В теории поля , разделе математики , минимальный многочлен элемента α поля расширения поля — это, грубо говоря, многочлен наименьшей степени , имеющий коэффициенты в меньшем поле, такой, что α является корнем многочлена. Если минимальный многочлен α существует, он уникален. Коэффициент члена наибольшей степени в многочлене должен быть равен 1.
Более формально минимальный многочлен определяется относительно расширения поля E / F и элемента поля расширения E / F . Минимальный многочлен элемента, если он существует, является членом F [ x ] , кольца многочленов от переменной x с коэффициентами в F . Для данного элемента α из E пусть J α будет множеством всех многочленов f ( x ) из F [ x ] таких, что f ( α ) = 0 . Элемент α называется корнем или нулем каждого многочлена из J α
Более конкретно, J α является ядром кольцевого гомоморфизма из F [ x ] в E , который переводит многочлены g в их значение g ( α ) в элементе α . Поскольку это ядро кольцевого гомоморфизма, J α является идеалом кольца многочленов F [ x ]: оно замкнуто относительно сложения и вычитания многочленов (следовательно, содержит нулевой многочлен), а также относительно умножения на элементы F (что является скалярным умножением, если F [ x ] рассматривается как векторное пространство над F ).
Нулевой многочлен, все коэффициенты которого равны 0, содержится в каждом J α , так как 0 α i = 0 для всех α и i . Это делает нулевой многочлен бесполезным для классификации различных значений α по типам, поэтому он исключается. Если в J α есть какие-либо ненулевые многочлены , т. е. если последний не является нулевым идеалом, то α называется алгебраическим элементом над F , и существует монический многочлен наименьшей степени в J α . Это минимальный многочлен α относительно E / F . Он уникален и неприводим над F . Если нулевой многочлен является единственным членом J α , то α называется трансцендентным элементом над F и не имеет минимального многочлена относительно E / F .
Минимальные многочлены полезны для построения и анализа расширений полей. Когда α является алгебраическим с минимальным многочленом f ( x ) , наименьшее поле, содержащее как F , так и α , изоморфно фактор - кольцу F [ x ]/⟨ f ( x )⟩ , где ⟨ f ( x )⟩ — идеал F [ x ], порожденный f ( x ) . Минимальные многочлены также используются для определения сопряженных элементов .
Пусть E / F — расширение поля , α — элемент E , а F [ x ] — кольцо многочленов от x над F . Элемент α имеет минимальный многочлен, когда α является алгебраическим над F , то есть когда f ( α ) = 0 для некоторого ненулевого многочлена f ( x ) из F [ x ]. Тогда минимальный многочлен α определяется как монический многочлен наименьшей степени среди всех многочленов из F [ x ], имеющих α в качестве корня.
В этом разделе пусть E / F — расширение поля над F , как указано выше, пусть α ∈ E — алгебраический элемент над F , а J α — идеал многочленов, обращающихся в нуль на α .
Минимальный многочлен f от α единствен.
Чтобы доказать это, предположим, что f и g являются моническими многочленами в J α минимальной степени n > 0. Мы имеем, что r := f − g ∈ J α (потому что последний замкнут относительно сложения/вычитания) и что m := deg( r ) < n (потому что многочлены являются моническими одной и той же степени). Если r не равно нулю, то r / c m (записывая c m ∈ F для ненулевого коэффициента старшей степени в r ) является моническим многочленом степени m < n таким, что r / c m ∈ J α (потому что последний замкнут относительно умножения/деления на ненулевые элементы F ), что противоречит нашему первоначальному предположению о минимальности для n . Мы заключаем, что 0 = r = f − g , т.е. что f = g .
Минимальный многочлен f от α неприводим, т.е. его нельзя разложить на множители как f = gh для двух многочленов g и h строго меньшей степени.
Чтобы доказать это, сначала заметим, что любая факторизация f = gh подразумевает, что либо g ( α ) = 0, либо h ( α ) = 0, поскольку f ( α ) = 0, а F является полем (следовательно, также областью целостности ). Выбор g и h в качестве строго более низких степеней, чем f , тогда противоречил бы требованию минимальности для f , поэтому f должен быть неприводимым.
Минимальный многочлен f от α порождает идеал J α , т.е. каждый g из J α может быть разложен как g=fh для некоторого h' из F [ x ].
Чтобы доказать это, достаточно заметить, что F [ x ] является областью главных идеалов , поскольку F является полем: это означает, что каждый идеал I в F [ x ], J α среди них, порождается одним элементом f . За исключением нулевого идеала I = {0}, генератор f должен быть ненулевым и должен быть единственным многочленом минимальной степени с точностью до множителя в F (потому что степень fg строго больше, чем у f , когда g имеет степень больше нуля). В частности, существует единственный монический генератор f , и все генераторы должны быть неприводимыми. Когда I выбрано равным J α , для α алгебраического над F , то монический генератор f является минимальным многочленом α .
При наличии расширения поля Галуа минимальный многочлен любого не в может быть вычислен как
если не имеет стабилизаторов в действии Галуа. Поскольку он неприводим, что можно вывести, посмотрев на корни , он является минимальным многочленом. Обратите внимание, что такую же формулу можно найти, заменив на , где — группа стабилизаторов . Например, если , то его стабилизатор — , следовательно, — его минимальный многочлен.
Если F = Q , E = R , α = √ 2 , то минимальный многочлен для α равен a ( x ) = x 2 − 2. Базовое поле F важно, поскольку оно определяет возможности коэффициентов a ( x ). Например, если мы возьмем F = R , то минимальный многочлен для α = √ 2 равен a ( x ) = x − √ 2 .
В общем случае для квадратичного расширения, заданного свободным от квадратов , вычисление минимального многочлена элемента может быть найдено с помощью теории Галуа. Тогда
в частности, это подразумевает и . Это можно использовать для определения через ряд отношений с использованием модульной арифметики .
Если α = √ 2 + √ 3 , то минимальный многочлен в Q [ x ] равен a ( x ) = x 4 − 10 x 2 + 1 = ( x − √ 2 − √ 3 )( x + √ 2 − √ 3 )( x − √ 2 + √ 3 )( x + √ 2 + √ 3 ).
Обратите внимание, если тогда действие Галуа на стабилизируется . Следовательно, минимальный многочлен можно найти с помощью фактор-группы .
Минимальные многочлены в Q [ x ] корней из единицы являются циклотомическими многочленами . Корни минимального многочлена 2cos(2pi/n) являются удвоенной действительной частью примитивных корней из единицы.
Минимальный многочлен в Q [ x ] суммы квадратных корней первых n простых чисел строится аналогично и называется многочленом Суиннертона-Дайера .
