Метрика Кэлера–Эйнштейна

Тип метрики в римановой геометрии

В дифференциальной геометрии метрика Кэлера–Эйнштейна на комплексном многообразии — это риманова метрика , которая является как метрикой Кэлера, так и метрикой Эйнштейна . Многообразие называется многообразием Кэлера–Эйнштейна, если оно допускает метрику Кэлера–Эйнштейна. Наиболее важным частным случаем из них являются многообразия Калаби–Яу , которые являются кэлеровыми и риччи-плоскими .

Наиболее важной проблемой для этой области является существование метрик Кэлера–Эйнштейна для компактных кэлеровых многообразий. Эту проблему можно разбить на три случая в зависимости от знака первого класса Черна кэлерова многообразия:

• Когда первый класс Черна отрицателен, всегда существует метрика Кэлера–Эйнштейна, как доказали независимо Тьерри Обен и Шинг-Тун Яу .
• Когда первый класс Черна равен нулю, всегда существует метрика Кэлера–Эйнштейна, как доказал Яу в гипотезе Калаби . Это приводит к названию многообразия Калаби–Яу. Он был награжден медалью Филдса отчасти из-за этой работы.
• Третий случай, положительный или случай Фано, оставался хорошо известной открытой проблемой в течение многих лет. В этом случае существует нетривиальное препятствие к существованию. В 2012 году Сюсюн Чэнь , Саймон Дональдсон и Сун Сан доказали, что в этом случае существование эквивалентно алгебро-геометрическому критерию, называемому K-устойчивостью . Их доказательство появилось в серии статей в журнале Американского математического общества. ^{[1] [2] [3]} Доказательство было получено независимо Ган Тянем в то же время. ^[4]

Когда первый класс Черна не определен или мы имеем промежуточную размерность Кодаиры, то нахождение канонической метрики остается открытой проблемой, которая называется гипотезой алгебризации через аналитическую минимальную модельную программу.

Определение

Многообразия Эйнштейна

Предположим, что есть риманово многообразие . В физике уравнения поля Эйнштейна представляют собой набор дифференциальных уравнений в частных производных относительно метрического тензора , которые описывают, как многообразие должно искривляться из-за существования массы или энергии, величины, инкапсулированной тензором энергии-импульса . В вакууме, где нет ни массы, ни энергии, то есть , уравнения поля Эйнштейна упрощаются. А именно, кривизна Риччи является симметричным -тензором, как и сама метрика , и уравнения сводятся к ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (2,0)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}={\frac {1}{2}}R_{g}g}$

где — скалярная кривизна . То есть кривизна Риччи становится пропорциональной метрике. Риманово многообразие, удовлетворяющее приведенному выше уравнению, называется многообразием Эйнштейна . ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (X,g)}$

Каждое двумерное риманово многообразие является эйнштейновым. С помощью тождеств Бьянки можно доказать , что в любом большем измерении скалярная кривизна любого связного эйнштейнова многообразия должна быть постоянной. По этой причине условие Эйнштейна часто задается как

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}=\lambda g}$

для действительного числа ${\displaystyle \lambda .}$

Кэлеровы многообразия

Когда риманово многообразие также является комплексным многообразием , то есть оно имеет интегрируемую почти комплексную структуру , можно потребовать совместимости между метрической структурой и комплексной структурой . Существует много эквивалентных способов сформулировать это условие совместимости, и одна из кратких интерпретаций состоит в том, чтобы потребовать, чтобы было ортогонально относительно , ​​так что для всех векторных полей , и чтобы сохранялось параллельным переносом связности Леви-Чивиты , захваченной условием . Такая тройка называется кэлеровым многообразием . ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle J:TX\to TX}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(Ju,Jv)=g(u,v)}$ ${\displaystyle u,v\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla J=0}$ ${\displaystyle (X,g,J)}$

Метрики Кэлера–Эйнштейна

Многообразие Кэлера–Эйнштейна — это многообразие, которое сочетает в себе указанные выше свойства быть кэлеровым и допускать метрику Эйнштейна. Сочетание этих свойств подразумевает упрощение уравнения Эйнштейна в терминах комплексной структуры. А именно, на многообразии Кэлера можно определить форму Риччи , вещественную -форму , выражением ${\displaystyle (1,1)}$

