Полиномы Гегенбауэра

Полиномиальная последовательность

В математике полиномы Гегенбауэра или ультрасферические полиномы C^(α)
_н( x ) являются ортогональными многочленами на интервале [−1,1] относительно весовой функции (1 −  x ² ) ^{α –1/2} . Они обобщают многочлены Лежандра и многочлены Чебышёва и являются частными случаями многочленов Якоби . Они названы в честь Леопольда Гегенбауэра .

Характеристика

• 
  График полинома Гегенбауэра C n^(m)(x) при n=10 и m=1 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
• 
  Полиномы Гегенбауэра с α =1
• 
  Полиномы Гегенбауэра с α =2
• 
  Полиномы Гегенбауэра с α =3
• 
  Анимация, демонстрирующая полиномы на плоскости xα для первых 4 значений n .

Доступны различные характеристики полиномов Гегенбауэра.

• Полиномы можно определить через их производящую функцию (Stein & Weiss 1971, §IV.2):

${\displaystyle {\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\qquad (0\leq |x|<1,|t|\leq 1,\alpha >0)}$

• Полиномы удовлетворяют рекуррентному соотношению (Суетин 2001):

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\(n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)&=2(n+\alpha )xC_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{aligned}}}$

• Полиномы Гегенбауэра являются частными решениями дифференциального уравнения Гегенбауэра (Суетин, 2001):

${\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,}$

При α  = 1/2 уравнение сводится к уравнению Лежандра, а полиномы Гегенбауэра сводятся к полиномам Лежандра .

При α  = 1 уравнение сводится к дифференциальному уравнению Чебышева , а полиномы Гегенбауэра сводятся к полиномам Чебышева второго рода. ^[1]

• В некоторых случаях, когда ряд фактически конечен, они задаются как гипергеометрический ряд Гаусса :

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).}$

(Абрамовиц и Стиган, стр. 561). Здесь (2α) _n — это растущий факториал . Явно,

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}$

Отсюда также легко получить значение единичного аргумента:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha )n!}}.}$

• Они являются частными случаями полиномов Якоби (Суетин 2001):

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}$

в котором представляет собой возрастающий факториал числа . ${\displaystyle (\theta )_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$

Поэтому также имеет место формула Родригеса

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}$

Ортогональность и нормализация

Для фиксированного α > -1/2 полиномы ортогональны на [−1, 1] относительно весовой функции (Абрамовиц и Стеган, стр. 774)

${\displaystyle w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.}$

А именно, при n  ≠  m ,

${\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.}$

Они нормализуются по

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}$

Приложения

Полиномы Гегенбауэра естественным образом появляются как расширения полиномов Лежандра в контексте теории потенциала и гармонического анализа . Ньютоновский потенциал в R ⁿ имеет расширение, справедливое при α = ( n  − 2)/2,

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}}).}$

При n  = 3 это дает полиномиальное разложение Лежандра гравитационного потенциала . Аналогичные выражения доступны для разложения ядра Пуассона в шаре (Stein & Weiss 1971).

Из этого следует, что величины являются сферическими гармониками , если рассматривать их как функцию только x . Они, по сути, являются в точности зональными сферическими гармониками , с точностью до нормирующей константы. ${\displaystyle C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$

Полиномы Гегенбауэра также появляются в теории положительно-определенных функций .

Неравенство Аски –Гаспера имеет вид

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).}$

В спектральных методах решения дифференциальных уравнений, если функция разлагается в базисе полиномов Чебышева и ее производная представлена ​​в базисе Гегенбауэра/ультрасферическом базисе, то оператор производной становится диагональной матрицей , что приводит к быстрым методам ленточных матриц для больших задач. ^[2]

Смотрите также

• Полиномы Роджерса , q -аналог полиномов Гегенбауэра
• полиномы Чебышева
• Полиномы Романовского

Ссылки

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.* Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Ортогональные многочлены", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Стайн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Суетин, П.К. (2001) [1994], «Ультрасферические полиномы», Энциклопедия математики , EMS Press.

Специфический

1. Арфкен, Вебер и Харрис (2013) «Математические методы для физиков», 7-е издание; гл. 18.4
2. Олвер, Шихан; Таунсенд, Алекс (январь 2013 г.). «Быстрый и хорошо обусловленный спектральный метод». Обзор SIAM . 55 (3): 462–489. arXiv : 1202.1347 . doi : 10.1137/120865458. eISSN  1095-7200. ISSN  0036-1445.