В алгебраической геометрии программа минимальной модели является частью бирациональной классификации алгебраических многообразий . Ее цель — построить бирациональную модель любого комплексного проективного многообразия , которая является максимально простой. Предмет берет свое начало в классической бирациональной геометрии поверхностей, изучаемой итальянской школой , и в настоящее время является активной областью исследований в алгебраической геометрии.
Основная идея теории заключается в упрощении бирациональной классификации многообразий путем нахождения в каждом классе бирациональной эквивалентности многообразия, которое является "настолько простым, насколько это возможно". Точное значение этой фразы развивалось с развитием предмета; первоначально для поверхностей это означало нахождение гладкого многообразия, для которого любой бирациональный морфизм с гладкой поверхностью является изоморфизмом .
В современной формулировке цель теории такова. Предположим, что нам дано проективное многообразие , которое для простоты предполагается несингулярным. Существуют два случая, основанные на его размерности Кодаиры , : [1]
Вопрос о том, являются ли многообразия и , представленные выше, неособыми, является важным. Кажется естественным надеяться, что если мы начнем с гладких , то мы всегда сможем найти минимальную модель или пространство расслоения Фано внутри категории гладких многообразий. Однако это не так, и поэтому становится необходимым рассмотреть также особые многообразия. Появляющиеся особенности называются терминальными особенностями .
Каждая неприводимая комплексная алгебраическая кривая бирациональна единственной гладкой проективной кривой, поэтому теория кривых тривиальна. Случай поверхностей был впервые исследован геометрами итальянской школы около 1900 года; теорема о стягивании Гвидо Кастельнуово по сути описывает процесс построения минимальной модели любой поверхности. Теорема утверждает, что любой нетривиальный бирациональный морфизм должен стягивать −1-кривую до гладкой точки, и наоборот, любая такая кривая может быть гладко стянута. Здесь −1-кривая является гладкой рациональной кривой C с самопересечением Любая такая кривая должна иметь что показывает, что если канонический класс nef, то поверхность не имеет −1-кривых.
Теорема Кастельнуово подразумевает, что для построения минимальной модели для гладкой поверхности мы просто стягиваем все −1-кривые на поверхности, и полученное многообразие Y является либо (уникальной) минимальной моделью с K nef, либо линейчатой поверхностью (которая совпадает с двумерным расслоением Фано и является либо проективной плоскостью, либо линейчатой поверхностью над кривой). Во втором случае линейчатая поверхность, бирациональная X, не является единственной, хотя существует единственная, изоморфная произведению проективной прямой и кривой. Несколько тонкий момент заключается в том, что даже если поверхность может иметь бесконечно много −1-кривых, нужно стянуть только конечное их число, чтобы получить поверхность без −1-кривых.
В размерностях больше 2 теория становится гораздо более запутанной. В частности, существуют гладкие многообразия , которые не являются бирациональными ни одному гладкому многообразию с nef каноническим классом . Главным концептуальным достижением 1970-х и начала 1980-х годов было то, что построение минимальных моделей все еще осуществимо, при условии, что мы внимательно относимся к типам возникающих особенностей. (Например, мы хотим решить, является ли nef, поэтому должны быть определены числа пересечений . Следовательно, по крайней мере, наши многообразия должны быть делителем Картье для некоторого положительного целого числа .)
Первым ключевым результатом является теорема о конусе Сигефуми Мори , описывающая структуру конуса кривых . Вкратце, теорема показывает, что, начиная с , можно индуктивно построить последовательность многообразий , каждое из которых «ближе» предыдущего к наличию nef . Однако этот процесс может столкнуться с трудностями: в какой-то момент многообразие может стать «слишком сингулярным». Предполагаемым решением этой проблемы является переворот , своего рода операция хирургии коразмерности 2 на . Неясно, существуют ли требуемые перевороты и всегда ли они заканчиваются (то есть достигается ли минимальная модель за конечное число шагов). Мори (1988) показал, что перевороты существуют в трехмерном случае.
Существование более общих лог-флипов было установлено Вячеславом Шокуровым в размерностях три и четыре. Впоследствии это было обобщено на более высокие размерности Кошером Биркаром , Паоло Кашини, Кристофером Хаконом и Джеймсом МакКернаном, опирающимися на более ранние работы Шокурова и Хакона, и МакКернана. Они также доказали несколько других проблем, включая конечную генерацию лог-канонических колец и существование минимальных моделей для многообразий лог-общего типа.
Проблема прекращения переворотов логов в более высоких измерениях остается предметом активных исследований.
