Постоянная скалярная кривизна Келерова метрика

В дифференциальной геометрии постоянная скалярная кривизна кэлерова метрика (cscK метрика) — это кэлерова метрика на комплексном многообразии , скалярная кривизна которой постоянна. Частным случаем является метрика Кэлера–Эйнштейна , а более общим случаем — экстремальная кэлерова метрика .

Дональдсон (2002), Тиан ^{[ требуется ссылка ]} и Яу ^{[ требуется ссылка ]} предположили , что существование метрики cscK на поляризованном проективном многообразии эквивалентно тому, что поляризованное многообразие является K-полистабильным . Недавние разработки в этой области предполагают, что правильная эквивалентность может заключаться в том, что поляризованное многообразие является равномерно K-полистабильным. ^{[ требуется ссылка ]} Когда поляризация задана (анти)каноническим линейным расслоением (т. е. в случае многообразий Фано или Калаби–Яу ), понятия K-стабильности и K-полистабильности совпадают, метрики cscK являются в точности метриками Кэлера–Эйнштейна, и гипотеза Яу–Тиана–Дональдсона, как известно, верна. ^{[ требуется ссылка ]}

Экстремальные метрики Кэлера

Метрики Кэлера постоянной скалярной кривизны являются конкретными примерами более общего понятия канонической метрики на кэлеровых многообразиях, экстремальных кэлеровых метрик . Экстремальные метрики, как следует из названия, экстремизируют определенный функционал на пространстве кэлеровых метрик, функционал Калаби, введенный Калаби . ^{[1] [2]}

функционал Калаби

Функционал Калаби — это функционал, определенный на пространстве кэлеровых потенциалов в определенном классе когомологий Кэлера-де-Рама на компактном кэлеровом многообразии. А именно, пусть — кэлеров класс на компактном кэлеровом многообразии , и пусть — любая кэлерова метрика в этом классе, которая отличается от потенциалом . Функционал Калаби определяется как ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C(\omega _{\varphi })=\int _{X}S(\omega _{\varphi })^{2}\omega _{\varphi }^{n}}$

где — скалярная кривизна ассоциированной римановой метрики для и . Этот функционал по сути является квадратом нормы скалярной кривизны для метрик Кэлера в классе Кэлера . Понимание потока этого функционала, потока Калаби , является ключевой целью в понимании существования канонических метрик Кэлера. ${\displaystyle S(\omega _{\varphi })}$ ${\displaystyle \omega _{\varphi }}$ ${\displaystyle \dim X=n}$ ${\displaystyle [\omega ]}$

Экстремальные метрики

По определению, экстремальная кэлерова метрика является критической точкой функционала Калаби., ^[1] либо локального, либо глобального минимизатора. В этом смысле экстремальные кэлеровы метрики можно рассматривать как наилучший или канонический выбор кэлеровой метрики на любом компактном кэлеровом многообразии.

Метрики Кэлера постоянной скалярной кривизны являются примерами экстремальных метрик Кэлера, которые являются абсолютными минимизаторами функционала Калаби. В этом смысле функционал Калаби подобен функционалу Янга–Миллса , а экстремальные метрики подобны связям Янга–Миллса . Роль метрик постоянной скалярной кривизны играют некоторые абсолютные минимизаторы функционала Янга–Миллса, антисамодвойственные связности или эрмитовы связности Янга–Миллса .

В некоторых обстоятельствах постоянные скалярные кривизны кэлеровых метрик могут не существовать на компактном кэлеровом многообразии, но экстремальные метрики все еще могут существовать. Например, некоторые многообразия могут допускать солитоны Кэлера–Риччи, которые являются примерами экстремальных кэлеровых метрик, и явные экстремальные метрики могут быть построены в случае поверхностей. ^[3]

Абсолютные минимизаторы функционала Калаби, постоянные скалярные метрики кривизны, могут быть альтернативно охарактеризованы как критические точки другого функционала, функционала Мабучи . Эта альтернативная вариационная перспектива постоянных скалярных метрик кривизны имеет лучшие формальные свойства, чем функционал Калаби, из-за его связи с отображениями моментов на пространстве метрик Кэлера.

Голоморфные потенциалы

Существует альтернативная характеристика критических точек функционала Калаби в терминах так называемых потенциалов голоморфности. ^{[2] [4]} Потенциалы голоморфности — это некоторые гладкие функции на компактном кэлеровом многообразии, гамильтонов поток которых порождает автоморфизмы кэлерова многообразия. Другими словами, их градиентные векторные поля голоморфны.

Потенциал голоморфности — это комплекснозначная функция , такая что векторное поле, определяемое как , является голоморфным векторным полем , где — риманова метрика, связанная с формой Кэлера, и суммирование здесь производится с использованием обозначений суммирования Эйнштейна . Векторную область потенциалов голоморфности, обозначаемую как , можно отождествить с алгеброй Ли группы автоморфизмов кэлерова многообразия . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi ^{j}=g^{j{\bar {k}}}\partial _{\bar {k}}f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$

Метрика Кэлера является экстремальной, минимизатором функционала Калаби, тогда и только тогда, когда скалярная кривизна является потенциалом голоморфности. Если скалярная кривизна постоянна, так что есть cscK, то ассоциированный потенциал голоморфности является постоянной функцией, а индуцированное голоморфное векторное поле является нулевым векторным полем. В частности, на кэлеровом многообразии, которое не допускает ненулевых голоморфных векторных полей, единственными потенциалами голоморфности являются постоянные функции, и каждая экстремальная метрика является кэлеровой метрикой постоянной скалярной кривизны. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Существование метрик постоянной кривизны тесно связано с препятствиями, возникающими из голоморфных векторных полей, что приводит к инварианту Футаки и K-устойчивости . Эта теория хорошо изучена для конкретного случая метрик Кэлера–Эйнштейна .

Смотрите также

• Мабучи функциональный
• Метрика Кэлера-Эйнштейна

Ссылки

• Биккар, Оливье (2006), «Метрики kählériennes à Courbure Scalaire Constante: уникальность, стабильность», Astérisque , Séminaire Bourbaki. Том. 2004/2005 Эксп. № 938 (307): 1–31, ISSN  0303-1179, МР  2296414.
• Дональдсон, СК (2001), «Скалярная кривизна и проективные вложения. I», Журнал дифференциальной геометрии , 59 (3): 479–522, ISSN  0022-040X, MR  1916953
• Дональдсон, СК (2002), «Скалярная кривизна и устойчивость торических многообразий», Журнал дифференциальной геометрии , 62 (2): 289–349, ISSN  0022-040X, MR  1988506

1. Calabi, E., 1982. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ КЭЛЕРОВЫ МЕТРИКИ. В СЕМИНАРЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ (стр. 259).
2. Székelyhidi, G., 2014. Введение в экстремальные метрики Кэлера (т. 152). American Mathematical Soc.
3. Тоннесен-Фридман, Кристина Вийс (1998), «Экстремальные метрики Кэлера на минимальных линейчатых поверхностях», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 502 : 175–197, doi : 10.1515/crll.1998.086, MR  1647571
4. Годюшон, Пол. 2014. Экстремальные метрики Кэлера Калаби: элементарное введение.