические моды все еще присутствуют в SCNI, и были разработаны дополнительные методы стабилизации. Этот метод был применен к различным проблемам, включая тонкие и толстые пластины, поромеханику, проблемы с преобладанием конвекции и другие. ^[26] Совсем недавно была разработана структура для прохождения патч-тестов произвольного порядка, основанная на методе Петрова-Галеркина . ^[29]

Одно из последних достижений в бессеточных методах направлено на разработку вычислительных инструментов для автоматизации моделирования и симуляций. Это стало возможным благодаря так называемой ослабленной слабой формулировке (W2), основанной на теории G-пространства. ^{[30] [31]} Формулировка W2 предлагает возможности формулировать различные (единообразно) «мягкие» модели, которые хорошо работают с треугольными сетками. Поскольку треугольная сетка может быть сгенерирована автоматически, ее становится намного проще перестраивать, и, следовательно, обеспечивается автоматизация моделирования и симуляции. Кроме того, модели W2 можно сделать достаточно мягкими (единообразным образом) для получения решений с верхней границей (для задач с движущей силой). Вместе с жесткими моделями (такими как полностью совместимые модели FEM) можно удобно ограничить решение с обеих сторон. Это позволяет легко оценивать погрешность для сложных задач, если может быть сгенерирована треугольная сетка. Типичные модели W2 — это методы сглаженной точечной интерполяции (или S-PIM). ^[17] S-PIM может быть основан на узлах (известный как NS-PIM или LC-PIM), ^[32] на ребрах (ES-PIM), ^[33] и на ячейках (CS-PIM). ^[34] NS-PIM был разработан с использованием так называемой техники SCNI. ^[28] Затем было обнаружено, что NS-PIM способен производить верхние граничные решения и свободные от объемной блокировки. ^[35] ES-PIM оказался более точным, а CS-PIM ведет себя как нечто среднее между NS-PIM и ES-PIM. Более того, формулировки W2 позволяют использовать полиномиальные и радиальные базисные функции при создании функций формы (она учитывает разрывные функции смещения, пока находится в пространстве G1), что открывает дополнительные возможности для будущих разработок. Формулировка W2 также привела к разработке комбинации бессеточных методов с хорошо развитыми методами FEM, и теперь можно использовать треугольную сетку с превосходной точностью и желаемой мягкостью. Типичной такой формулировкой является так называемый метод сглаженных конечных элементов (или S-FEM). ^[36] S-FEM является линейной версией S-PIM, но с большинством свойств S-PIM и гораздо проще.

Общее мнение таково, что методы без сеток намного дороже аналогов FEM. Однако недавнее исследование показало, что некоторые методы без сеток, такие как S-PIM и S-FEM, могут быть намного быстрее аналогов FEM. ^{[17] [36]}

S-PIM и S-FEM хорошо подходят для задач механики твердого тела. Для задач CFD формулировка может быть проще с помощью сильной формулировки. Методы сглаживания градиента (GSM) также были недавно разработаны для задач CFD, реализуя идею сглаживания градиента в сильной форме. ^{[37] [38]} GSM похож на [FVM], но использует операции сглаживания градиента исключительно вложенными способами и является общим численным методом для уравнений в частных производных.

Узловая интеграция была предложена как метод использования конечных элементов для имитации поведения без сетки. ^{[ требуется ссылка ]} Однако препятствие, которое необходимо преодолеть при использовании узлово-интегрированных элементов, заключается в том, что величины в узловых точках не являются непрерывными, а узлы являются общими для нескольких элементов.

