Механико-электрические аналогии представляют собой представление механических систем в виде электрических сетей . Сначала такие аналогии использовались в обратном порядке, чтобы помочь объяснить электрические явления в знакомых механических терминах. Джеймс Клерк Максвелл ввел аналогии такого рода в 19 веке. Однако по мере развития анализа электрических сетей было обнаружено, что некоторые механические проблемы можно было бы легче решить с помощью электрической аналогии . Теоретические разработки в области электротехники [примечание 1] , которые были особенно полезны, включали представление электрической сети в виде абстрактной топологической диаграммы ( схемы цепи ) с использованием модели сосредоточенных элементов и способность сетевого анализа синтезировать сеть для соответствия предписанной частотной функции .
Этот подход особенно полезен при проектировании механических фильтров — они используют механические устройства для реализации электрической функции. Однако этот метод можно использовать для решения чисто механических проблем, а также можно распространить на другие, не связанные энергетические области. В настоящее время анализ по аналогии является стандартным инструментом проектирования везде, где задействовано более одной энергетической области. Он имеет главное преимущество в том, что вся система может быть представлена единым, связным образом. Электрические аналогии особенно используются проектировщиками преобразователей , по своей природе они пересекают энергетические области, и в системах управления , датчики и приводы которых, как правило, являются преобразователями, пересекающими области. Данная система, представленная электрической аналогией, может, по-видимому, вообще не иметь электрических частей. По этой причине при разработке сетевых схем для систем управления предпочтительнее использовать доменно-нейтральную терминологию.
Механико-электрические аналогии разрабатываются путем нахождения соотношений между переменными в одной области, которые имеют математическую форму, идентичную переменным в другой области. Не существует единого, уникального способа сделать это; теоретически возможны многочисленные аналогии, но есть две аналогии, которые широко используются: аналогия импеданса и аналогия мобильности . Аналогия импеданса делает силу и напряжение аналогичными, в то время как аналогия мобильности делает силу и ток аналогичными. Самого по себе этого недостаточно для полного определения аналогии, необходимо выбрать вторую переменную. Обычным выбором является сделать пары сопряженных по мощности переменных аналогичными. Это переменные, которые при умножении имеют единицы мощности. Например, в аналогии импеданса это приводит к тому, что сила и скорость аналогичны напряжению и току соответственно.
Вариации этих аналогий используются для вращающихся механических систем, таких как электродвигатели . В аналогии импеданса вместо силы крутящий момент делается аналогичным напряжению. Вполне возможно, что обе версии аналогии необходимы, скажем, в системе, которая включает вращающиеся и возвратно- поступательные части, в этом случае аналогия сила-крутящий момент требуется в механической области и аналогия сила-крутящий момент-напряжение в электрической области. Другая вариация требуется для акустических систем; здесь давление и напряжение делаются аналогичными (аналогия импеданса). В аналогии импеданса отношение сопряженных по мощности переменных всегда является величиной, аналогичной электрическому импедансу . Например, сила/скорость является механическим импедансом . Аналогия мобильности не сохраняет эту аналогию между импедансами через области, но у нее есть еще одно преимущество перед аналогией импеданса. В аналогии мобильности сохраняется топология сетей, механическая сетевая схема имеет ту же топологию, что и ее аналогичная электрическая сетевая схема.
