Модель гистерезиса Прейзаха

Модель магнитного гистерезиса

В электромагнетизме модель гистерезиса Прейзаха является моделью магнитного гистерезиса . Первоначально он обобщал гистерезис как связь между магнитным полем и намагниченностью магнитного материала как параллельное соединение независимых гистеронов реле . Впервые это было предложено в 1935 году Ференцем (Францом) Прейзахом в немецком академическом журнале Zeitschrift für Physik . ^[1] В области ферромагнетизма иногда считается, что модель Прейзаха описывает ферромагнитный материал как сеть небольших независимо действующих доменов , каждый из которых намагничен до значения или . Например, образец железа может иметь равномерно распределенные магнитные домены, в результате чего суммарный магнитный момент равен нулю. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle -h}$

Математически подобные модели, похоже, были независимо разработаны в других областях науки и техники. Одним из ярких примеров является модель капиллярного гистерезиса в пористых материалах , разработанная Эвереттом и его сотрудниками. С тех пор, после работ таких людей, как М. Красносельский, А. Покровский, А. Висинтин и И. Д. Майергойз, модель получила широкое признание как общий математический инструмент для описания различного рода явлений гистерезиса. ^{[2] [3]}

Неидеальное реле

Релейный гистерон является фундаментальным строительным блоком модели Прейзаха. Он описывается как двузначный оператор, обозначаемый . Его карта ввода-вывода имеет форму цикла, как показано: ${\displaystyle R_{\alpha ,\beta }}$

Выше реле величины 1 определяет порог «выключения» и определяет порог «включения». ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Графически, если меньше , на выходе будет «низкий» или «выключенный». Когда мы увеличиваем , выходной сигнал остается низким до тех пор, пока не достигнет — в этот момент выход включается. Дальнейшее увеличение не приводит к изменениям. Уменьшается , не снижается до тех пор, пока не достигнет снова. Очевидно, что оператор реле выбирает путь цикла, и его следующее состояние зависит от его прошлого состояния. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R_{\alpha ,\beta }}$

Математически результат выражается как: ${\displaystyle R_{\alpha ,\beta }}$

${\displaystyle y(x)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}x\geq \beta \\0&{\mbox{ if }}x\leq \alpha \\k&{\mbox{ if }}\alpha <x<\beta \end{cases}}}$

Где если последний раз было за пределами границ , то в районе ; и если последний раз был за пределами границ , то это было в районе России . ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha <x<\beta }$ ${\displaystyle x\leq \alpha }$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha <x<\beta }$ ${\displaystyle x\geq \beta }$

Это определение гистерона показывает, что текущее значение полной петли гистерезиса зависит от истории входной переменной . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Дискретная модель Прейзаха

Модель Прейзаха состоит из множества релейных гистеронов, соединенных параллельно, с заданными весами и суммированными. Это можно представить с помощью блок-схемы:

Каждое из этих реле имеет разные пороговые значения и масштабируется на . С увеличением истинная кривая гистерезиса аппроксимируется лучше. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$

Пример гистерезиса, смоделированного с разным количеством N гистеронов.

В пределе при приближении к бесконечности получаем непрерывную модель Прейзаха. ^{[4] [5]} ${\displaystyle N}$

${\displaystyle y(t)=\iint _{\alpha \geq \beta }\mu (\alpha ,\beta )R_{\alpha \beta }x(t)d\alpha d\beta }$

Самолет Прейзах

Один из самых простых способов взглянуть на модель Прейзаха — использовать геометрическую интерпретацию. Рассмотрим плоскость координат . На этой плоскости каждая точка сопоставлена ​​с определенным гистероном реле . Каждое реле можно нанести на так называемую плоскость Прейзаха со своими значениями. В зависимости от их распределения на плоскости Прейзаха гистероны реле могут с хорошей точностью представлять гистерезис. ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle (\alpha _{i},\beta _{i})}$ ${\displaystyle R_{\alpha _{i},\beta _{i}}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$

