Полиномы Цернике

Полиномиальная последовательность

Первые 21 полином Цернике, упорядоченные по вертикали в соответствии с радиальной степенью и по горизонтали в соответствии с азимутальной степенью

В математике полиномы Цернике представляют собой последовательность полиномов , ортогональных на единичном круге . Названные в честь физика-оптика Фрица Цернике , лауреата Нобелевской премии по физике 1953 года и изобретателя фазово-контрастной микроскопии , они играют важную роль в различных разделах оптики , таких как лучевая оптика и визуализация. ^{[1] [2]}

Определения

Существуют четные и нечетные полиномы Цернике. Четные полиномы Цернике определяются как

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!}$

(четная функция по азимутальному углу ), а нечетные полиномы Цернике определяются как ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),\!}$

(нечетная функция по азимутальному углу ), где m и n — неотрицательные целые числа с n ≥ m ≥ 0 ( m = 0 для сферических полиномов Цернике), — азимутальный угол , ρ — радиальное расстояние , а — радиальные полиномы, определенные ниже. Полиномы Цернике обладают свойством быть ограниченными диапазоном от −1 до +1, т. е . Радиальные полиномы определяются как ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ ${\displaystyle |Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2k}}$

для четного числа n − m , в то время как для нечетного числа n − m он равен 0. Особое значение —

${\displaystyle R_{n}^{m}(1)=1.}$

Другие представления

Переписывая отношения факториалов в радиальной части в виде произведений биномов, мы видим, что коэффициенты являются целыми числами:

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}}$.

Обозначение в виде терминальных гауссовых гипергеометрических функций полезно для выявления рекуррентных связей, демонстрации того, что они являются частными случаями полиномов Якоби , для записи дифференциальных уравнений и т. д.:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})\\&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

для n − m четно.

Обратное отношение расширяется для фиксированного в ${\displaystyle \rho ^{j}}$ ${\displaystyle m\leq j}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

${\displaystyle \rho ^{j}=\sum _{n\equiv m{\pmod {2}}}^{j}h_{j,n,m}R_{n}^{m}(\rho )}$

с рациональными коэффициентами ^[3] ${\displaystyle h_{j,n,m}}$

${\displaystyle h_{j,n,m}={\frac {n+1}{1+{\frac {j+n}{2}}}}{\frac {\binom {(j-m)/2}{(n-m)/2}}{\binom {(j+n)/2}{(n-m)/2}}}}$

для четных . ${\displaystyle j-m=0,2,4,\ldots }$

Фактор в радиальном многочлене может быть разложен в базисе Бернштейна для четных или умножен на функцию для нечетных в диапазоне . Радиальный многочлен может быть выражен конечным числом многочленов Бернштейна с рациональными коэффициентами: ${\displaystyle \rho ^{n-2k}}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$ ${\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}$

Последовательные индексы Нолла

Приложения часто включают линейную алгебру, где интеграл по произведению полиномов Цернике и некоторого другого фактора строит матричные элементы. Чтобы перечислить строки и столбцы этих матриц по одному индексу, Ноллом было введено обычное отображение двух индексов n и l в один индекс j . ^[4] Таблица этой ассоциации начинается следующим образом (последовательность A176988 в OEIS ). ${\displaystyle Z_{n}^{l}\rightarrow Z_{j}}$ ${\displaystyle j={\frac {n(n+1)}{2}}+|l|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&l>0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&l<0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&l\geq 0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&l\leq 0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}$

Правило следующее.

• Четные полиномы Цернике Z (с четными азимутальными частями , где as — положительное число) получают четные индексы j. ${\displaystyle \cos(m\varphi )}$ ${\displaystyle m=l}$ ${\displaystyle l}$
• Нечетное Z получает (с нечетными азимутальными частями , где as — отрицательное число) нечетные индексы j . ${\displaystyle \sin(m\varphi )}$ ${\displaystyle m=\left\vert l\right\vert }$ ${\displaystyle l}$
• В пределах заданного n меньшее значение приводит к меньшему значению  j . ${\displaystyle \left\vert l\right\vert }$

Стандартные индексы OSA/ANSI

Одноиндексные полиномы Цернике OSA ^[5] и ANSI с использованием:

