Модель Солоу–Свана

Модель долгосрочного экономического роста

Модель Солоу–Суона или экзогенная модель роста — это экономическая модель долгосрочного экономического роста . Она пытается объяснить долгосрочный экономический рост, рассматривая накопление капитала , рост рабочей силы или населения , а также рост производительности, в значительной степени обусловленный технологическим прогрессом. По своей сути это агрегированная производственная функция , часто определяемая как функция типа Кобба–Дугласа , которая позволяет модели «вступить в контакт с микроэкономикой ». ^{[1] : 26} Модель была разработана независимо Робертом Солоу и Тревором Своном в 1956 году, ^{[2] [3] [примечание 1]} и заменила кейнсианскую модель Харрода–Домара .

Математически модель Солоу–Свана представляет собой нелинейную систему, состоящую из одного обыкновенного дифференциального уравнения , которое моделирует эволюцию запаса капитала на душу населения . Благодаря своим особенно привлекательным математическим характеристикам, Солоу–Сван оказался удобной отправной точкой для различных расширений. Например, в 1965 году Дэвид Касс и Тьяллинг Купманс интегрировали анализ потребительской оптимизации Фрэнка Рэмси ^[4] , тем самым эндогенизируя ^[5] норму сбережений , чтобы создать то, что сейчас известно как модель Рэмси–Касса–Купманса .

Фон

Модель Солоу–Свона была расширением модели Харрода–Домара 1946 года, которая отказалась от ограничительного предположения о том, что только капитал способствует росту (при условии, что есть достаточно рабочей силы для использования всего капитала). Важный вклад в модель внесли работы, проделанные Солоу и Своном в 1956 году, которые независимо друг от друга разработали относительно простые модели роста. ^{[2] [3]} Модель Солоу с некоторым успехом соответствовала имеющимся данным об экономическом росте США . ^[6] В 1987 году Солоу был удостоен Нобелевской премии по экономике за свою работу. Сегодня экономисты используют учет источников роста Солоу для оценки отдельных эффектов на экономический рост технологических изменений, капитала и рабочей силы. ^[7]

Модель Солоу также является одной из наиболее широко используемых моделей в экономике для объяснения экономического роста. ^[8] По сути, она утверждает, что результаты по « совокупной производительности факторов производства (TFP) могут привести к неограниченному росту уровня жизни в стране». ^[8]

Расширение модели Харрода–Домара

Солоу расширил модель Харрода-Домара, добавив труд как фактор производства и капиталоемкость, которые не являются фиксированными, как в модели Харрода-Домара. Эти уточнения позволяют отличать увеличение интенсивности капитала от технологического прогресса. Солоу рассматривает производственную функцию с фиксированными пропорциями как «решающее предположение» для результатов нестабильности в модели Харрода-Домара. Его собственная работа расширяет это, исследуя последствия альтернативных спецификаций, а именно Кобба -Дугласа и более общей постоянной эластичности замещения (CES) . ^[2] Хотя это стало канонической и знаменитой историей ^[9] в истории экономики, представленной во многих экономических учебниках, ^[10] недавняя переоценка работы Харрода оспорила ее. Одной из центральных критических замечаний является то, что оригинальная работа Харрода ^[11] не была в основном посвящена экономическому росту, и он явно не использовал производственную функцию с фиксированными пропорциями. ^{[10] [12]}

Долгосрочные последствия

Стандартная модель Солоу предсказывает, что в долгосрочной перспективе экономики сходятся к своему сбалансированному равновесию роста и что постоянный рост дохода на душу населения достижим только за счет технологического прогресса. Как сдвиги в сбережениях, так и в росте населения вызывают только эффекты уровня в долгосрочной перспективе (т. е. в абсолютной величине реального дохода на душу населения). Интересным следствием модели Солоу является то, что бедные страны должны расти быстрее и в конечном итоге догонять более богатые страны. Эту конвергенцию можно объяснить: ^[13]

• Задержки в распространении знаний. Различия в реальном доходе могут сократиться, поскольку бедные страны получают лучшие технологии и информацию;
• Эффективное распределение международных потоков капитала, поскольку норма прибыли на капитал должна быть выше в более бедных странах. На практике это наблюдается редко и известно как парадокс Лукаса ;
• Математическое следствие модели (предполагается, что бедные страны еще не достигли устойчивого состояния).