${\displaystyle \rho (u,v)=\operatorname {Ric} _{g}(Ju,v),}$

где находятся любые касательные векторные поля к . ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle X}$

Почти комплексная структура заставляет быть антисимметричной, а условие совместимости в сочетании с тождеством Бианки подразумевает, что является замкнутой дифференциальной формой . Связанной с римановой метрикой является кэлерова форма , определяемая аналогичным выражением . Поэтому уравнения Эйнштейна для можно переписать как ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nabla J=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega (u,v)=g(Ju,v)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \rho =\lambda \omega ,}$

уравнение Кэлера–Эйнштейна.

Поскольку это равенство замкнутых дифференциальных форм, оно влечет равенство ассоциированных классов когомологий де Рама и . Первый класс является первым классом Черна для , . Поэтому необходимым условием существования решения уравнения Кэлера–Эйнштейна является то, что , для некоторого . Это топологическое необходимое условие на кэлеровом многообразии . ${\displaystyle [\rho ]}$ ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X,g,J)}$

Обратите внимание, что поскольку кривизна Риччи инвариантна относительно масштабирования , если существует метрика такая, что , всегда можно нормализовать до новой метрики с , то есть . Таким образом, уравнение Кэлера–Эйнштейна часто записывается ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}}$ ${\displaystyle g\mapsto \lambda ^{-1}g}$ ${\displaystyle \lambda \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda =-1,0,1}$

${\displaystyle \rho =-\omega ,\quad \rho =0,\quad \rho =\omega }$

в зависимости от знака топологической константы . ${\displaystyle \lambda }$

Преобразование в комплексное уравнение Монжа-Ампера

Ситуация с компактными кэлеровыми многообразиями является особой, поскольку уравнение Кэлера–Эйнштейна можно переформулировать как комплексное уравнение Монжа–Ампера для гладкого кэлерова потенциала на . ^[5] По топологическому предположению о кэлеровом многообразии мы всегда можем предположить, что существует некоторая кэлерова метрика . Форма Риччи задается в локальных координатах формулой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega _{0}\in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log \omega _{0}^{n}.}$

По предположению и находятся в одном классе когомологий , поэтому -лемма из теории Ходжа подразумевает, что существует гладкая функция такая, что . ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle F\in C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}F=\rho _{0}}$

Любая другая метрика связана с потенциалом Кэлера таким, что . Тогда следует, что если — форма Риччи относительно , ​​то ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \rho -\rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^{n}}{\omega _{0}^{n}}}.}$

Таким образом, чтобы сделать нам нужно найти такое, что ${\displaystyle \rho =\lambda \omega }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lambda i\partial {\bar {\partial }}\varphi =i\partial {\bar {\partial }}F-i\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^{n}}{\omega _{0}^{n}}}.}$

Это, безусловно, будет верно, если то же самое уравнение будет доказано после удаления производных , и на самом деле это эквивалентное уравнение по -лемме с точностью до изменения добавлением постоянной функции. В частности, после удаления и возведения в степень уравнение преобразуется в ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

${\displaystyle (\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi )^{n}=e^{F-\lambda \varphi }\omega _{0}^{n}.}$

Это уравнение в частных производных похоже на действительное уравнение Монжа–Ампера и известно как комплексное уравнение Монжа–Ампера, и впоследствии может быть изучено с использованием инструментов выпуклого анализа . Его поведение весьма чувствительно к знаку топологической константы . Решения этого уравнения появляются как критические точки функционала K-энергии, введенного Тошики Мабучи на пространстве кэлеровых потенциалов в классе . ${\displaystyle \lambda =-1,0,1}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$

Существование

Проблему существования метрик Кэлера–Эйнштейна можно разделить на три различных случая в зависимости от знака топологической константы . Поскольку кэлерова форма всегда является положительной дифференциальной формой , знак зависит от того, является ли класс когомологий положительным, отрицательным или нулевым. В алгебраической геометрии это понимается в терминах канонического расслоения : тогда и только тогда, когда каноническое расслоение является обильным линейным расслоением , и тогда и только тогда, когда является обильным. Если является тривиальным линейным расслоением, то . Когда кэлерово многообразие компактно , проблема существования полностью решена. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle K_{X}^{-1}}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$