${\displaystyle j={\frac {n(n+2)+l}{2}}}$

Индексы Fringe/Университета Аризоны

Схема индексации Fringe используется в коммерческом программном обеспечении для оптического проектирования и оптического тестирования, например, в фотолитографии . ^{[6] [7]}

${\displaystyle j=\left(1+{\frac {n+|l|}{2}}\right)^{2}-2|l|+\left\lfloor {\frac {1-\operatorname {sgn} l}{2}}\right\rfloor }$

где - знаковая или signum функция . Ниже перечислены первые 20 чисел полосы. ${\displaystyle \operatorname {sgn} l}$

индексы Вайанта

Джеймс С. Уайант использует схему индексации «Fringe», за исключением того, что она начинается с 0 вместо 1 (вычитание 1). ^[8] Этот метод широко используется, включая программное обеспечение для анализа интерферограмм в интерферометрах Zygo и программное обеспечение с открытым исходным кодом DFTFringe.

Формула Родригеса

Они удовлетворяют формуле Родригеса

${\displaystyle Z_{n}^{m}(x)={\frac {x^{-m}}{\left({\frac {n-m}{2}}\right)!}}\left({\frac {d}{d\left(x^{2}\right)}}\right)^{\frac {n-m}{2}}\left[x^{n+m}\left(x^{2}-1\right)^{\frac {n-m}{2}}\right]}$

и может быть связана с полиномами Якоби как

${\displaystyle Z_{n}^{m}(x)=x^{m}{\frac {P_{\frac {n-m}{2}}^{(0,m)}\left(2x^{2}-1\right)}{P_{\frac {n-m}{2}}^{(0,m)}(1)}}}$.

Характеристики

Ортогональность

Ортогональность в радиальной части имеет вид ^[9]

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,\rho d\rho =\delta _{n,n'}}$

или

${\displaystyle {\underset {0}{\overset {1}{\mathop {\int } }}}\,R_{n}^{m}(\rho )R_{{n}'}^{m}(\rho )\rho d\rho ={\frac {{\delta }_{n,{n}'}}{2n+2}}.}$

Ортогональность в угловой части представлена ​​элементарными

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{m,m'},}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =\pi \delta _{m,m'};\quad m\neq 0,}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,}$

где (иногда называемый фактором Неймана , поскольку он часто появляется вместе с функциями Бесселя) определяется как 2, если и 1, если . Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике относительно обоих индексов, если интегрировано по единичному кругу, ${\displaystyle \epsilon _{m}}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m\neq 0}$

${\displaystyle \int Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{l'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{l}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{l,l'},}$

где — якобиан круговой системы координат, причем и — оба четные. ${\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi }$ ${\displaystyle n-l}$ ${\displaystyle n'-l'}$

Преобразование Зернике

Любое достаточно гладкое действительное фазовое поле над единичным кругом может быть представлено в терминах его коэффициентов Цернике (четных и нечетных), так же как периодические функции находят ортогональное представление с помощью ряда Фурье . Имеем ${\displaystyle G(\rho ,\varphi )}$

${\displaystyle G(\rho ,\varphi )=\sum _{m,n}\left[a_{m,n}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )+b_{m,n}Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right],}$

где коэффициенты могут быть вычислены с использованием внутренних произведений . В пространстве функций на единичном круге существует внутреннее произведение, определяемое как ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle F,G\rangle :=\int F(\rho ,\varphi )G(\rho ,\varphi )\rho d\rho d\varphi .}$

Коэффициенты Цернике тогда можно выразить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )\right\rangle ,\\b_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right\rangle .\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы можно использовать известные значения фазовой функции G на круговой сетке для формирования системы уравнений. Фазовая функция извлекается с помощью взвешенного произведения неизвестного коэффициента с (известными значениями) полинома Цернике по единичной сетке. Следовательно, коэффициенты также могут быть найдены путем решения линейной системы, например, путем обращения матрицы. Быстрые алгоритмы для вычисления прямого и обратного преобразования Цернике используют свойства симметрии тригонометрических функций , разделимость радиальных и азимутальных частей полиномов Цернике и их вращательные симметрии.