Баумол попытался проверить это эмпирически и обнаружил очень сильную корреляцию между ростом производства страны в течение длительного периода времени (с 1870 по 1979 год) и ее первоначальным богатством. ^[14] Его выводы позже были оспорены Делонгом , который утверждал, что как неслучайность выбранных стран, так и потенциальные значительные ошибки измерения для оценок реального дохода на душу населения в 1870 году, повлияли на выводы Баумоля. Делонг приходит к выводу, что существует мало доказательств в поддержку теории конвергенции.

Предположения

Ключевое предположение модели роста Солоу–Суона заключается в том, что в закрытой экономике капитал подвержен убывающей доходности .

• При фиксированном запасе рабочей силы влияние на выпуск последней накопленной единицы капитала всегда будет меньше, чем предыдущей.
• Если для простоты предположить, что нет технического прогресса или роста рабочей силы, то убывающая отдача подразумевает, что в какой-то момент объем произведенного нового капитала будет достаточен лишь для того, чтобы компенсировать объем существующего капитала, потерянного из-за амортизации. ^[1] В этот момент, из-за предположений об отсутствии технического прогресса или роста рабочей силы, мы можем видеть, что экономика перестает расти.
• Предположение о ненулевых темпах роста рабочей силы несколько усложняет ситуацию, но основная логика по-прежнему применима ^[2] – в краткосрочной перспективе темпы роста замедляются, поскольку вступает в силу убывающая доходность, и экономика приближается к постоянному «устойчивому» темпу роста (то есть к отсутствию экономического роста на душу населения).
• Включение ненулевого технологического прогресса очень похоже на предположение о ненулевом росте рабочей силы с точки зрения «эффективного труда»: достигается новое устойчивое состояние с постоянным выпуском за рабочий час, требуемый для единицы продукции . Однако в этом случае выпуск на душу населения растет со скоростью технологического прогресса в «устойчивом состоянии» ^[3] (то есть со скоростью роста производительности ).

Различия в эффектах производительности

В модели Солоу–Свана необъяснимое изменение в росте выпуска после учета эффекта накопления капитала называется остатком Солоу . Этот остаток измеряет экзогенное увеличение совокупной производительности факторов производства (СФП) в течение определенного периода времени. Увеличение СФП часто приписывается исключительно технологическому прогрессу, но оно также включает любое постоянное улучшение эффективности, с которой факторы производства объединяются с течением времени. Неявно рост СФП включает любые постоянные улучшения производительности, которые являются результатом улучшения методов управления в частном или государственном секторах экономики. Парадоксально, что даже несмотря на то, что рост СФП является экзогенным в модели, его нельзя наблюдать, поэтому его можно оценить только совместно с одновременной оценкой влияния накопления капитала на рост в течение определенного периода времени.

Модель можно переформулировать несколько иначе, используя другие предположения о производительности или другие показатели измерения:

• Средняя производительность труда ( СПТ ) — это объем производства за час труда.
• Многофакторная производительность ( MFP ) — это выпуск, деленный на средневзвешенное значение затрат капитала и труда. Используемые веса обычно основаны на совокупных долях затрат, которые зарабатывает каждый фактор. Это соотношение часто приводится как: 33% прибыли на капитал и 67% прибыли на труд (в западных странах).

В растущей экономике капитал накапливается быстрее, чем рождаются люди, поэтому знаменатель в функции роста при расчете MFP растет быстрее, чем при расчете ALP. Следовательно, рост MFP почти всегда ниже роста ALP. (Поэтому измерение в терминах ALP увеличивает кажущийся эффект углубления капитала .) MFP измеряется по « остатку Солоу », а не по ALP.