Делос 1 (Х)

Когда кэлерово многообразие удовлетворяет топологическому предположению , каноническое расслоение является обильным и поэтому должно быть отрицательным. Если необходимое топологическое предположение выполняется, то есть существует кэлерова метрика такая, что , то Обином и Яу было доказано, что метрика Кэлера–Эйнштейна всегда существует. ^{[6] [7]} Существование кэлеровой метрики, удовлетворяющей топологическому предположению, является следствием доказательства Яу гипотезы Калаби . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle c_{1}(X)=\lambda [\omega ]}$

Теорема (Обен, Яу): Компактное кэлерово многообразие с всегда допускает метрику Кэлера–Эйнштейна. ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$

Делос 1 (Х)=0

Когда каноническое расслоение тривиально, так что , говорят, что многообразие является многообразием Калаби–Яу . Эти многообразия имеют особое значение в физике, где они должны появляться как струнный фон в теории суперструн в 10 измерениях. Математически это соответствует случаю, когда , то есть когда риманово многообразие является плоским по Риччи . ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle (X,g)}$

Существование метрики Кэлера–Эйнштейна было доказано в этом случае Яу с использованием метода непрерывности, аналогичного случаю, когда . ^[8] Топологическое предположение предположение вносит новые трудности в метод непрерывности. Отчасти из-за его доказательства существования и связанного с ним доказательства гипотезы Калаби Яу был награжден медалью Филдса . ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$

Теорема (Яу): Компактное кэлерово многообразие с тривиальным каноническим расслоением, многообразие Калаби–Яу, всегда допускает метрику Кэлера–Эйнштейна и, в частности, допускает метрику Риччи-плоскую.

Делос 1 (Х)>0

Когда антиканоническое расслоение обильно, или, что эквивалентно , многообразие называется многообразием Фано. В отличие от случая , в этом случае метрика Кэлера–Эйнштейна не всегда существует. Акито Футаки заметил, что существуют возможные препятствия к существованию решения, заданного голоморфными векторными полями , и необходимым условием является то, что инвариант Футаки этих векторных полей неотрицателен. ^[9] Действительно, гораздо раньше Мацусима и Лихнерович заметили, что другим необходимым условием является то, что алгебра Ли голоморфных векторных полей должна быть редуктивной . ^{[10] [11]} ${\displaystyle K_{X}^{-1}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$

В 1993 году Яу предположил, по аналогии с похожей проблемой существования метрик Эрмита–Эйнштейна на голоморфных векторных расслоениях , что препятствие к существованию метрики Кэлера–Эйнштейна должно быть эквивалентно определенному алгебро-геометрическому условию устойчивости, аналогичному устойчивости наклона векторных расслоений. ^[12] В 1997 году Тянь Ган предложил возможное условие устойчивости, которое стало известно как K-устойчивость . ^[13]

Гипотеза Яу была разрешена в 2012 году Ченом – Дональдсоном – Саном с использованием методов, в значительной степени отличных от классического метода непрерывности случая , ^{[1] [2] [3]} и в то же время Тянем. ^{[4] [14]} Чен–Дональдсон–Сан оспорили доказательство Тяня, утверждая, что оно содержит математические неточности и материал, который следует приписать им. ^[a] Тянь оспорил эти утверждения. ^[b] Премия Веблена 2019 года была присуждена Чену–Дональдсону–Сану за их доказательство. ^[15] Дональдсон был награжден Премией за прорыв в математике 2015 года отчасти за его вклад в доказательство, ^[16] а Премия за прорыв New Horizons 2021 года была присуждена Сану отчасти за его вклад. ^[17] ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

Теорема: Компактное многообразие Фано допускает метрику Кэлера–Эйнштейна тогда и только тогда, когда пара является K-полистабильной. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,K_{X}^{-1})}$

Доказательство, основанное на методе непрерывности, которое разрешило этот случай, было позже предоставлено Датаром–Секейхиди, и сейчас известно несколько других доказательств. ^{[18] [19]} Более подробную информацию см. в гипотезе Яу–Тяня–Дональдсона . ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

