Формула обратной дифференциации

Численный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Формула обратной дифференциации ( BDF ) — это семейство неявных методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений . Это линейные многошаговые методы , которые для заданной функции и времени аппроксимируют производную этой функции, используя информацию из уже вычисленных временных точек, тем самым увеличивая точность аппроксимации. Эти методы особенно используются для решения жестких дифференциальных уравнений . Методы были впервые введены Чарльзом Ф. Кертисом и Джозефом О. Хиршфельдером в 1952 году. ^[1] В 1967 году эта область была формализована К. Уильямом Гиром в основополагающей статье, основанной на его более ранней неопубликованной работе. ^[2]

Общая формула

Для решения задачи начального значения используется BDF.

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

Общую формулу для BDF можно записать как ^[3]

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s}a_{k}y_{n+k}=h\beta f(t_{n+s},y_{n+s}),}$

где обозначает размер шага и . Поскольку оценивается для неизвестного , методы BDF являются неявными и, возможно, требуют решения нелинейных уравнений на каждом шаге. Коэффициенты и выбираются так, чтобы метод достигал порядка , который является максимально возможным. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y_{n+s}}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle s}$

Вывод коэффициентов

Начиная с формулы, аппроксимируем и , где — интерполяционный полином Лагранжа для точек . Используя это и умножая на единицу, приходим к методу BDF порядка . ${\textstyle y'(t_{n+s})=f(t_{n+s},y(t_{n+s}))}$ ${\displaystyle y(t_{n+s})\approx y_{n+s}}$ ${\displaystyle y'(t_{n+s})\approx p_{n,s}'(t_{n+s})}$ ${\displaystyle p_{n,s}(t)}$ ${\displaystyle (t_{n},y_{n}),\ldots ,(t_{n+s},y_{n+s})}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$

Конкретные формулы

S -шаговые BDF с s < 7: ^[4]

• BDF1: (это обратный метод Эйлера ) $${\displaystyle y_{n+1}-y_{n}=hf(t_{n+1},y_{n+1})}$$
• БДФ2: $${\displaystyle y_{n+2}-{\tfrac {4}{3}}y_{n+1}+{\tfrac {1}{3}}y_{n}={\tfrac {2}{3}}hf(t_{n+2},y_{n+2})}$$
• БДФ3: $${\displaystyle y_{n+3}-{\tfrac {18}{11}}y_{n+2}+{\tfrac {9}{11}}y_{n+1}-{\tfrac {2}{11}}y_{n}={\tfrac {6}{11}}hf(t_{n+3},y_{n+3})}$$
• БДФ4: $${\displaystyle y_{n+4}-{\tfrac {48}{25}}y_{n+3}+{\tfrac {36}{25}}y_{n+2}-{\tfrac {16}{25}}y_{n+1}+{\tfrac {3}{25}}y_{n}={\tfrac {12}{25}}hf(t_{n+4},y_{n+4})}$$
• БДФ5: $${\displaystyle y_{n+5}-{\tfrac {300}{137}}y_{n+4}+{\tfrac {300}{137}}y_{n+3}-{\tfrac {200}{137}}y_{n+2}+{\tfrac {75}{137}}y_{n+1}-{\tfrac {12}{137}}y_{n}={\tfrac {60}{137}}hf(t_{n+5},y_{n+5})}$$
• БДФ6: $${\displaystyle y_{n+6}-{\tfrac {360}{147}}y_{n+5}+{\tfrac {450}{147}}y_{n+4}-{\tfrac {400}{147}}y_{n+3}+{\tfrac {225}{147}}y_{n+2}-{\tfrac {72}{147}}y_{n+1}+{\tfrac {10}{147}}y_{n}={\tfrac {60}{147}}hf(t_{n+6},y_{n+6})}$$

Методы с s > 6 не являются нуль-устойчивыми, поэтому их нельзя использовать. ^[5]

Стабильность

Устойчивость численных методов решения жестких уравнений определяется областью их абсолютной устойчивости. Для методов BDF эти области показаны на графиках ниже.

В идеале область содержит левую половину комплексной плоскости, в этом случае метод называется A-устойчивым. Однако линейные многошаговые методы с порядком больше 2 не могут быть A-устойчивыми . Область устойчивости методов BDF более высокого порядка содержит большую часть левой полуплоскости и, в частности, всю отрицательную вещественную ось. Методы BDF являются наиболее эффективными линейными многошаговыми методами такого рода. ^[5]

Розовая область показывает область устойчивости методов BDF.

• 
  БДФ1
• 
  БДФ2
• 
  БДФ3
• 
  БДФ4
• 
  БДФ5
• 
  БДФ6

Ссылки

Цитаты

1. Кертисс, К. Ф. и Хиршфельдер, Дж. О. (1952). Интеграция жестких уравнений. Труды Национальной академии наук, 38(3), 235-243.
2. Gear, CW (1967). «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений». Mathematics of Computation . 21 (98): 146–156. doi : 10.2307/2004155 . JSTOR  2004155.
3. Ашер и Петцольд 1998, §5.1.2, стр. 129
4. Iserles 1996, стр. 27 (для s = 1, 2, 3); Süli & Mayers 2003, стр. 349 (для всех s )
5. Süli & Mayers 2003, стр. 349

Ссылки на работы

• Эшер, UM; Петцольд, LR (1998), Компьютерные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений , SIAM, Филадельфия, ISBN 0-89871-412-5.
• Исерлес, Арье (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
• Сюли, Эндре; Майерс, Дэвид (2003), Введение в численный анализ , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1.

Дальнейшее чтение

• Методы BDF на вики SUNDIALS (SUNDIALS — это библиотека, реализующая методы BDF и аналогичные алгоритмы).