Математика модели

Модель учебника Солоу–Свана установлена ​​в непрерывном мире без правительства или международной торговли. Один товар (выпуск) производится с использованием двух факторов производства , труда ( ) и капитала ( ) в совокупной производственной функции , которая удовлетворяет условиям Инады , которые подразумевают, что эластичность замещения должна быть асимптотически равна единице. ^{[15] [16]} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,}$

где обозначает время, является эластичностью выпуска по отношению к капиталу, и представляет собой общее производство. относится к трудоумножающей технологии или « знаниям », таким образом, представляет собой эффективный труд. Все факторы производства полностью задействованы, и заданы начальные значения , , и . Количество рабочих, т.е. труд, а также уровень технологии растут экзогенно со скоростью и , соответственно: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle A(0)}$ ${\displaystyle K(0)}$ ${\displaystyle L(0)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle L(t)=L(0)e^{nt}}$

${\displaystyle A(t)=A(0)e^{gt}}$

Число эффективных единиц труда, , поэтому растет со скоростью . Между тем, запас капитала обесценивается с течением времени с постоянной скоростью . Однако, только часть продукции ( с ) потребляется , оставляя сэкономленную долю для инвестиций . Эта динамика выражается с помощью следующего дифференциального уравнения : ${\displaystyle A(t)L(t)}$ ${\displaystyle (n+g)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle cY(t)}$ ${\displaystyle 0<c<1}$ ${\displaystyle s=1-c}$

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=s\cdot Y(t)-\delta \cdot K(t)\,}$

где — сокращение от , производная по времени. Производная по времени означает, что это изменение в запасе капитала — продукция, которая не потребляется и не используется для замены изношенных старых капитальных благ, является чистыми инвестициями. ${\displaystyle {\dot {K}}}$ ${\displaystyle {\frac {dK(t)}{dt}}}$

Поскольку производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба , ее можно записать как выпуск на эффективную единицу труда , что является мерой создания богатства: ^{[примечание 2]} ${\displaystyle Y(K,AL)}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{\alpha }}$

Основной интерес модели представляет динамика интенсивности капитала , запаса капитала на единицу эффективного труда. Его поведение с течением времени задается ключевым уравнением модели Солоу–Свана: ^{[примечание 3]} ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)}$

Первый член, , представляет собой фактические инвестиции на единицу эффективного труда: часть выпуска на единицу эффективного труда , которая сберегается и инвестируется. Второй член, , представляет собой «безубыточные инвестиции»: объем инвестиций, которые необходимо инвестировать, чтобы предотвратить падение. ^{[17] : 16} Уравнение подразумевает, что сходится к стационарному значению , определяемому как , при котором нет ни увеличения, ни уменьшения капиталоемкости: ${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=sy(t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle (n+g+\delta )k(t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle k^{*}}$ ${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=(n+g+\delta )k(t)}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{1/(1-\alpha )}\,}$

при котором запас капитала и эффективный труд растут со скоростью . Аналогично, можно рассчитать устойчивое состояние созданного богатства, которое соответствует : ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle (n+g)}$ ${\displaystyle y^{*}}$ ${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle y^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}\,}$

При условии постоянной отдачи, выпуск также растет с этой скоростью. По сути, модель Солоу–Свана предсказывает, что экономика будет сходиться к равновесию сбалансированного роста , независимо от ее начальной точки. В этой ситуации рост выпуска на одного работника определяется исключительно скоростью технологического прогресса. ^{[17] : 18} ${\displaystyle Y}$

Так как, по определению, то в равновесии мы имеем ${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-\alpha }}$ ${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}={\frac {s}{n+g+\delta }}}$

Таким образом, в равновесии отношение капитала к выпуску зависит только от сбережений, роста и норм амортизации. Это версия золотого правила нормы сбережений в модели Солоу–Свана .

Поскольку в любой момент времени предельный продукт капитала в модели Солоу–Суона обратно пропорционален отношению капитала к труду. ${\displaystyle {\alpha }<1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

Если производительность одинакова во всех странах, то страны с меньшим капиталом на одного работника имеют более высокий предельный продукт, что обеспечивает более высокую отдачу от капиталовложений. Как следствие, модель предсказывает, что в мире открытых рыночных экономик и глобального финансового капитала инвестиции будут перетекать из богатых стран в бедные страны, пока капитал/работник и доход/работник не выровняются во всех странах. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle Y/L}$

Поскольку предельный продукт физического капитала не выше в бедных странах, чем в богатых странах, ^[18] подразумевается, что производительность ниже в бедных странах. Базовая модель Солоу не может объяснить, почему производительность ниже в этих странах. Лукас предположил, что более низкие уровни человеческого капитала в бедных странах могут объяснить более низкую производительность. ^[19]