Смотрите также

• Механика сплошной среды
• Сглаженный метод конечных элементов ^[36]
• G пространство ^[39]
• Ослабленная слабая форма ^{[30] [31]}
• Метод граничных элементов
• Метод погруженной границы
• Код трафарета
• Метод частиц

Ссылки

1. Gingold, RA; Monaghan, JJ (1 декабря 1977 г.). «Гидродинамика сглаженных частиц: теория и применение к несферическим звездам». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 181 (3): 375–389. Bibcode : 1977MNRAS.181..375G. doi : 10.1093/mnras/181.3.375 .
2. Либерски, Ларри Д.; Петчек, Альберт Г.; Карни, Теодор К.; Хипп, Джим Р.; Аллахдади, Фируз А. (ноябрь 1993 г.). «High Strain Lagrangian Hydrodynamics». Журнал вычислительной физики . 109 (1): 67–75. doi :10.1006/jcph.1993.1199.
3. Swegle, JW; Hicks, DL; Attaway, SW (январь 1995). "Анализ устойчивости сглаженной гидродинамики частиц". Журнал вычислительной физики . 116 (1): 123–134. Bibcode :1995JCoPh.116..123S. doi :10.1006/jcph.1995.1010.
4. Nayroles, B.; Touzot, G.; Villon, P. (1992). «Обобщение метода конечных элементов: диффузное приближение и диффузные элементы». Computational Mechanics . 10 (5): 307–318. Bibcode : 1992CompM..10..307N. doi : 10.1007/BF00364252. S2CID  121511161.
5. Belytschko, T.; Lu, YY; Gu, L. (30 января 1994 г.). «Элементно-свободные методы Галеркина». Международный журнал численных методов в инженерии . 37 (2): 229–256. Bibcode : 1994IJNME..37..229B. doi : 10.1002/nme.1620370205.
6. Лю, Винг Кам; Цзюнь, Сукки; Чжан, И Фэй (30 апреля 1995 г.). «Воспроизведение методов частиц ядра». Международный журнал численных методов в жидкостях . 20 (8–9): 1081–1106. Bibcode : 1995IJNMF..20.1081L. doi : 10.1002/fld.1650200824.
7. Sulsky, D.; Chen, Z.; Schreyer, HL (сентябрь 1994 г.). «Метод частиц для материалов, зависящих от истории». Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 118 (1–2): 179–196. doi :10.1016/0045-7825(94)90112-0.
8. https://www.math.ucla.edu/~jteran/papers/SSCTS13.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
9. Liu, WK; Chen, Y.; Jun, S.; Chen, JS; Belytschko, T.; Pan, C.; Uras, RA; Chang, CT (март 1996 г.). «Обзор и применение методов воспроизводства ядерных частиц». Архивы вычислительных методов в машиностроении . 3 (1): 3–80. doi :10.1007/BF02736130. S2CID  122241092.
10. Атлури, СН; Чжу, Т. (24 августа 1998 г.). «Новый бессеточный локальный подход Петрова-Галеркина (MLPG) в вычислительной механике». Computational Mechanics . 22 (2): 117–127. Bibcode :1998CompM..22..117A. doi :10.1007/s004660050346. S2CID  3688083.
11. Оливейра, Т.; Портела, А. (декабрь 2016 г.). «Слабое коллокационное уравнение – локальный бессеточный метод в линейной упругости». Инженерный анализ с граничными элементами . 73 : 144–160. doi :10.1016/j.enganabound.2016.09.010.
12. Чэнь, Шан-Ин; Сюй, Куо-Чин; Фань, Чиа-Мин (15 марта 2021 г.). «Улучшение обобщенного метода конечных разностей для моделирования стохастических подповерхностных потоков». Журнал вычислительной физики . 429 : 110002. Bibcode : 2021JCoPh.42910002C. doi : 10.1016/J.JCP.2020.110002. S2CID  228828681.