Механико-электрические аналогии используются для представления функции механической системы как эквивалентной электрической системы путем проведения аналогий между механическими и электрическими параметрами. Механическая система сама по себе может быть представлена таким образом, но аналогии наиболее полезны в электромеханических системах , где есть связь между механическими и электрическими частями. Аналогии особенно полезны при анализе механических фильтров . Это фильтры, построенные из механических частей, но предназначенные для работы в электрической цепи через преобразователи . Теория цепей хорошо развита в области электричества в целом, и в частности существует множество теорий фильтров. Механические системы могут использовать эту электрическую теорию в механических конструкциях посредством механико-электрической аналогии. [1]
Механико-электрические аналогии полезны в целом, когда система включает преобразователи между различными энергетическими доменами. [примечание 1] Другая область применения — механические части акустических систем, такие как звукосниматель и тонарм проигрывателей пластинок . Это имело некоторое значение в ранних фонографах, где звук передавался от иглы звукоснимателя к рупору через различные механические компоненты полностью без электрического усиления. Ранние фонографы сильно страдали от нежелательных резонансов в механических частях. Было обнаружено, что их можно устранить, рассматривая механические части как компоненты фильтра нижних частот , который имеет эффект выравнивания полосы пропускания . [2]
Электрические аналогии механических систем могут использоваться просто как учебное пособие, чтобы помочь понять поведение механической системы. В прежние времена, примерно до начала 20-го века, было более вероятно, что будет использоваться обратная аналогия; механические аналогии были сформированы из тогда еще малопонятных электрических явлений. [3]
Электрические системы обычно описываются с помощью принципиальной схемы . Это сетевые схемы, которые описывают топологию электрической системы с использованием специализированной графической нотации. Принципиальная схема не пытается представить истинные физические размеры электрических компонентов или их фактическое пространственное отношение друг к другу. Это возможно, потому что электрические компоненты представлены как идеальные сосредоточенные элементы, то есть элемент рассматривается так, как если бы он занимал одну точку (сосредоточенный в этой точке). Неидеальные компоненты могут быть размещены в этой модели, используя более одного элемента для представления компонента. Например, катушка, предназначенная для использования в качестве индуктора, имеет как сопротивление , так и индуктивность . Это может быть представлено на принципиальной схеме как резистор, соединенный последовательно с индуктором. [4] Таким образом, первым шагом в формировании аналогии механической системы является описание ее как механической сети аналогичным образом, то есть как топологического графа идеальных элементов. [5] В качестве альтернативы возможны более абстрактные представления принципиальной схемы, например, граф связей . [6]
В схеме электрической сети, ограниченной линейными системами , есть три пассивных элемента: сопротивление, индуктивность и емкость ; и два активных элемента: генератор напряжения и генератор тока . [примечание 2] Механические аналоги этих элементов могут быть использованы для построения схемы механической сети . То, какими являются механические аналоги этих элементов, зависит от того, какие переменные выбраны в качестве фундаментальных переменных. Существует широкий выбор переменных, которые можно использовать, но наиболее часто используются пара переменных, сопряженных по мощности (описанная ниже), и пара переменных Гамильтона, полученная из них. [7]
Существует предел применимости этой модели сосредоточенных элементов . Модель хорошо работает, если компоненты достаточно малы, так что время, необходимое для того, чтобы волна пересекла их, незначительно, или, что эквивалентно, если нет значительной разницы фаз в волне по обе стороны от компонента. То, что является значительным, зависит от того, насколько точной должна быть модель, но общее правило заключается в том, чтобы компоненты были меньше одной шестнадцатой длины волны . [8] Поскольку длина волны уменьшается с частотой, это накладывает верхний предел на частоту, которую можно охватить в этом типе конструкции. Этот предел намного ниже в механической области, чем эквивалентный предел в электрической области. Это связано с тем, что гораздо более высокие скорости распространения в электрической области приводят к более длинным длинам волн (механические колебания в стали распространяются со скоростью около 6000 м/с, [9] электромагнитные волны в обычных типах кабелей распространяются со скоростью около 2 x 10 8 м/с [10] ). Например, традиционные механические фильтры изготавливаются только до 600 кГц [11] (хотя устройства MEMS могут работать на гораздо более высоких частотах из-за их очень малого размера). В электрической области, с другой стороны, переход от модели сосредоточенных элементов к модели распределенных элементов происходит в области сотен мегагерц. [12]
В некоторых случаях можно продолжать использовать топологическую сетевую диаграмму, даже если присутствуют компоненты, требующие анализа распределенных элементов. В электрической области линия передачи , базовый компонент распределенного элемента, может быть включен в модель с введением дополнительного элемента электрической длины . [13] Линия передачи является особым случаем, поскольку она инвариантна по своей длине, и, следовательно, нет необходимости моделировать полную геометрию. [14] Другой способ работы с распределенными элементами — использовать анализ конечных элементов , при котором распределенный элемент аппроксимируется большим количеством небольших сосредоточенных элементов. Именно такой подход использовался в одной статье для моделирования улитки человеческого уха. [15] Другое условие, требуемое от электрических систем для применения модели сосредоточенных элементов, заключается в том, что за пределами компонента не существует значительных полей , поскольку они могут связываться с другими несвязанными компонентами. [16] Однако эти эффекты часто можно моделировать, вводя некоторые виртуальные сосредоточенные элементы, называемые паразитными или паразитными . [17] Аналогом этого в механических системах является вибрация в одном компоненте, связанном с несвязанным компонентом. [18]
Сопряженные по мощности переменные — это пара переменных, произведение которых равно мощности. В электрической области сопряженные по мощности переменные неизменно выбираются как напряжение ( v ) и ток ( i ). Таким образом, сопряженные по мощности переменные в механической области являются аналогами. Однако этого недостаточно, чтобы сделать выбор фундаментальных механических переменных уникальным. Обычный выбор для поступательной механической системы — это сила ( F ) и скорость ( u ), но это не единственный выбор. Другая пара может быть более подходящей для системы с другой геометрией, такой как вращательная система. [19]
Даже после выбора механических фундаментальных переменных все еще нет уникального набора аналогов. Есть два способа, которыми две пары степенных сопряженных переменных могут быть связаны друг с другом в аналогии. Например , могут быть сделаны ассоциации F с v и u с i . Однако альтернативные ассоциации u с v и F с i также возможны. Это приводит к двум классам аналогий: аналогиям импеданса и аналогиям мобильности. [20] Эти аналогии являются дуальными друг другу. Одна и та же механическая сеть имеет аналоги в двух различных электрических сетях. Эти две электрические сети являются дуальными цепями друг друга. [21]
Гамильтоновы переменные, также называемые энергетическими переменными, — это те переменные r = ( q , p ) , которые сопряжены согласно уравнениям Гамильтона : [22]
Кроме того, производные по времени гамильтоновых переменных являются степенно-сопряженными переменными.