Потому что предельный продукт капитала равен норме прибыли ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {K{\frac {\partial Y}{\partial K}}}{Y}}={\frac {rK}{Y}}\,}$

так что это доля дохода, присвоенная капиталом. Таким образом, модель Солоу–Суона предполагает с самого начала, что разделение дохода между трудом и капиталом является постоянным. ${\displaystyle \alpha }$

Версия модели Мэнкью-Ромера-Вейля

Добавление человеческого капитала

В 1992 году Н. Грегори Мэнкью , Дэвид Ромер и Дэвид Н. Вайль выдвинули теорию версии модели Солоу-Свона, расширенную за счет включения роли человеческого капитала , которая может объяснить отсутствие потока международных инвестиций в бедные страны. ^[20] В этой модели выпуск и предельный продукт капитала (K) ниже в бедных странах, поскольку в них меньше человеческого капитала, чем в богатых странах.

Подобно модели Солоу–Суона из учебника, производственная функция имеет тип Кобба–Дугласа:

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }H(t)^{\beta }(A(t)L(t))^{1-\alpha -\beta },}$

где — запас человеческого капитала, который обесценивается с той же скоростью, что и физический капитал. Для простоты они предполагают одну и ту же функцию накопления для обоих типов капитала. Как и в Солоу–Сване, часть результата, , сохраняется в каждом периоде, но в этом случае разделяется и инвестируется частично в физический, а частично в человеческий капитал, так что . Таким образом, в этой модели есть два основных динамических уравнения: ${\displaystyle H(t)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle sY(t)}$ ${\displaystyle s=s_{K}+s_{H}}$

${\displaystyle {\dot {k}}=s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k}$

${\displaystyle {\dot {h}}=s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h}$

Сбалансированный (или стационарный) путь равновесного роста определяется как , что означает и . Решение для стационарного уровня и дает: ${\displaystyle {\dot {k}}={\dot {h}}=0}$ ${\displaystyle s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k=0}$ ${\displaystyle s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h=0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s_{K}^{1-\beta }s_{H}^{\beta }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

${\displaystyle h^{*}=\left({\frac {s_{K}^{\alpha }s_{H}^{1-\alpha }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

В устойчивом состоянии, . ${\displaystyle y^{*}=(k^{*})^{\alpha }(h^{*})^{\beta }}$

Эконометрические оценки

Кленов и Родригес-Клэр усомнились в обоснованности расширенной модели, поскольку оценки Мэнкью, Ромера и Вейла не соответствовали общепринятым оценкам влияния роста образования на зарплаты рабочих. Хотя оценочная модель объясняла 78% различий в доходах по странам, оценки подразумевали, что внешние эффекты человеческого капитала на национальный доход больше, чем его прямое влияние на зарплаты рабочих. ^[21] ${\displaystyle {\beta }}$ ${\displaystyle {\beta }}$

Учет внешних эффектов

Теодор Бретон предложил идею, которая примирила большое влияние обучения на человеческий капитал в модели Мэнкью, Ромера и Вейля с меньшим влиянием обучения на зарплаты рабочих. Он продемонстрировал, что математические свойства модели включают значительные внешние эффекты между факторами производства, поскольку человеческий капитал и физический капитал являются мультипликативными факторами производства. ^[22] Внешнее влияние человеческого капитала на производительность физического капитала очевидно в предельном продукте физического капитала:

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }(H/L)^{\beta }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

Он показал, что большие оценки влияния человеческого капитала в межстрановых оценках модели согласуются с меньшим влиянием, которое обычно обнаруживается в зарплатах работников, когда учитываются внешние эффекты человеческого капитала на физический капитал и труд. Это понимание значительно усиливает аргументы в пользу версии Мэнкью, Ромера и Вейля модели Солоу–Свана. Большинство анализов, критикующих эту модель, не учитывают денежные внешние эффекты обоих типов капитала, присущие модели. ^[22]

Общая производительность факторов производства

Экзогенная скорость роста TFP ( совокупной производительности факторов производства ) в модели Солоу–Свана является остатком после учета накопления капитала. Модель Мэнкью, Ромера и Вейла дает более низкую оценку TFP (остатка), чем базовая модель Солоу–Свана, поскольку добавление человеческого капитала в модель позволяет накоплению капитала объяснить большую часть различий в доходах между странами. В базовой модели остаток TFP включает эффект человеческого капитала, поскольку человеческий капитал не включен в качестве фактора производства.