13. Чэнь, Шан-Ин; Вэй, Цзянь-Ю; Сюй, Куо-Чин (2023-10-01). «Усвоение данных для моделирования подземного потока в реальном времени с динамически адаптивными бессеточными настройками узлов». Engineering with Computers . 40 (3): 1893–1925. doi :10.1007/s00366-023-01897-6. ​​ISSN  1435-5663.
14. WK Liu; S. Jun; YF Zhang (1995). «Воспроизведение методов частиц ядра». Int. J. Numer. Methods Eng . 20 (8–9): 1081–1106. Bibcode : 1995IJNMF..20.1081L. doi : 10.1002/fld.1650200824.
15. A. Behzadan; HM Shodja; M. Khezri (2011). «Единый подход к математическому анализу обобщенного RKPM, градиентного RKPM и GMLS». Comput. Methods. Appl. Mech. Eng . 200 (5–8): 540–576. Bibcode :2011CMAME.200..540B. doi :10.1016/j.cma.2010.07.017.
16. Гаугер, Кристоф; Лейнен, Питер; Изерентант, Гарри (январь 2000 г.). «Метод конечной массы». Журнал SIAM по численному анализу . 37 (6): 1768–1799. doi :10.1137/S0036142999352564.
17. Лю, GR 2-е изд.: 2009 Методы без сетки , CRC Press. 978-1-4200-8209-9
18. Сарлер Б., Вертник Р. Meshfree
19. Ли, Б.; Хаббал, Ф.; Ортис, М. (17 сентября 2010 г.). «Оптимальные схемы безсеточного приближения транспортировки для потоков жидкости и пластичности». Международный журнал численных методов в инженерии . 83 (12): 1541–1579. Bibcode :2010IJNME..83.1541L. doi :10.1002/nme.2869. S2CID  18225521.
20. Уокер, Уэйд А.; Ланговски, Йорг (6 июля 2012 г.). «Метод повторной замены: чистый лагранжев метод без сеток для вычислительной гидродинамики». PLOS ONE . ​​7 (7): e39999. Bibcode :2012PLoSO...739999W. doi : 10.1371/journal.pone.0039999 . PMC 3391243 . PMID  22866175. 
21. Ooi, EH; Popov, V. (май 2012). «Эффективная реализация метода радиально-базисного интегрального уравнения». Инженерный анализ с граничными элементами . 36 (5): 716–726. doi :10.1016/j.enganabound.2011.12.001. S2CID  122004658.
22. Чжан, Сюн; Лю, Сяо-Ху; Сун, Кан-Зу; Лу, Мин-Ван (30 июля 2001 г.). «Метод наименьших квадратов коллокации без сетки». Международный журнал численных методов в инженерии . 51 (9): 1089–1100. Bibcode :2001IJNME..51.1089Z. doi :10.1002/nme.200. S2CID  119952479.
23. Бороманд, Б.; Сограти, С.; Мовахедиан, Б. (2009). «Экспоненциальные базисные функции в решении статических и гармонических по времени упругих задач в стиле без сетки». Международный журнал численных методов в инженерии . 81 (8): 971–1018. doi :10.1002/nme.2718. S2CID  4943418.
24. Чен, С.-Й.; Хсу, К.-Ч. (2024). «Эффективный подход к размещению узлов без сетки в трехмерном моделировании подземного потока». Инженерный анализ с граничными элементами . 169(A): 105997. doi :10.1016/j.enganabound.2024.105997.
25. Гонейм, А. (март 2015 г.). «Метод конечного элемента интерфейса без сетки для моделирования изотермического плавления и затвердевания растворов в бинарных системах». Конечные элементы в анализе и проектировании . 95 : 20–41. doi :10.1016/j.finel.2014.10.002.
26. Chen, Jiun-Shyan ; Hillman, Michael; Chi, Sheng-Wei (апрель 2017 г.). «Методы без сеток: прогресс, достигнутый за 20 лет». Журнал инженерной механики . 143 (4): 04017001. doi :10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0001176.