Гамильтоновыми переменными в электрической области являются заряд ( q ) и потокосцепление (λ), поскольку,
В поступательной механической области гамильтоновыми переменными являются расстояние, смещение ( x ) и импульс ( p ), поскольку,
Существует соответствующее отношение для других аналогий и наборов переменных. [23] Гамильтоновы переменные также называются энергетическими переменными. Интегральная функция степенно сопряженной переменной относительно гамильтоновой переменной является мерой энергии. Например,
Оба являются выражениями энергии. Их также можно назвать обобщенным импульсом и обобщенным смещением по их аналогам в механической области. Некоторые авторы не одобряют эту терминологию, поскольку она не является нейтральной в отношении области. Аналогично, использование терминов I-тип и V-тип (после тока и напряжения) также не одобряется. [24]
Существует два основных класса используемых аналогий. Аналогия импеданса (также называемая аналогией Максвелла) сохраняет аналогию между механическим, акустическим и электрическим импедансом, но не сохраняет топологию сетей. Механическая сеть устроена иначе, чем ее аналогичная электрическая сеть. Аналогия мобильности (также называемая аналогией Файрстоуна) сохраняет топологии сетей за счет потери аналогии между импедансами в энергетических доменах. Существует также сквозная аналогия, также называемая аналогией Трента. Сквозная аналогия между электрическим и механическим доменами такая же, как и в аналогии мобильности. Однако аналогия между электрическим и акустическим доменами похожа на аналогию импеданса. Аналогии между механическим и акустическим доменами в сквозной аналогии имеют двойную связь как с аналогией импеданса, так и с аналогией мобильности. [25]
Для механических систем трансляции и вращения выбираются различные фундаментальные переменные, что приводит к двум вариантам для каждой из аналогий. Например, линейное расстояние является переменной смещения в системе трансляции, но это не совсем подходит для вращающихся систем, где вместо этого используется угол . Акустические аналогии также были включены в описания как третий вариант. Хотя акустическая энергия в конечном счете является механической по своей природе, в литературе она рассматривается как пример другой энергетической области, области жидкости, и имеет различные фундаментальные переменные. Аналогии между всеми тремя областями — электрической, механической и акустической — необходимы для полного представления электромеханических аудиосистем. [26]
Аналогии импеданса, также называемые аналогией Максвелла, классифицируют две переменные, составляющие сопряженную пару мощности, как переменную усилия и переменную потока . Переменная усилия в энергетической области является переменной, аналогичной силе в механической области. Переменная потока в энергетической области является переменной, аналогичной скорости в механической области. Сопряженные переменные мощности в аналоговой области выбираются так, чтобы они имели некоторое сходство с силой и скоростью. [27]
В электрической области переменная усилия — это напряжение, а переменная потока — это электрический ток. Отношение напряжения к току — это электрическое сопротивление ( закон Ома ). Отношение переменной усилия к переменной потока в других областях также описывается как сопротивление. Колеблющиеся напряжения и токи порождают концепцию электрического импеданса , когда между ними существует разность фаз. Импеданс можно рассматривать как расширение концепции сопротивления. Сопротивление связано с рассеиванием энергии. Импеданс охватывает как хранение энергии, так и рассеивание энергии.