Поток Кэлера–Риччи и минимальная модельная программа

Центральной программой в бирациональной геометрии является программа минимальной модели , которая стремится генерировать модели алгебраических многообразий внутри каждого класса бирациональности, которые в некотором смысле минимальны , обычно в том смысле, что они минимизируют определенные меры сложности (например, арифметический род в случае кривых). В более высоких размерностях ищут минимальную модель, которая имеет nef каноническое расслоение . Один из способов построения минимальных моделей — стянуть определенные кривые внутри алгебраического многообразия , которые имеют отрицательное самопересечение. Эти кривые следует рассматривать геометрически как подмногообразия, на которых имеет концентрацию отрицательной кривизны. ${\displaystyle C\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В этом смысле минимальную модельную программу можно рассматривать как аналог потока Риччи в дифференциальной геометрии, где области концентрации кривизны расширяются или сжимаются, чтобы свести исходное риманово многообразие к многообразию с равномерной кривизной (точнее, к новому риманову многообразию с равномерной кривизной Риччи, то есть к многообразию Эйнштейна). В случае 3-многообразий это было знаменито использовано Григорием Перельманом для доказательства гипотезы Пуанкаре .

В контексте кэлеровых многообразий поток кэлера–Риччи был впервые записан Као. ^[20] Здесь фиксируется кэлерова метрика с формой Риччи и изучается геометрический поток для семейства кэлеровых метрик, параметризованных следующим образом : ${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}}$ ${\displaystyle \rho _{i{\bar {j}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{ij}(t)}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}}{\partial t}}=-{\tilde {\rho }}_{i{\bar {j}}}+\rho _{i{\bar {j}}},\quad {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}(0)=g_{i{\bar {j}}}.}$

Когда проективное многообразие имеет общий тип , минимальная модель допускает дальнейшее упрощение до канонической модели с обильным каноническим расслоением. В условиях, когда существуют только мягкие ( орбифолдные ) сингулярности этой канонической модели, можно спросить, сходится ли поток Кэлера–Риччи к (возможно, мягко сингулярной) метрике Кэлера–Эйнштейна на , которая должна существовать согласно результату Яу и Обена о существовании для . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle c_{1}(X'')<0}$

Точный результат в этом направлении был доказан Кашини и Ла Навом ^[21] и примерно в то же время Тянь-Чжаном ^{[22] .}

Теорема: Поток Кэлера–Риччи на проективном многообразии общего типа существует всегда, и после не более чем конечного числа образований особенностей, если каноническая модель имеет в худшем случае орбифолдные особенности, то поток Кэлера–Риччи на сходится к метрике Кэлера–Эйнштейна на с точностью до ограниченной функции, которая является гладкой вне аналитического подмногообразия . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$

В случае, когда многообразие имеет размерность два, а значит, и поверхность общего типа, получается сходимость к метрике Кэлера–Эйнштейна на . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$

Позже Цзянь Сун и Тянь изучили случай, когда проективное многообразие имеет логтерминальные сингулярности. ^[23] ${\displaystyle X}$

Поток Кэлера–Риччи и существование метрик Кэлера–Эйнштейна

Можно дать альтернативное доказательство теоремы Чена–Дональдсона–Суна о существовании метрик Кэлера–Эйнштейна на гладком многообразии Фано, используя поток Кэлера–Риччи, и это было выполнено в 2018 году Ченом–Суном–Ваном. ^[24] А именно, если многообразие Фано является K-полистабильным, то поток Кэлера–Риччи существует всегда и сходится к метрике Кэлера–Эйнштейна на многообразии Фано.