Условная сходимость

Модель Солоу-Свана, дополненная человеческим капиталом, предсказывает, что уровень дохода бедных стран будет стремиться к уровню дохода богатых стран или сближаться с ним, если бедные страны будут иметь схожие нормы сбережений как для физического капитала, так и для человеческого капитала как доли от выпуска, процесс, известный как условная конвергенция. Однако нормы сбережений сильно различаются в разных странах. В частности, поскольку существуют значительные финансовые ограничения для инвестиций в образование, нормы сбережений для человеческого капитала, вероятно, будут различаться в зависимости от культурных и идеологических характеристик в каждой стране. ^[23]

С 1950-х годов показатель «выпуск/работник» в богатых и бедных странах в целом не конвергировался, но те бедные страны, которые значительно повысили свои нормы сбережений, испытали конвергенцию доходов, предсказанную моделью Солоу–Свана. Например, показатель «выпуск/работник» в Японии , стране, которая когда-то была относительно бедной, сошелся с уровнем богатых стран. Япония пережила высокие темпы роста после того, как она повысила свои нормы сбережений в 1950-х и 1960-х годах, и испытала замедление роста показателя «выпуск/работник» с тех пор, как ее нормы сбережений стабилизировались около 1970 года, как и предсказывала модель.

Уровень дохода на душу населения в южных штатах США имеет тенденцию к сближению с уровнем в северных штатах. Наблюдаемая конвергенция в этих штатах также согласуется с концепцией условной конвергенции . Возникает ли абсолютная конвергенция между странами или регионами, зависит от того, имеют ли они схожие характеристики, такие как:

• Политика в области образования
• Институциональные механизмы
• Свободные внутренние рынки и торговая политика с другими странами. ^[24]

Дополнительные доказательства условной конвергенции получены из многомерных межстрановых регрессий. ^[25]

Эконометрический анализ Сингапура и других « восточноазиатских тигров » дал удивительный результат: хотя производительность на одного работника растет, почти никакой из их быстрого роста не был обусловлен ростом производительности на душу населения (у них низкий « остаток Солоу »). ^[7]

Смотрите также

• Экономический рост
• Теория эндогенного роста

Примечания

1. Идея использования производственной функции Кобба – Дугласа в основе модели роста восходит к Тинбергену Дж. (1942). «Zur Theorie der langfristigen Wirtschaftsentwicklung». Архив Weltwirtschaftliches . 55 : 511–549. JSTOR  40430851. См. Бремс, Ганс (1986). "Неоклассический рост: Тинберген и Солоу". Пионерская экономическая теория, 1630–1980 . Балтимор: Johns Hopkins University Press. стр. 362–368. ISBN 978-0-8018-2667-2.
2. Пошаговый расчет: ${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }}{(A(t)L(t))^{\alpha }}}=k(t)^{\alpha }}$
3. Пошаговый расчет: . Поскольку , и , являются и , соответственно, уравнение упрощается до . Как упоминалось выше, . ${\displaystyle {\dot {k}}(t)={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{[A(t)L(t)]^{2}}}[A(t){\dot {L}}(t)+L(t){\dot {A}}(t)]={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}}$ ${\displaystyle {\dot {K}}(t)=sY(t)-\delta K(t)\,}$ ${\displaystyle {\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}}$ ${\displaystyle {\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\dot {k}}(t)=s{\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}-\delta {\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-n{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-g{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}=sy(t)-\delta k(t)-nk(t)-gk(t)}$ ${\displaystyle y(t)=k(t)^{\alpha }}$