Аналогия с импедансом порождает концепцию импеданса в других энергетических областях (но измеряемых в других единицах). [28] Аналогия с трансляционным импедансом описывает механические системы, движущиеся в одном линейном измерении, и порождает идею механического импеданса . Единицей механического импеданса является механический ом; в единицах СИ это Нс/м или кг/с. [29] Аналогия с вращательным импедансом описывает вращающиеся механические системы и порождает идею вращательного импеданса. Единицей вращательного импеданса в системе СИ является Нмс/рад. [30] Аналогия с акустическим импедансом порождает идею акустического импеданса . Единицей акустического импеданса является акустический ом ; в единицах СИ это Нс/м 5 . [31]
Аналогии мобильности, также называемые аналогией Файрстоуна, являются электрическими дуалами аналогий импеданса. То есть переменная усилия в механической области аналогична току (переменной потока) в электрической области, а переменная потока в механической области аналогична напряжению (переменной усилия) в электрической области. Электрическая сеть, представляющая механическую систему, является дуальной сетью той, что в аналогии импеданса. [33]
Аналогия мобильности характеризуется проводимостью так же, как аналогия импеданса характеризуется импедансом. Адмиттанс является алгебраической обратной величиной импеданса. В механической области механическая проводимость чаще называется мобильностью . [34]
Аналогии «через и через», также называемые аналогией Трента , классифицируют две переменные, составляющие сопряженную пару мощности, как переменную «через» и переменную «через» . Переменная «через» — это переменная, которая появляется на двух клеммах элемента. Переменная «через» измеряется относительно клемм элемента. Переменная «через» — это переменная, которая проходит через элемент или действует через него, то есть имеет одинаковое значение на обеих клеммах элемента. Преимущество аналогии «через и через» заключается в том, что когда переменная «через Гамильтона» выбирается в качестве сохраняющейся величины, можно использовать правило узлов Кирхгофа , и модель будет иметь ту же топологию, что и реальная система.
Таким образом, в электрическом домене поперечная переменная — это напряжение, а сквозная переменная — это ток. В механическом домене аналогичными переменными являются скорость и сила, как в аналогии с подвижностью. [36] В акустической системе давление является поперечной переменной, поскольку давление измеряется относительно двух клемм элемента, а не как абсолютное давление. Таким образом, оно не аналогично силе, которая является сквозной переменной, даже несмотря на то, что давление измеряется в единицах силы на площадь. Силы действуют через элемент; стержень с силой, приложенной к верхней части, будет передавать ту же силу элементу, соединенному с его нижней частью. Таким образом, в сквозной и поперечной аналогии механический домен аналогичен электрическому домену, как в аналогии с подвижностью, но акустический домен аналогичен электрическому домену, как в аналогии с импедансом. [37]
Электрическая аналогия может быть распространена на многие другие энергетические домены. В области датчиков и исполнительных механизмов , а также для систем управления, использующих их, общепринятым методом анализа является разработка электрической аналогии всей системы. Поскольку датчики могут воспринимать переменную в любом энергетическом домене, и, аналогично, выходы системы могут быть в любом энергетическом домене, требуются аналогии для всех энергетических доменов. В следующей таблице дается сводка наиболее распространенных сопряженных по мощности переменных, используемых для формирования аналогий. [39]
Возможно, в тепловой области более распространено выбирать температуру и тепловую мощность в качестве фундаментальных переменных, поскольку, в отличие от энтропии, их можно измерить напрямую. Концепция теплового сопротивления основана на этой аналогии. Однако они не являются сопряженными по мощности переменными и не полностью совместимы с другими переменными в таблице. Интегрированная электрическая аналогия в нескольких областях, включающая эту тепловую аналогию, не будет правильно моделировать потоки энергии. [41]
Аналогично, обычно встречающаяся аналогия, использующая МДС и магнитный поток в качестве фундаментальных переменных, которая приводит к концепции магнитного сопротивления , некорректно моделирует поток энергии. Пара переменных МДС и магнитный поток не является сопряженной парой мощности. Эту модель сопротивления иногда называют моделью сопротивления-сопротивления, поскольку она делает эти две величины аналогичными. Аналогия, показанная в таблице, которая использует сопряженную пару мощности, иногда называется моделью гиратора-конденсатора . [42]
Преобразователь — это устройство , которое берет энергию из одного домена в качестве входного сигнала и преобразует ее в другой энергетический домен в качестве выходного сигнала. Они часто являются обратимыми, но редко используются таким образом. Преобразователи имеют множество применений и существуют во многих видах, в электромеханических системах они могут использоваться в качестве приводов и датчиков. В аудиоэлектронике они обеспечивают преобразование между электрическими и акустическими доменами. Преобразователь обеспечивает связь между механическими и электрическими доменами, и поэтому для него требуется сетевое представление, чтобы разработать единую электрическую аналогию. [43] Для этого концепция порта из электрического домена распространяется на другие домены. [44]