Обобщения и альтернативные представления

Постоянная скалярная кривизна Метрики Кэлера

Когда каноническое расслоение не является тривиальным, обильным или антиобильным, невозможно запросить метрику Кэлера–Эйнштейна, поскольку класс не может содержать метрику Кэлера, и поэтому необходимое топологическое условие никогда не может быть выполнено. Это следует из теоремы вложения Кодаиры . ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$

Естественным обобщением уравнения Кэлера–Эйнштейна на более общую ситуацию произвольного компактного кэлерова многообразия является требование, чтобы кэлерова метрика имела постоянную скалярную кривизну (говорят, что метрика равна cscK ). Скалярная кривизна является полным следом тензора римановой кривизны , гладкой функции на многообразии , и в кэлеровом случае условие, что скалярная кривизна постоянна, допускает преобразование в уравнение, подобное комплексному уравнению Монжа–Ампера в ситуации Кэлера–Эйнштейна. Многие методы из случая Кэлера–Эйнштейна переносятся на ситуацию cscK , хотя и с дополнительной сложностью, и предполагается, что подобное алгебро-геометрическое условие устойчивости должно подразумевать существование решений уравнения в этой более общей ситуации. ${\displaystyle (X,g)}$

Когда компактное кэлерово многообразие удовлетворяет топологическим предположениям, необходимым для того, чтобы условие Кэлера–Эйнштейна имело смысл, уравнение Кэлера постоянной скалярной кривизны сводится к уравнению Кэлера–Эйнштейна.

Метрики Эрмита–Эйнштейна

Вместо того, чтобы спрашивать, пропорциональна ли кривизна Риччи связности Леви-Чивиты на касательном расслоении кэлерова многообразия самой метрике, можно вместо этого задать этот вопрос для кривизны связности Черна , связанной с эрмитовой метрикой на любом голоморфном векторном расслоении над (обратите внимание, что связность Леви-Чивиты на голоморфном касательном расслоении является в точности связностью Черна эрмитовой метрики, вытекающей из кэлеровой структуры). Полученное уравнение называется уравнением Эрмита–Эйнштейна и имеет особое значение в калибровочной теории , где оно появляется как частный случай уравнений Янга–Миллса , которые происходят из квантовой теории поля , в отличие от обычных уравнений Эйнштейна, которые происходят из общей теории относительности . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В случае, когда голоморфное векторное расслоение снова является голоморфным касательным расслоением , а эрмитова метрика — метрикой Кэлера, уравнение Эрмита–Эйнштейна сводится к уравнению Кэлера–Эйнштейна. Однако в общем случае геометрия кэлерова многообразия часто фиксирована, и только метрика расслоения может изменяться, и это делает уравнение Эрмита–Эйнштейна более простым для изучения, чем уравнение Кэлера–Эйнштейна в целом. В частности, полная алгебро-геометрическая характеристика существования решений дается соответствием Кобаяши–Хитчина .