27. Белычко, Тед; Го, Юн; Кам Лю, Винг; Пин Сяо, Шао (30 июля 2000 г.). «Унифицированный анализ устойчивости методов бессеточных частиц». Международный журнал численных методов в машиностроении . 48 (9): 1359–1400. Bibcode : 2000IJNME..48.1359B. doi : 10.1002/1097-0207(20000730)48:9<1359::AID-NME829>3.0.CO;2-U.
28. Chen, Jiun-Shyan ; Wu, Cheng-Tang; Yoon, Sangpil; You, Yang (20 января 2001 г.). "Стабилизированная согласованная узловая интеграция для методов Галеркина без сетки". International Journal for Numerical Methods in Engineering . 50 (2): 435–466. Bibcode :2001IJNME..50..435C. doi :10.1002/1097-0207(20010120)50:2<435::AID-NME32>3.0.CO;2-A.
29. Чен, Цзюнь-Шян ; Хиллман, Майкл; Рютер, Маркус (3 августа 2013 г.). «Вариационно согласованное интегрирование произвольного порядка для методов Галеркина без сеток». Международный журнал численных методов в инженерии . 95 (5): 387–418. Bibcode : 2013IJNME..95..387C. doi : 10.1002/nme.4512. S2CID  124640562.
30. Liu, GR (2009). «Теория пространства AG и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: Часть I теории». Международный журнал численных методов в инженерии . 81 (9): 1093–1126. doi :10.1002/nme.2719. S2CID  123009384.
31. Liu, GR (2009). «Теория пространства AG и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: Часть II приложения к проблемам механики твердого тела». Международный журнал численных методов в инженерии . 81 (9): 1127–1156. doi :10.1002/nme.2720. S2CID  119378545.
32. Лю GR, Чжан GY, Дай KY, Ван YY, Чжун ZH, Ли GY и Хан X, Линейно согласованный метод точечной интерполяции (LC-PIM) для двумерных задач механики твердого тела, Международный журнал вычислительных методов , 2(4): 645–665, 2005.
33. GR Liu, GR Zhang. Методы интерполяции сглаженных точек на основе краёв. Международный журнал вычислительных методов, 5(4): 621–646, 2008
34. Лю, GR; Чжан, GY (20 ноября 2011 г.). «Нормированное пространство G и ослабленная слабая (W2) формулировка метода интерполяции сглаженных точек на основе ячеек». Международный журнал вычислительных методов . 06 (1): 147–179. doi :10.1142/S0219876209001796.
35. Лю, GR; Чжан, GY (14 мая 2008 г.). «Верхнее решение задач упругости: уникальное свойство метода линейной согласованной точечной интерполяции (LC-PIM)». Международный журнал численных методов в инженерии . 74 (7): 1128–1161. Bibcode : 2008IJNME..74.1128L. doi : 10.1002/nme.2204. S2CID  54088894.
36. Liu, GR, 2010 Методы сглаженных конечных элементов , CRC Press, ISBN 978-1-4398-2027-8 . ^{[ нужна страница ]} 
37. Лю, GR; Сю, Джордж X. (10 декабря 2008 г.). «Метод градиентного сглаживания (GSM) для задач динамики жидкостей». International Journal for Numerical Methods in Fluids . 58 (10): 1101–1133. Bibcode : 2008IJNMF..58.1101L. doi : 10.1002/fld.1788. S2CID  53983110.
38. Чжан, Цзянь; Лю, GR; Лам, KY; Ли, Хуа; Сюй, G. (ноябрь 2008 г.). «Метод сглаживания градиента (GSM), основанный на сильной форме управляющего уравнения для адаптивного анализа задач механики твердого тела». Конечные элементы в анализе и проектировании . 44 (15): 889–909. doi :10.1016/j.finel.2008.06.006.
39. Лю, GR (20 ноября 2011 г.). «О теории пространства G». International Journal of Computational Methods . 06 (2): 257–289. doi :10.1142/S0219876209001863.