Ссылки

1. Асемоглу, Дарон (2009). «Модель роста Солоу». Введение в современный экономический рост . Принстон: Princeton University Press. стр. 26–76. ISBN 978-0-691-13292-1.
2. Солоу, Роберт М. (февраль 1956 г.). «Вклад в теорию экономического роста». Quarterly Journal of Economics . 70 (1): 65–94. doi :10.2307/1884513. hdl : 10338.dmlcz/143862 . JSTOR  1884513.PDF-файл.
3. Swan, Trevor W. (ноябрь 1956 г.). «Экономический рост и накопление капитала». Economic Record . 32 (2): 334–361. doi :10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x.
4. Касс Д. (1965): «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала», Обзор экономических исследований, 32(3):233-240, jstor.
5. Касс эндогенизирует норму сбережений, явно моделируя решение потребителя потреблять и сберегать. Это делается путем добавления задачи оптимизации домохозяйства к модели Солоу. см. также Giri R (без даты, до 2022 г.): Лекция 3 – Модель роста с эндогенными сбережениями: модель Рамси-Касса-Купманса. Instituto Tecnologico Autonomo de Mexico (ITAM)
6. Солоу, Роберт М. (1957). «Технические изменения и совокупная производственная функция». Обзор экономики и статистики . 39 (3): 312–320. doi :10.2307/1926047. JSTOR  1926047.PDF-файл.
7. Haines, Joel D.; Sharif, Nawaz M. (2006). «Структура управления сложностью компонентов технологии для глобальной конкуренции». Competitiveness Review . 16 (2): 106–121. doi :10.1108/cr.2006.16.2.106.
8. Eric Frey (2017). "The Solow Model and Standard of Living". Undergraduate Journal of Mathematical Modeling: One + Two . 7 (2 (Article 5)): Abstract. doi : 10.5038/2326-3652.7.2.4879 . ISSN  2326-3652. OCLC  7046600490. Архивировано из оригинала 22 сентября 2017 г.
9. Блюм, Лоуренс Э.; Сарджент, Томас Дж. (2015-03-01). «Харрод 1939». The Economic Journal . 125 (583): 350–377. doi : 10.1111/ecoj.12224 . ISSN  1468-0297.
10. Besomi, Daniele (2001). «Динамика Харрода и теория роста: история ошибочной атрибуции». Cambridge Journal of Economics . 25 (1): 79–96. doi :10.1093/cje/25.1.79. JSTOR  23599721.
11. Харрод, РФ (1939). «Очерк динамической теории». The Economic Journal . 49 (193): 14–33. doi :10.2307/2225181. JSTOR  2225181.
12. Халсмайер, Верена; Гувер, Кевин Д. (2016-07-03). «Солоу Харрод: Преобразование макроэкономической динамики в модель долгосрочного роста». Европейский журнал истории экономической мысли . 23 (4): 561–596. doi :10.1080/09672567.2014.1001763. ISSN  0967-2567. S2CID  153351897.
13. Ромер, Дэвид (2006). Продвинутая макроэкономика . McGraw-Hill. С. 31–35. ISBN 9780072877304.
14. Баумол, Уильям Дж. (1986). «Рост производительности, конвергенция и благосостояние: что показывают долгосрочные данные». The American Economic Review . 76 (5): 1072–1085. JSTOR  1816469.
15. Барелли, Пауло; Пессоа, Самуэль де Абреу (2003). «Условия Инады подразумевают, что производственная функция должна быть асимптотически функцией Кобба–Дугласа» (PDF) . Economics Letters . 81 (3): 361–363. doi :10.1016/S0165-1765(03)00218-0. hdl : 10438/1012 .
16. Литина, Анастасия; Паливос, Теодор (2008). «Означают ли условия Инады, что производственная функция должна быть асимптотически функцией Кобба–Дугласа? Комментарий». Economics Letters . 99 (3): 498–499. doi :10.1016/j.econlet.2007.09.035.
17. Romer, David (2011). «Модель роста Солоу». Advanced Macroeconomics (Четвертое изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 6–48. ISBN 978-0-07-351137-5.
18. Caselli, F.; Feyrer, J. (2007). «Предельный продукт капитала». The Quarterly Journal of Economics . 122 (2): 535–68. CiteSeerX 10.1.1.706.3505 . doi :10.1162/qjec.122.2.535. S2CID  9329404. 
19. Лукас, Роберт (1990). «Почему капитал не течет из богатых стран в бедные?». American Economic Review . 80 (2): 92–96.
20. Мэнкью, Н. Грегори; Ромер, Дэвид; Вайль, Дэвид Н. (май 1992 г.). «Вклад в эмпирику экономического роста». The Quarterly Journal of Economics . 107 (2): 407–437. CiteSeerX 10.1.1.335.6159 . doi :10.2307/2118477. JSTOR  2118477. S2CID  1369978. 
21. Кленов, Питер Дж.; Родригес-Клэр, Андрес (январь 1997 г.). «Неоклассическое возрождение в экономике роста: зашло ли оно слишком далеко?». В Бернанке, Бен С.; Ротемберг, Хулио (ред.). Ежегодник макроэкономики NBER 1997 г., том 12. Национальное бюро экономических исследований. стр. 73–114. ISBN 978-0-262-02435-8.
22. Breton, TR (2013). «Были ли правы Мэнкью, Ромер и Вейл? Согласование микро- и макроэффектов обучения на доход» (PDF) . Macroeconomic Dynamics . 17 (5): 1023–1054. doi :10.1017/S1365100511000824. hdl : 10784/578 . S2CID  154355849.
23. Бретон, ТР (2013). «Роль образования в экономическом росте: теория, история и текущая отдача». Educational Research . 55 (2): 121–138. doi :10.1080/00131881.2013.801241. S2CID  154380029.
24. Барро, Роберт Дж.; Сала -и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с экзогенными нормами сбережений». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 37–51. ISBN 978-0-262-02553-9.
25. Барро, Роберт Дж.; Сала -и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с экзогенными нормами сбережений». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 461–509. ISBN 978-0-262-02553-9.

