Многоиндексная нотация

Математическая нотация

Многоиндексная нотация — это математическая нотация , которая упрощает формулы, используемые в многомерном исчислении , уравнениях в частных производных и теории распределений , путем обобщения концепции целочисленного индекса до упорядоченного кортежа индексов.

Определение и основные свойства

N - мерный мультииндекс — это кортеж ${\textstyle n}$

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

неотрицательных целых чисел ( т.е. элемент -мерного множества натуральных чисел , обозначаемого ). ${\textstyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$

Для мультииндексов и определяется: ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

Покомпонентная сумма и разность

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

Частичный заказ

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Сумма компонентов (абсолютное значение)

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

Факториал

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

Биномиальный коэффициент

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}$

Мультиномиальный коэффициент

$${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}$$где . ${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$

Власть

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$.

Частная производная высшего порядка

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}$$где (см. также 4-градиент ). Иногда также используется обозначение . ^[1] ${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$

Некоторые приложения

Многоиндексная нотация позволяет расширить многие формулы из элементарного исчисления до соответствующего многомерного случая. Ниже приведены некоторые примеры. Во всех последующих случаях (или ), и (или ). ${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Теорема о многочлене

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

Мультибиномиальная теорема

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$Обратите внимание, что поскольку x + y — вектор, а α — мультииндекс, выражение слева является сокращением для ( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ⋯( x _n + y _n ) ^{α _n} .

формула Лейбница

Для плавных функций и , ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$$

ряд Тейлора

Для аналитической функции в переменных имеем Фактически, для достаточно гладкой функции мы имеем похожее разложение Тейлора , где последний член (остаток) зависит от точной версии формулы Тейлора. Например, для формулы Коши (с интегральным остатком) получаем ${\textstyle f}$ ${\textstyle n}$ $${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}$$ $${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}$$ $${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}$$

Общий линейный оператор дифференцирования в частных производных

Формальный линейный частный дифференциальный оператор -го порядка в переменных записывается как ${\textstyle N}$ ${\textstyle n}$ $${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$$

Интеграция по частям

Для гладких функций с компактным носителем в ограниченной области имеем Эта формула используется для определения распределений и слабых производных . ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$$

Пример теоремы

Если являются мультииндексами и , то ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Доказательство

Доказательство следует из правила мощности для обычной производной : если α и β находятся в , то ${\textstyle \{0,1,2,\ldots \}}$

Предположим , , и . Тогда имеем, что ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}$$

Для каждого из функция зависит только от . В приведенном выше примере каждое частное дифференцирование сводится к соответствующему обычному дифференцированию . Следовательно, из уравнения ( 1 ) следует, что обращается в нуль, если хотя бы для одного из . Если это не так, т.е. если в качестве мультииндексов, то для каждого и следует теорема. ЧТЭ ${\textstyle i}$ ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle d/dx_{i}}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}$ ${\textstyle \alpha _{i}>\beta _{i}}$ ${\textstyle i}$ ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\textstyle \alpha \leq \beta }$ $${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}$$ ${\displaystyle i}$

Смотрите также

• Обозначение Эйнштейна
• Индексная нотация
• исчисление Риччи

Ссылки

1. Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: функциональный анализ I (пересмотренное и дополненное издание). Сан-Диего: Academic Press. стр. 319. ISBN 0-12-585050-6.

• Saint Raymond, Xavier (1991). Элементарное введение в теорию псевдодифференциальных операторов . Глава 1.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9 

В данной статье использованы материалы из многоиндексной производной от степени PlanetMath , лицензированной по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .