Равносторонний многоугольник

Многоугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину

В геометрии равносторонний многоугольник — это многоугольник , все стороны которого имеют одинаковую длину. За исключением случая треугольника , равносторонний многоугольник не обязательно должен быть равноугольным (иметь все углы равными), но если это так, то он является правильным многоугольником . Если количество сторон не менее четырех, равносторонний многоугольник не обязательно должен быть выпуклым многоугольником : он может быть вогнутым или даже самопересекающимся .

Примеры

Все правильные многоугольники и реберно-транзитивные многоугольники являются равносторонними. Когда равносторонний многоугольник не пересекается и является циклическим (его вершины находятся на окружности), он должен быть правильным. Равносторонний четырехугольник должен быть выпуклым; этот многоугольник является ромбом (возможно, квадратом ).

Выпуклый равносторонний пятиугольник может быть описан двумя последовательными углами, которые вместе определяют другие углы. Однако равносторонние пятиугольники и равносторонние многоугольники с более чем пятью сторонами могут быть также вогнутыми, и если допускаются вогнутые пятиугольники, то двух углов уже недостаточно для определения формы пятиугольника.

Касательный многоугольник (тот, который имеет вписанную окружность , касающуюся всех его сторон) является равносторонним тогда и только тогда, когда чередующиеся углы равны (то есть углы 1, 3, 5, ... равны и углы 2, 4, ... равны). Таким образом, если число сторон n нечетно, касательный многоугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда он правильный. ^[1]

Измерение

Теорема Вивиани обобщается на равносторонние многоугольники: ^[2] Сумма перпендикулярных расстояний от внутренней точки до сторон равностороннего многоугольника не зависит от местоположения внутренней точки.

Главные диагонали шестиугольника делят его на четырехугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной a существует главная диагональ d 1 _такая , что ^[3]

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leq 2}$

и главная диагональ d ₂ такая, что

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}}$.

Оптимальность

Четыре пентадекагона Рейнхардта

Когда равносторонний многоугольник вписан в многоугольник Рёло , он образует многоугольник Рейнхардта . Среди всех выпуклых многоугольников с одинаковым числом сторон эти многоугольники имеют наибольший возможный периметр для своего диаметра , наибольшую возможную ширину для своего диаметра и наибольшую возможную ширину для своего периметра. ^[4]

Ссылки

1. Де Вильерс, Майкл (март 2011 г.), «Равноугольные вписанные и равносторонние описанные многоугольники» (PDF) , Mathematical Gazette , 95 : 102–107, doi :10.1017/S0025557200002461, заархивировано из оригинала (PDF) 2016-03-03 , извлечено 2015-04-29.
2. De Villiers, Michael (2012), «Иллюстрация объяснительных и открывающих функций доказательства», Leonardo , 33 (3): 1–8, doi : 10.4102/pythagoras.v33i3.193 , объясняя (доказывая) теорему Вивиани для равностороннего треугольника, определяя площадь трех треугольников, на которые он разделен, и отмечая «общий множитель» равных сторон этих треугольников как оснований, можно сразу увидеть, что результат обобщается на любой равносторонний многоугольник..
3. Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [1], стр.184, № 286.3.
4. Заяц, Кевин Г.; Моссингхофф, Майкл Дж. (2019), «Большинство полигонов Рейнхардта являются спорадическими», Geometriae Dedicata , 198 : 1–18, arXiv : 1405.5233 , doi : 10.1007/s10711-018-0326-5, MR  3933447, S2CID  11962909 8

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Равносторонние многоугольники на Wikimedia Commons
• Равносторонний треугольник С интерактивной анимацией
• Свойство равноугольных многоугольников: о чем оно? обсуждение теоремы Вивиани на Cut-the-knot .