Симметрии

Отражения тригонометрических функций приводят к тому, что четность относительно отражения вдоль оси x равна

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )}$для l ≥ 0,

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )}$для l < 0.

Сдвиги тригонометрических функций на π приводят к тому, что четность относительно отражения точки в центре координат равна

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=(-1)^{l}Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ),}$

где можно было бы также записать, потому что четные числа являются единственными случаями получения неисчезающих полиномов Цернике. (Если n четное, то l также четное. Если n нечетное, то l также нечетное.) Это свойство иногда используется для классификации полиномов Цернике на четные и нечетные полиномы с точки зрения их угловой зависимости. (также можно добавить еще одну категорию с l = 0, поскольку она имеет особое свойство отсутствия угловой зависимости.) ${\displaystyle (-1)^{l}}$ ${\displaystyle (-1)^{n}}$ ${\displaystyle n-l}$

• Углово-четные полиномы Цернике: полиномы Цернике с четным l , такие что ${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).}$
• Углово-нечетные полиномы Цернике: полиномы Цернике с нечетным l, такие что ${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).}$

Радиальные многочлены также являются либо четными, либо нечетными в зависимости от порядка n или m :

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho ).}$

Эти равенства легко увидеть, поскольку при нечетном (четном) m содержит только нечетные (четные) степени ρ (см. примеры ниже). ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

Периодичность тригонометрических функций приводит к инвариантности при повороте на кратные радианам углы вокруг центра: ${\displaystyle 2\pi /l}$

${\displaystyle Z_{n}^{l}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{l}}\right)=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .}$

Рекуррентные соотношения

Полиномы Цернике удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое не зависит ни от степени, ни от азимутального порядка радиальных полиномов: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}$

Из определения видно, что и . Следующее трехчленное рекуррентное соотношение ^[11] позволяет тогда вычислить все остальные : ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ ${\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m}}$ ${\displaystyle R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}$

Приведенное выше соотношение особенно полезно, поскольку производную можно вычислить из двух радиальных полиномов Цернике смежной степени: ^[11] ${\displaystyle R_{n}^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}}$

Дифференциальное уравнение гипергеометрической функции Гаусса эквивалентно

${\displaystyle \rho ^{2}(\rho ^{2}-1){\frac {d^{2}}{d\rho ^{2}}}R_{n}^{m}(\rho )=[n(n+2)\rho ^{2}-m^{2}]R_{n}^{m}(\rho )+\rho (1-3\rho ^{2}){\frac {d}{d\rho }}R_{n}^{m}(\rho ).}$

Примеры

Радиальные многочлены

Первые несколько радиальных многочленов:

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}$

${\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,}$

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}$

${\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}$

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.\,}$

Полиномы Цернике

Ниже показаны первые несколько мод Цернике с различными индексами. Они нормализованы так, что: , что эквивалентно . ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z^{2}\cdot \rho \,d\rho \,d\phi =\pi }$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (Z)_{\text{unit circle}}=1}$

Приложения

Результат первых 21 полиномов Цернике (как указано выше), введенных как аберрации на плосковершинном пучке. Пучок отображается линзой, осуществляющей преобразование Фурье, интенсивность которого представлена ​​на этом рисунке

Функции являются базисом, определенным над круговой опорной областью, обычно плоскостями зрачка в классическом оптическом изображении на видимых и инфракрасных длинах волн через системы линз и зеркал конечного диаметра. Их преимуществами являются простые аналитические свойства, унаследованные от простоты радиальных функций и факторизации в радиальных и азимутальных функциях; это приводит, например, к замкнутым выражениям двумерного преобразования Фурье в терминах функций Бесселя. ^{[12] [13]} Их недостатком, в частности, если задействованы высокие n , является неравномерное распределение узловых линий по единичному диску, что вносит эффекты звона вблизи периметра , что часто приводит к попыткам определить другие ортогональные функции по круговому диску. ^{[14] [15] [16]} ${\displaystyle \rho \approx 1}$

В прецизионном оптическом производстве полиномы Цернике используются для характеристики ошибок более высокого порядка, наблюдаемых в интерферометрических анализах. В датчиках наклона волнового фронта, таких как Шак-Гартман , коэффициенты Цернике волнового фронта могут быть получены путем подгонки измеренных наклонов с производными полинома Цернике, усредненными по субапертурам выборки. ^[17] В оптометрии и офтальмологии полиномы Цернике используются для описания аберраций волнового фронта роговицы или хрусталика от идеальной сферической формы, которые приводят к ошибкам рефракции . Они также широко используются в адаптивной оптике , где их можно использовать для характеристики атмосферных искажений . Очевидными приложениями для этого являются ИК- или визуальная астрономия и спутниковые изображения .