Преобразователи имеют (по крайней мере [примечание 5] ) два порта, один порт в механической области и один в электрической области, и аналогичны электрическим двухпортовым сетям . Это следует сравнить с элементами, обсуждавшимися до сих пор, которые все являются однопортовыми. Двухпортовые сети можно представить в виде матрицы 2×2 или, что эквивалентно, в виде сети из двух зависимых генераторов и двух импедансов или проводимостей. Существует шесть канонических форм этих представлений: параметры импеданса , параметры цепи , гибридные параметры и их обратные . Любой из них может быть использован. Однако представление пассивного преобразователя, преобразующего между аналогичными переменными (например, переменную усилия в другую переменную усилия в аналогии с импедансом), можно упростить, заменив зависимые генераторы трансформатором . [ 45]
С другой стороны, преобразователь, преобразующий неаналоговые сопряженные по мощности переменные, не может быть представлен трансформатором. Двухпортовый элемент в электрической области, который делает это, называется гиратором . Это устройство преобразует напряжения в токи и токи в напряжения. По аналогии, преобразователь, преобразующий неаналоговые переменные между энергетическими областями, также называется гиратором. Например, электромагнитные преобразователи преобразуют ток в силу, а скорость в напряжение. [46] В аналогии с импедансом такой преобразователь является гиратором. [47] Является ли преобразователь гиратором или трансформатором, связано с аналогией; тот же электромагнитный преобразователь в аналогии с подвижностью является трансформатором, потому что он преобразует между аналогичными переменными. [48]
Джеймс Клерк Максвелл разработал очень подробные механические аналогии электрических явлений. Он был первым, кто связал силу с напряжением (1873) и, следовательно, ему обычно приписывают создание аналогии импеданса. [49] Это была самая ранняя механико-электрическая аналогия. [50] Однако термин импеданс был введен только в 1886 году, намного позже смерти Максвелла, Оливером Хевисайдом . [51] Идея комплексного импеданса была введена Артуром Э. Кеннелли в 1893 году, а концепция импеданса не была распространена на механическую область до 1920 года Кеннелли и Артуром Гордоном Вебстером . [52]
Целью Максвелла при построении этой аналогии было не представление механических систем в терминах электрических сетей. Скорее, это было объяснение электрических явлений в более привычных механических терминах. [53] Когда Джордж Эшли Кэмпбелл впервые продемонстрировал использование нагрузочных катушек для улучшения телефонных линий в 1899 году, он рассчитал необходимое расстояние между катушками по аналогии с работой Чарльза Годфри по механическим линиям, нагруженным периодическими грузами. [54] По мере того, как электрические явления становились более понятными, обратная сторона этой аналогии, использование электрических аналогий для объяснения механических систем, начала становиться все более распространенной. Действительно, абстрактная топология сосредоточенных элементов электрического анализа может многое предложить для решения проблем в области механики и других энергетических областей, если на то пошло. К 1900 году электрическая аналогия механической области стала обычным явлением. Примерно с 1920 года электрическая аналогия стала стандартным инструментом анализа. Ванневар Буш был пионером этого вида моделирования в своей разработке аналоговых компьютеров , и последовательное представление этого метода было представлено в статье 1925 года Клиффорда А. Никла. [55]
Применение анализа электрических сетей , особенно недавно разработанной области теории фильтров , к механическим и акустическим системам привело к огромным улучшениям в производительности. По словам Уоррена П. Мейсона, эффективность судовых электрических горнов выросла с менее чем одного процента до 50 процентов. Полоса пропускания механических фонографов выросла с трех до пяти октав , когда механические части передачи звука были спроектированы так, как если бы они были элементами электрического фильтра ( см. также Механический фильтр § Воспроизведение звука ). Примечательно, что эффективность преобразования была улучшена в то же время (обычная ситуация с усилительными системами заключается в том, что усиление можно обменять на полосу пропускания таким образом, что произведение усиления на полосу пропускания остается постоянным). [56]
В 1933 году Флойд А. Файрстоун предложил новую аналогию, аналогию мобильности, в которой сила аналогична току вместо напряжения. Файрстоун ввел концепцию сквозных переменных в этой статье и представил структуру для расширения аналогии на другие энергетические области. [57] Разновидность аналогии сила-ток была предложена Хорасом М. Трентом в 1955 году, и именно эта версия обычно подразумевается под сквозной аналогией. [58] Трент использовал метод линейного графика для представления сетей, что привело к тому, что аналогия сила-ток исторически ассоциируется с линейными графами. Аналогия сила-напряжение исторически используется с представлениями графа связей, введенными в 1960 году Генри Пейнтером , однако, при желании можно использовать любую аналогию с любым представлением. [59]