Дальнейшее чтение

• Аженор, Пьер-Ришар (2004). «Рост и технологический прогресс: модель Солоу–Свана». Экономика адаптации и роста (второе изд.). Кембридж: Издательство Гарвардского университета. С. 439–462. ISBN 978-0-674-01578-4.
• Барро, Роберт Дж.; Сала -и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с экзогенными нормами сбережений». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 23–84. ISBN 978-0-262-02553-9.
• Бурмейстер, Эдвин; Добелл, А. Родни (1970). «Модели роста одного сектора». Математические теории экономического роста . Нью-Йорк: Macmillan. С. 20–64.
• Дорнбуш, Рюдигер ; Фишер, Стэнли ; Старц, Ричард (2004). «Теория роста: неоклассическая модель». Макроэкономика (девятое изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill Irwin. стр. 61–75. ISBN 978-0-07-282340-0.
• Farmer, Roger EA (1999). "Неоклассическая теория роста". Макроэкономика (Второе изд.). Цинциннати: Юго-Западный. С. 333–355. ISBN 978-0-324-12058-5.
• Фергюсон, Брайан С.; Лим, GC (1998). Введение в динамические экономические модели. Манчестер: Manchester University Press. стр. 42–48. ISBN 978-0-7190-4996-5.
• Гандольфо, Джанкарло (1996). «Неоклассическая модель роста». Экономическая динамика (третье изд.). Берлин: Springer. С. 175–189. ISBN 978-3-540-60988-9.
• Halsmayer, Verena (2014). «От исследовательского моделирования к технической экспертизе: модель роста Солоу как многоцелевой дизайн». История политической экономии . 46 (Приложение 1, MIT и трансформация американской экономики ): 229–251. doi :10.1215/00182702-2716181 . Получено 29.11.2017 .
• Intriligator, Michael D. (1971). Математическая оптимизация и экономическая теория. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. стр. 398–416. ISBN 978-0-13-561753-3.
• ван Рейкегем Вилли (1963): Структура некоторых моделей макроэкономического роста: сравнение. Архив мировой экономики , том 91, стр. 84–100

Внешние ссылки

• Видеоролики о модели Солоу — более 20 видеороликов, демонстрирующих вывод заключений модели роста Солоу
• Видеообъяснение от Marginal Revolution University
• Java-апплет, в котором вы можете экспериментировать с параметрами и изучать модель Солоу
• Модель роста Солоу Фионы Маклахлан, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Пошаговое объяснение того, как понять модель Солоу
• Курс профессора Хосе-Виктора Риоса-Рулла в Университете Миннесоты