Модель экспоненциальной дисперсии

Набор вероятностных распределений

В теории вероятности и статистике класс моделей экспоненциальной дисперсии ( EDM ), также называемый семейством экспоненциальной дисперсии ( EDF ), представляет собой набор вероятностных распределений , который представляет собой обобщение естественного экспоненциального семейства . ^{[1] [2] [3]} Модели экспоненциальной дисперсии играют важную роль в статистической теории , в частности в обобщенных линейных моделях, поскольку они имеют специальную структуру, которая позволяет делать выводы о соответствующих статистических выводах .

Определение

Одномерный случай

Существует две версии формулировки модели экспоненциальной дисперсии.

Модель аддитивной экспоненциальной дисперсии

В одномерном случае вещественная случайная величина принадлежит аддитивной модели экспоненциальной дисперсии с каноническим параметром и индексным параметром , , если ее функция плотности вероятности может быть записана как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X\sim \mathrm {ED} ^{*}(\theta ,\lambda )}$

${\displaystyle f_{X}(x\mid \theta ,\lambda )=h^{*}(\lambda ,x)\exp \left(\theta x-\lambda A(\theta )\right)\,\!.}$

Модель репродуктивной экспоненциальной дисперсии

Распределение преобразованной случайной величины называется моделью репродуктивной экспоненциальной дисперсии , , и определяется выражением ${\displaystyle Y={\frac {X}{\lambda }}}$ ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle f_{Y}(y\mid \mu ,\sigma ^{2})=h(\sigma ^{2},y)\exp \left({\frac {\theta y-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\right)\,\!,}$

с и , подразумевая . Терминологическая модель дисперсии основана на интерпретации как параметра дисперсии . При фиксированном параметре это естественное экспоненциальное семейство . ${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{\lambda }}}$ ${\displaystyle \mu =A'(\theta )}$ ${\displaystyle \theta =(A')^{-1}(\mu )}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$

Многомерный случай

В многомерном случае n -мерная случайная величина имеет функцию плотности вероятности следующего вида ^[1] ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} |{\boldsymbol {\theta }},\lambda )=h(\lambda ,\mathbf {x} )\exp \left(\lambda ({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {x} -A({\boldsymbol {\theta }}))\right)\,\!,}$

где параметр имеет ту же размерность, что и . ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Характеристики

Кумулянт-генерирующая функция

Кумулянт -производящая функция определяется выражением ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle K(t;\mu ,\sigma ^{2})=\log \operatorname {E} [e^{tY}]={\frac {A(\theta +\sigma ^{2}t)-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\,\!,}$

с ${\displaystyle \theta =(A')^{-1}(\mu )}$

Среднее и дисперсия

Среднее значение и дисперсия определяются выражением ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \operatorname {E} [Y]=\mu =A'(\theta )\,,\quad \operatorname {Var} [Y]=\sigma ^{2}A''(\theta )=\sigma ^{2}V(\mu )\,\!,}$

с функцией единичной дисперсии . ${\displaystyle V(\mu )=A''((A')^{-1}(\mu ))}$

репродуктивный

Если они совпадают с , т. е. имеют одинаковое среднее значение и разные веса , средневзвешенное значение снова равно значению с ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$ ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{i}}}\right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {ED} }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}Y_{i}}{w_{\bullet }}}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{\bullet }}}\right)\,\!,}$

с . Поэтому называются репродуктивными . ${\displaystyle w_{\bullet }=\sum _{i=1}^{n}w_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

Единичное отклонение

Функцию плотности вероятности можно также выразить через единичное отклонение как ${\displaystyle \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle d(y,\mu )}$

${\displaystyle f_{Y}(y\mid \mu ,\sigma ^{2})={\tilde {h}}(\sigma ^{2},y)\exp \left(-{\frac {d(y,\mu )}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\!,}$

где единичное отклонение принимает специальную форму или в терминах функции единичной дисперсии как . ${\displaystyle d(y,\mu )=yf(\mu )+g(\mu )+h(y)}$ ${\displaystyle d(y,\mu )=2\int _{\mu }^{y}\!{\frac {y-t}{V(t)}}\,dt}$

Примеры

Многие очень распространенные распределения вероятностей относятся к классу EDM, среди них: нормальное распределение , биномиальное распределение , распределение Пуассона , отрицательное биномиальное распределение , гамма-распределение , обратное распределение Гаусса и распределение Твиди .

Рекомендации

1. Йоргенсен, Б. (1987). Модели экспоненциальной дисперсии (с обсуждением). Журнал Королевского статистического общества , серия B, 49 (2), 127–162.
2. Йоргенсен, Б. (1992). Теория моделей экспоненциальной дисперсии и анализ девиантности. Монографии по математике, вып. 51.
3. Марриотт, П. (2005) «Локальные смеси и модели экспоненциальной дисперсии» pdf