Другое применение полиномов Цернике можно найти в расширенной теории дифракции и аберраций Нийбура–Цернике.

Полиномы Цернике широко используются в качестве базисных функций моментов изображения . Поскольку полиномы Цернике ортогональны друг другу, моменты Цернике могут представлять свойства изображения без избыточности или перекрытия информации между моментами. Хотя моменты Цернике существенно зависят от масштабирования и перемещения объекта в области интереса (ROI), их величины не зависят от угла поворота объекта. ^[18] Таким образом, их можно использовать для извлечения признаков из изображений, которые описывают характеристики формы объекта. Например, моменты Цернике используются в качестве дескрипторов формы для классификации доброкачественных и злокачественных масс молочной железы ^[19] или поверхности вибрирующих дисков. ^[20] Моменты Цернике также использовались для количественной оценки формы линий клеток рака остеосаркомы на уровне отдельных клеток. ^[21] Более того, моменты Зернике использовались для раннего выявления болезни Альцгеймера путем извлечения дискриминационной информации из изображений МРТ группы людей с болезнью Альцгеймера, с легкими когнитивными нарушениями и группы здоровых людей. ^[22]

Более высокие измерения

Концепция переносится в более высокие измерения D , если многочлены в декартовых координатах преобразуются в гиперсферические координаты , , умноженные на произведение многочленов Якоби угловых переменных. В измерениях угловые переменные являются сферическими гармониками , например. Линейные комбинации степеней определяют ортогональный базис, удовлетворяющий ${\displaystyle x_{1}^{i}x_{2}^{j}\cdots x_{D}^{k}}$ ${\displaystyle \rho ^{s},s\leq D}$ ${\displaystyle D=3}$ ${\displaystyle \rho ^{s}}$ ${\displaystyle R_{n}^{(l)}(\rho )}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(\rho )R_{n'}^{(l)}(\rho )d\rho =\delta _{n,n'}}$.

(Обратите внимание, что здесь фактор включен в определение R , тогда как при нормализации он выбирается немного иначе. Это в значительной степени дело вкуса, зависящее от того, желаете ли вы сохранить целочисленный набор коэффициентов или предпочитаете более строгие формулы, если задействована ортогонализация.) Явное представление имеет вид ^[3] ${\displaystyle {\sqrt {2n+D}}}$ ${\displaystyle D=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{(l)}(\rho )&={\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{n-s-1+{\tfrac {D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{n-2s}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{s-1+{\tfrac {n+l+D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{2s+l}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}{{\tfrac {n+l+D}{2}}-1 \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{l}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n-l}{2}},{\tfrac {n+l+D}{2}};l+{\tfrac {D}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