Дальнейшее чтение

• Гарг, Сахил; Пант, Мохит (24 мая 2018 г.). «Методы без сеток: всесторонний обзор приложений». Международный журнал вычислительных методов . 15 (4): 1830001. doi :10.1142/S0219876218300015.
• Лю, МБ; Лю, ГР; Зонг, З. (20 ноября 2011 г.). «Обзор гидродинамики сглаженных частиц». Международный журнал вычислительных методов . 05 (1): 135–188. doi :10.1142/S021987620800142X.
• Лю, GR; Лю, MB (2003). Гидродинамика сглаженных частиц, метод безсеточных частиц . World Scientific. ISBN 981-238-456-1.
• Атлури, SN (2004). Бессеточный метод (MLPG) для дискретизации домена и BIE . Tech Science Press. ISBN 0-9657001-8-6.
• Arroyo, M.; Ortiz, M. (26 марта 2006 г.). «Схемы аппроксимации локальной максимальной энтропии: бесшовный мост между конечными элементами и бессеточными методами». International Journal for Numerical Methods in Engineering . 65 (13): 2167–2202. Bibcode :2006IJNME..65.2167A. CiteSeerX  10.1.1.68.2696 . doi :10.1002/nme.1534. S2CID  15974625.
• Белычко, Т., Чен, Дж. С. (2007). Методы Meshfree и Particle , John Wiley and Sons Ltd. ISBN 0-470-84800-6 
• Белычко, Т.; Уэрта, А.; Фернандес-Мендес, С.; Рабчук, Т. (2004), «Бессеточные методы», Энциклопедия вычислительной механики, том 1, глава 10, John Wiley & Sons. ISBN 0-470-84699-2 
• Лю, GR 1-е изд., 2002. Методы без сетки , CRC Press. ISBN 0-8493-1238-8 . 
• Ли, С., Лю, В. К. (2004). Методы частиц без сетки , Берлин: Springer Verlag. ISBN 3-540-22256-1 
• Huerta, Antonio; Fernández-Méndez, Sonia (20 августа 2000 г.). "Обогащение и связь методов конечных элементов и бессеточных методов" (PDF) . International Journal for Numerical Methods in Engineering . 48 (11): 1615–1636. Bibcode :2000IJNME..48.1615H. doi :10.1002/1097-0207(20000820)48:11<1615::AID-NME883>3.0.CO;2-S. hdl : 2117/8264 . S2CID  122813651.
• Нетужилов, Х. (2008), «Пространственно-временной метод коллокации без сеток для связанных задач в областях неправильной формы», диссертация, Технический университет Брауншвейга, CSE – Вычислительные науки в инженерии ISBN  978-3-00-026744-4 , также как электронное издание.
• Нетужилов, Геннадий; Зилиан, Андреас (15 октября 2009 г.). «Метод пространственно-временной безсеточной коллокации: Методология и применение к задачам с начальными граничными значениями». Международный журнал численных методов в инженерии . 80 (3): 355–380. Bibcode :2009IJNME..80..355N. doi :10.1002/nme.2638. S2CID  122969330.
• Alhuri, Y.; Naji, A.; Ouazar, D.; Taik, A. (26 августа 2010 г.). "Бессеточный метод на основе RBF для крупномасштабного моделирования мелководья: экспериментальная проверка". Математическое моделирование природных явлений . 5 (7): 4–10. doi : 10.1051/mmnp/20105701 .
• Sousa, Washington; de Oliveira, Rodrigo (апрель 2015 г.). «Метод дискретизации закона Кулона: новая методология пространственной дискретизации для метода радиальной точечной интерполяции». Журнал IEEE Antennas and Propagation . 57 (2): 277–293. Bibcode : 2015IAPM...57..277S. doi : 10.1109/MAP.2015.2414571.
• Gross, BJ; Trask, N.; Kuberry, P.; Atzberger, PJ (15 мая 2020 г.). «Методы без сетки на многообразиях для гидродинамических потоков на криволинейных поверхностях: подход обобщенных движущихся наименьших квадратов (GMLS)». Журнал вычислительной физики . 409 : 109340. arXiv : 1905.10469 . Bibcode :2020JCoPh.40909340G. doi :10.1016/j.jcp.2020.109340. S2CID  166228451.
• Gross, BJ; Kuberry, P.; Atzberger, PJ (15 марта 2022 г.). "Статистика времени первого прохода на поверхностях общей формы: решатели поверхностных уравнений в частных производных с использованием обобщенных скользящих наименьших квадратов (GMLS)". Journal of Computational Physics . 453 : 110932. arXiv : 2102.02421 . Bibcode : 2022JCoPh.45310932G. doi : 10.1016/j.jcp.2021.110932. ISSN  0021-9991. S2CID  231802303.

Внешние ссылки

• Блог USACM о методах Meshfree