Ссылки

1. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon ; Sun, Song (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. I: Аппроксимация метрик с коническими особенностями». Журнал Американского математического общества . 28 : 183–197. arXiv : 1211.4566 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00799-2. S2CID  119641827.
2. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon ; Sun, Song (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. II: Пределы с углом конуса меньше 2π». Журнал Американского математического общества . 28 : 199–234. arXiv : 1212.4714 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00800-6. S2CID  119140033.
3. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon ; Sun, Song (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. III: Пределы при приближении угла конуса к 2π и завершение основного доказательства». Журнал Американского математического общества . 28 : 235–278. arXiv : 1302.0282 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00801-8. S2CID  119575364.
4. Tian, ​​G. (2015). «K-устойчивость и метрики Кэлера–Эйнштейна». Сообщения по чистой и прикладной математике . 68 (7): 1085–1156. arXiv : 1211.4669 . doi :10.1002/cpa.21578. S2CID  119303358.
5. Székelyhidi, Gabor (2014). Введение в экстремальные метрики Кэлера . Graduate Studies in Mathematics. Vol. 152. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-470-41047-6.
6. Обен, Т. (1976). «Уравнения типа Монжа-Ампера для разнообразных компактных элементов». ЧР акад. наук. Париж . Сер. АБ. 283 (3): Аiii, А119–А121.
7. Яу, Шинг-Тунг (1977). «Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 74 (5): 1798–1799. Bibcode :1977PNAS...74.1798Y. doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 . PMC 431004 . PMID  16592394. 
8. Шинг-Тунг Яу . О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. I. Сообщения по чистой и прикладной математике , 31(3):339–411, 1978.
9. Футаки, А. (1983). «Препятствие к существованию метрик Эйнштейна-Кэлера». Invent. Math . 73 (3): 437–443. Bibcode :1983InMat..73..437F. doi :10.1007/BF01388438. S2CID  121382431.
10. Мацусима, Ёзо (1957). «Сур ла структура аналитических групп гомоморфизмов определенного разнообразия». Нагойская математика. Дж . 11 : 145–150. дои : 10.1017/S0027763000002026 .
11. Лихнерович, Андре (1958). Геометрия групп преобразований . Travaux et Recherches Mathématiques. Том. III. Париж: Дюнод.
12. Яу, С.-Т. (1993). "Открытые проблемы в геометрии". Дифференциальная геометрия: уравнения с частными производными на многообразиях (Лос-Анджелес, Калифорния, 1990) . Proc. Sympos. Pure Math. Vol. 54. Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc. стр. 1–28. ISBN 0-8218-1494-X.
13. Tian, ​​Gang (1997). «Метрики Кэлера-Эйнштейна с положительной скалярной кривизной». Inventiones Mathematicae . 130 (1): 1–37. Bibcode : 1997InMat.130....1T. doi : 10.1007/s002220050176. MR  1471884. S2CID  122529381.
14. Tian, ​​G. (2015). «Исправление: K-устойчивость и метрики Кэлера–Эйнштейна». Сообщения по чистой и прикладной математике . 68 (11): 2082–2083. doi : 10.1002/cpa.21612 .
15. "Премия Освальда Веблена по геометрии 2019 года — Сюсюн Чену, Саймону Дональдсону и Сун Суню". Американское математическое общество . 2018-11-19 . Получено 2019-04-09 .
16. Саймон Дональдсон «За новые революционные инварианты четырехмерных многообразий и за изучение связи между устойчивостью в алгебраической геометрии и глобальной дифференциальной геометрии, как для расслоений, так и для многообразий Фано».
17. Премия за прорыв в области математики 2021 г.
18. Székelyhidi, G. (2016). «Частичная -оценка по методу непрерывности». J. Amer. Math. Soc . 29 : 537–560. arXiv : 1310.8471 . doi :10.1090/jams/833. ${\displaystyle C^{0}}$
19. Датар, В.; Секелихиди, Г. (2016). «Метрики Кэлера – Эйнштейна по методу гладкой непрерывности». Геом. Функц. Анал . 26 (4): 975–1010. arXiv : 1506.07495 . дои : 10.1007/s00039-016-0377-4. S2CID  118246980.
20. Cao, Huai-Dong (1985). «Деформация матриц Кэлера в метрики Кэлера-Эйнштейна на компактных многообразиях Кэлера». Inventiones Mathematicae . 81 (2): 359–372. Bibcode : 1985InMat..81..359C. doi : 10.1007/BF01389058. S2CID  124733796.
21. Cascini, P.; La Nave, G. (2006). «Поток Кэлера-Риччи и программа минимальных моделей для проективных многообразий». arXiv : math/0603064 .
22. Tian, ​​G.; Zhang, Z. (2006). «О потоке Кэлера–Риччи на проективных многообразиях общего типа». Chinese Annals of Mathematics, Series B. 27 ( 2): 179–192. doi :10.1007/s11401-005-0533-x. S2CID  16476473.
23. Сонг, Цзянь; Тянь, Ган (2009). «Поток Кэлера-Риччи через сингулярности». arXiv : 0909.4898 [math.DG].
24. Чэнь, Сюсюн; Сан, Сун; Ван, Бин (2018). «Поток Кэлера–Риччи, метрика Кэлера–Эйнштейна и K–устойчивость». Geom. Topol . 2 (6): 3145–3173. arXiv : 1508.04397 . doi :10.2140/gt.2018.22.3145. S2CID  5667938.

• Морояну, Андрей (2007). Лекции по кэлеровой геометрии . Тексты для студентов Лондонского математического общества. Том 69. Кембридж. ISBN 978-0-521-68897-0.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Примечания

1. Сюсюн Чен, Саймон Дональдсон, Сун Сан. «О некоторых последних достижениях в геометрии Кэлера».
2. Ган Тянь. «Ответ на CDS» и «Больше комментариев по CDS.», Исправление: K-устойчивость и метрики Кэлера-Эйнштейна