для четных , в противном случае тождественно нулю. ${\displaystyle n-l\geq 0}$

Смотрите также

• Полиномы Якоби
• Теория Нийбура–Цернике
• Псевдо-полиномы Цернике

Ссылки

1. Зернике, Ф. (1934). «Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode». Физика . 1 (8): 689–704. Бибкод : 1934Phy.....1..689Z. дои : 10.1016/S0031-8914(34)80259-5.
2. Борн, Макс и Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики: Электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 986. ISBN 9780521642224.(см. также в Google Books)
3. Mathar, RJ (2009). «Базис Зернике для декартовых преобразований». Сербский астрономический журнал . 179 (179): 107–120. arXiv : 0809.2368 . Bibcode :2009SerAJ.179..107M. doi :10.2298/SAJ0979107M. S2CID  115159231.
4. Нолл, Р. Дж. (1976). «Полиномы Цернике и атмосферная турбулентность» (PDF) . J. Opt. Soc. Am . 66 (3): 207. Bibcode : 1976JOSA...66..207N. doi : 10.1364/JOSA.66.000207.
5. Thibos, LN; Applegate, RA; Schwiegerling, JT; Webb, R. (2002). «Стандарты отчетности об оптических аберрациях глаз» (PDF) . Журнал рефракционной хирургии . 18 (5): S652-60. doi :10.3928/1081-597X-20020901-30. PMID  12361175.
6. Лумис, Дж., «Компьютерная программа для анализа интерферометрических данных», Оптические интерферограммы, обработка и интерпретация, ASTM STP 666, под ред. А. Х. Гюнтера и Д. Х. Либенберга, Американское общество по испытаниям и материалам, 1978, стр. 71–86.
7. Генберг, В. Л.; Михельс, Г. Дж.; Дойл, КБ (2002). «Ортогональность полиномов Цернике». Optomechanical design and Engineering 2002. Proc SPIE. Vol. 4771. pp. 276–286. doi :10.1117/12.482169.
8. Эрик П. Гудвин; Джеймс С. Вайант (2006). Полевое руководство по интерферометрическому оптическому тестированию . стр. 25. ISBN 0-8194-6510-0.
9. Лакшминараянан, В.; Флек, Андре (2011). «Полиномы Зернике: руководство». J. Mod. Opt . 58 (7): 545–561. Bibcode :2011JMOp...58..545L. doi :10.1080/09500340.2011.554896. S2CID  120905947.
10. Хонарвар Шакибаи, Бармак (2013). «Рекурсивная формула для вычисления радиальных полиномов Цернике». Opt. Lett . 38 (14): 2487–2489. Bibcode :2013OptL...38.2487H. doi :10.1364/OL.38.002487. PMID  23939089.
11. Kintner, EC (1976). «О математических свойствах полиномов Цернике». Opt. Acta . 23 (8): 679–680. Bibcode :1976AcOpt..23..679K. doi :10.1080/713819334.
12. Татулли, Э. (2013). «Преобразование коэффициентов Цернике: метод на основе Фурье для масштабированных, смещенных и повернутых апертур волнового фронта». J. Opt. Soc. Am. A. 30 ( 4): 726–32. arXiv : 1302.7106 . Bibcode : 2013JOSAA..30..726T. doi : 10.1364/JOSAA.30.000726. PMID  23595334. S2CID  23491106.
13. Janssen, AJEM (2011). "Новые аналитические результаты для полиномов окружности Цернике из базового результата в теории дифракции Нийбура-Цернике". Журнал Европейского оптического общества: Rapid Publications . 6 : 11028. Bibcode :2011JEOS....6E1028J. doi : 10.2971/jeos.2011.11028 .
14. Баракат, Ричард (1980). «Оптимально сбалансированные аберрации волнового фронта для радиально-симметричных распределений амплитуд: обобщения полиномов Цернике». J. Opt. Soc. Am . 70 (6): 739–742. Bibcode : 1980JOSA...70..739B. doi : 10.1364/JOSA.70.000739.
15. Янссен, AJEM (2011). «Обобщение полиномов круга Цернике для прямых и обратных задач в теории дифракции». arXiv : 1110.2369 [math-ph].
16. Матар, Р. Дж. (2018). «Ортогональная базисная функция над единичной окружностью со свойством минимакса». arXiv : 1802.09518 [math.NA].
17. Аконди, Вьяс; Дубра, Альфредо (22 июня 2020 г.). «Средний градиент полиномов Цернике по полигонам». Optics Express . 28 (13): 18876–18886. Bibcode : 2020OExpr..2818876A. doi : 10.1364/OE.393223 . ISSN  1094-4087. PMC 7340383. PMID 32672177  . 
18. Тахмасби, А. (2010). Эффективная система диагностики опухолей молочной железы с использованием моментов Зернике . 17-я Иранская конференция по биомедицинской инженерии (ICBME'2010). Исфахан , Иран : IEEE . стр. 1–4. doi :10.1109/ICBME.2010.5704941.
19. Tahmasbi, A.; Saki, F.; Shokouhi, SB (2011). «Классификация доброкачественных и злокачественных масс на основе моментов Цернике». Компьютеры в биологии и медицине . 41 (8): 726–735. doi :10.1016/j.compbiomed.2011.06.009. PMID  21722886.
20. Rdzanek, WP (2018). «Звуковое излучение вибрирующей упруго поддерживаемой круглой пластины, встроенной в плоский экран, пересмотренное с использованием полиномов круга Цернике». J. Sound Vib . 434 : 91–125. Bibcode : 2018JSV...434...92R. doi : 10.1016/j.jsv.2018.07.035. S2CID  125512636.
21. Ализаде, Элахех; Лайонс, Саманта М; Касл, Джордан М; Прасад, Ашок (2016). «Измерение систематических изменений в форме инвазивных раковых клеток с использованием моментов Цернике». Интегративная биология . 8 (11): 1183–1193. doi :10.1039/C6IB00100A. PMID  27735002.
22. Горджи, Х. Т. и Дж. Хаддадния. «Новый метод ранней диагностики болезни Альцгеймера на основе псевдо-момента Цернике из структурной МРТ». Neuroscience 305 (2015): 361–371.

• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Цернике». Математический мир .
• Андерсен, Торбен Б. (2018). «Эффективные и надежные рекуррентные соотношения для полиномов окружности Цернике и их производных в декартовых координатах». Opt. Express . 26 (15): 18878–18896. Bibcode : 2018OExpr..2618878A. doi : 10.1364/OE.26.018878 . PMID  30114148.
• Бхатия, AB; Вольф, E. (1952). «Полиномы круга Цернике, встречающиеся в теории дифракции». Proc. Phys. Soc. B . 65 (11): 909–910. Bibcode :1952PPSB...65..909B. doi :10.1088/0370-1301/65/11/112.
• Каллахан, ПГ; Де Греф, М. (2012). «Подгонка и реконструкция формы осадков с помощью трехмерных функций Цернике». Моделирование и имитация в материаловедении и машиностроении . 20 (1): 015003. Bibcode : 2012MSMSE..20a5003C. doi : 10.1088/0965-0393/20/1/015003. S2CID  121700658.
• Кэмпбелл, CE (2003). «Матричный метод нахождения нового набора коэффициентов Цернике из исходного набора при изменении радиуса апертуры». J. Opt. Soc. Am. A. 20 ( 2): 209–217. Bibcode : 2003JOSAA..20..209C. doi : 10.1364/JOSAA.20.000209. PMID  12570287.
• Сержан, К. (2007). «Представление Цернике-Бесселя и его применение к преобразованиям Ганкеля». J. Опт. Соц. Являюсь. А.​ 24 (6): 1609–16. Бибкод : 2007JOSAA..24.1609C. дои : 10.1364/JOSAA.24.001609. ПМИД  17491628.
• Comastri, SA; Perez, LI; Perez, GD; Martin, G.; Bastida Cerjan, K. (2007). «Коэффициенты расширения Цернике: изменение масштаба и децентрализация для разных зрачков и оценка аберраций роговицы». J. Opt. Soc. Am. A. 9 ( 3): 209–221. Bibcode : 2007JOptA...9..209C. doi : 10.1088/1464-4258/9/3/001.
• Конфорти, Г. (1983). «Коэффициенты аберрации Цернике из коэффициентов Зейделя и коэффициентов степенного ряда более высокого порядка». Opt. Lett . 8 (7): 407–408. Bibcode :1983OptL....8..407C. doi :10.1364/OL.8.000407. PMID  19718130.
• Дай, Гм.; Махаджан, ВН (2007). «Кольцевые полиномы Цернике и атмосферная турбулентность». J. Opt. Soc. Am. A. 24 ( 1): 139–155. Bibcode : 2007JOSAA..24..139D. doi : 10.1364/JOSAA.24.000139. PMID  17164852.
• Дай, Гм. (2006). «Масштабирование коэффициентов расширения Цернике для меньших размеров зрачка: более простая формула». J. Opt. Soc. Am. A. 23 ( 3): 539–543. Bibcode : 2006JOSAA..23..539D. doi : 10.1364/JOSAA.23.000539. PMID  16539048.
• Диас, Дж.А.; Фернандес-Дорадо, Дж.; Писарро, К.; Араса, Дж. (2009). «Коэффициенты Цернике для концентрических, круглых, чешуйчатых учеников: эквивалентное выражение». Журнал современной оптики . 56 (1): 149–155. Бибкод : 2009JMOp...56..131D. дои : 10.1080/09500340802531224. S2CID  122620015.
• Диас, Дж.А.; Фернандес-Дорадо, Дж. «Коэффициенты Цернике для концентрических, круглых и чешуйчатых учеников».из проекта демонстраций Вольфрама.
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Флюссер, Ян; Шейх, У.У.; Хансари, Мохаммед; Джафари-Хузани, Курош (2013). «Инвариантное к вращению и шуму распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне с помощью моментов Цернике и дискриминантного анализа спектральной регрессии». Журнал электронных изображений . 22 (1): 013030. Бибкод : 2013JEI....22a3030F. дои : 10.1117/1.JEI.22.1.013030. S2CID  16758261.
• Gu, J.; Shu, HZ; Toumoulin, C.; Luo, LM (2002). «Новый алгоритм для быстрого вычисления моментов Цернике». Pattern Recognition . 35 (12): 2905–2911. Bibcode : 2002PatRe..35.2905G. doi : 10.1016/S0031-3203(01)00194-7.
• Herrmann, J. (1981). "Перекрестная связь и наложение спектров в оценке модального волнового фронта". J. Opt. Soc. Am . 71 (8): 989. Bibcode : 1981JOSA...71..989H. doi : 10.1364/JOSA.71.000989.
• Ху, PH; Стоун, Дж.; Стэнли, Т. (1989). «Применение полиномов Цернике к проблемам атмосферного распространения». J. Opt. Soc. Am. A. 6 ( 10): 1595. Bibcode : 1989JOSAA...6.1595H. doi : 10.1364/JOSAA.6.001595.
• Кинтнер, EC (1976). «О математических свойствах полиномов Цернике». Opt. Acta . 23 (8): 679–680. Bibcode : 1976AcOpt..23..679K. doi : 10.1080/713819334.
• Лоуренс, GN; Чоу, WW (1984). «Томография волнового фронта с помощью разложения полиномов Цернике». Opt. Lett . 9 (7): 267–269. Bibcode : 1984OptL....9..267L. doi : 10.1364/OL.9.000267. PMID  19721566.
• Лю, Хайгуан; Моррис, Ричард Дж.; Хексемер, А.; Грандисон, Скотт; Цварт, Питер Х. (2012). «Вычисление профилей рассеяния на малые углы с помощью трехмерных полиномов Цернике». Acta Crystallogr. A . 68 (2): 278–285. doi :10.1107/S010876731104788X. PMID  22338662.
• Lundström, L.; Unsbo, P. (2007). «Преобразование коэффициентов Цернике: масштабированные, смещенные и повернутые волновые фронты с круглыми и эллиптическими зрачками». J. Opt. Soc. Am. A. 24 ( 3): 569–77. Bibcode : 2007JOSAA..24..569L. doi : 10.1364/JOSAA.24.000569. PMID  17301846.
• Махаджан, В. Н. (1981). «Кольцевые полиномы Цернике для систем формирования изображений с кольцевыми зрачками». J. Opt. Soc. Am . 71 : 75. Bibcode :1981JOSA...71...75M. doi :10.1364/JOSA.71.000075.
• Prata Jr, A.; Rusch, WVT (1989). "Алгоритм вычисления коэффициентов разложения полиномов Цернике". Appl. Opt . 28 (4): 749–54. Bibcode :1989ApOpt..28..749P. doi :10.1364/AO.28.000749. PMID  20548554.
• Швигерлинг, Дж. (2002). «Масштабирование коэффициентов расширения Цернике для разных размеров зрачка». J. Opt. Soc. Am. A. 19 ( 10): 1937–45. Bibcode : 2002JOSAA..19.1937S. doi : 10.1364/JOSAA.19.001937. PMID  12365613.
• Шеппард, CJR ; Кэмпбелл, S.; Хиршхорн, MD (2004). «Разложение Цернике разделимых функций в декартовых координатах». Appl. Opt . 43 (20): 3963–6. Bibcode : 2004ApOpt..43.3963S. doi : 10.1364/AO.43.003963. PMID  15285082.
• Shu, H.; Luo, L.; Han, G.; Coatrieux, J.-L. (2006). «Общий метод вывода соотношения между двумя наборами коэффициентов Цернике, соответствующих разным размерам апертуры». J. Opt. Soc. Am. A . 23 (8): 1960–1966. Bibcode :2006JOSAA..23.1960S. doi :10.1364/JOSAA.23.001960. PMC  1961626 . PMID  16835654.
• Свантнер, В.; Чоу, В. В. (1994). «Ортогонализация Грама-Шмидта полиномов Цернике для общих форм апертуры». Appl. Opt . 33 (10): 1832–7. Bibcode :1994ApOpt..33.1832S. doi :10.1364/AO.33.001832. PMID  20885515.
• Tango, WJ (1977). «Круговые многочлены Цернике и их применение в оптике». Appl. Phys. A . 13 (4): 327–332. Bibcode :1977ApPhy..13..327T. doi :10.1007/BF00882606. S2CID  120469275.
• Тайсон, Р. К. (1982). «Преобразование коэффициентов аберрации Цернике в коэффициенты аберрации Зейделя и более высокого порядка». Opt. Lett . 7 (6): 262–264. Bibcode :1982OptL....7..262T. doi :10.1364/OL.7.000262. PMID  19710893.
• Wang, JY; Silva, DE (1980). «Интерпретация волнового фронта с помощью полиномов Цернике». Appl. Opt . 19 (9): 1510–8. Bibcode : 1980ApOpt..19.1510W. doi : 10.1364/AO.19.001510. PMID  20221066.
• Баракат, Р. (1980). "Оптимально сбалансированные аберрации волнового фронта для радиально-симметричных распределений амплитуд: обобщения полиномов Цернике". J. Opt. Soc. Am . 70 (6): 739. Bibcode :1980JOSA...70..739B. doi :10.1364/JOSA.70.000739.
• ten Brummelaar, TA (1996). «Моделирование аберраций атмосферных волн и астрономических приборов с использованием полиномов Цернике». Opt. Commun . 132 (3–4): 329–342. Bibcode : 1996OptCo.132..329T. doi : 10.1016/0030-4018(96)00407-5.
• Новотни, М.; Кляйн, Р. (2003). "3D дескрипторы Зернике для поиска формы на основе содержимого". Труды восьмого симпозиума ACM по моделированию твердых тел и приложениям (PDF) . стр. 216–225. CiteSeerX  10.1.1.14.4970 . doi :10.1145/781606.781639. ISBN 978-1581137064. S2CID  10514681.
• Новотни, М.; Кляйн, Р. (2004). "Поиск формы с использованием 3D-дескрипторов Цернике" (PDF) . Computer-Aided Design . 36 (11): 1047–1062. CiteSeerX  10.1.1.71.8238 . doi :10.1016/j.cad.2004.01.005.
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Шейх, УУ; Флюссер, Ян (2014). «Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне: сравнение подходов, основанных на моментах». 8-я международная конференция по робототехнике, зрению, обработке сигналов и энергетическим приложениям . Конспект лекций по электротехнике. Том 291. С. 129–135. doi :10.1007/978-981-4585-42-2_15. ISBN 978-981-4585-41-5.
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Флюссер, Ян; Шейх, У.У.; Хансари, Мохаммед; Джафари-Хузани, Курош (2014). «Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне путем объединения моментов Цернике и непрореженного дискретного вейвлет-преобразования». Цифровая обработка сигналов . 31 (1): 13–27. дои :10.1016/j.dsp.2014.04.008.

Внешние ссылки

• Расширенный веб-сайт Нийбоера-Зернике
• Код MATLAB для быстрого расчета моментов Цернике
• Библиотека Python/NumPy для вычисления полиномов Цернике
• Аберрации Зернике в Telescope Optics
• Пример: использование WolframAlpha для построения полиномов Цернике
• orthopy, пакет Python, вычисляющий ортогональные многочлены (включая многочлены Цернике)