Мы рассматриваем только полуплоскость, так как любой другой случай не имеет физического эквивалента в природе. ${\displaystyle \alpha <\beta }$

Далее берем конкретную точку на полуплоскости и строим прямоугольный треугольник, проведя две линии, параллельные осям, обе от точки к линии . ${\displaystyle \alpha =\beta }$

Теперь мы представляем функцию плотности Прейзаха, обозначенную . Эта функция описывает количество релейных гистеронов для каждого отдельного значения . По умолчанию мы говорим, что за пределами прямоугольного треугольника . ${\displaystyle \mu (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle (\alpha _{i},\beta _{i})}$ ${\displaystyle \mu (\alpha ,\beta )=0}$

Представлена ​​модифицированная формулировка классической модели Прейзаха, позволяющая аналитически выразить функцию Эверетта. ^[6] Это делает модель значительно более быстрой и особенно подходящей для включения в коды расчета электромагнитного поля или анализа электрических цепей .

Векторная модель Прейзаха

Векторная модель Прейзаха строится как линейная суперпозиция скалярных моделей. ^[7] Для учета одноосной анизотропии материала функции Эверетта расширяются коэффициентами Фурье . В этом случае измеренные и смоделированные кривые находятся в очень хорошем согласии. ^[8] Другой подход использует различные релейные гистероны, закрытые поверхности, определенные в трехмерном входном пространстве. Обычно сферический гистерон используется для векторного гистерезиса в 3D, ^[9] и круговой гистерон используется для векторного гистерезиса в 2D. ^[10]

Приложения

Модель Прейзаха применялась для моделирования гистерезиса в самых разных областях, в том числе для изучения необратимых изменений гидравлической проводимости почвы в результате засоления и натриевых условий, ^[11] моделирования удержания воды в почве ^{[12] [13] [ 14] [15]} и влияние напряжений и деформаций на конструкции почвы и горных пород. ^[16]

Смотрите также

• Модель Джайлса – Атертона
• Модель Стоунера – Вольфарта

Рекомендации

1. Прейзах, Ф (1935). «Über die Magneticische Nachwirkung». Zeitschrift für Physik . 94 (5–6): 277–302. Бибкод : 1935ZPhy...94..277P. дои : 10.1007/bf01349418. S2CID  122409841.
2. Смит, Ральф К. (2005). Интеллектуальные материальные системы: разработка моделей . Филадельфия, Пенсильвания: SIAM, Общество промышленной и прикладной математики. п. 189. ИСБН 978-0-89871-583-5.
3. Висинтин, Аугусто (1994). Дифференциальные модели гистерезиса . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-11557-2.
4. Майергойз, ID; Фридман, Г. (1988). «Обобщенная модель гистерезиса Прейзаха». Транзакции IEEE по магнетизму . Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE). 24 (1): 212–217. дои : 10.1109/20.43892. ISSN  0018-9464.
5. Майергойз, ID (1991). «Классическая модель гистерезиса Прейзаха». Математические модели гистерезиса . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. стр. 1–63. дои : 10.1007/978-1-4612-3028-1_1. ISBN 978-1-4612-7767-5. S2CID  118969949.
6. Сабо, Жолт (февраль 2006 г.). «Функции Прейзаха, приводящие к проницаемости замкнутой формы». Физика Б: Конденсированное вещество . 372 (1–2): 61–67. Бибкод : 2006PhyB..372...61S. doi :10.1016/j.physb.2005.10.020.
7. Майергойз, ID (2003). Математические модели гистерезиса и их приложения (1-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-12-480873-7.
8. Куцманн, Миклош; Столериу, Лаурентиу. «Анизотропная векторная модель Прейзаха» (pdf) . Журнал перспективных исследований в области физики . 1 (1): 011009 . Проверено 3 августа 2016 г.
9. Карделли, Эрманно; Делла Торре, Эдвард; Фаба, Антонио (2010). «Оператор общего векторного гистерезиса: расширение на трехмерный случай». Транзакции IEEE по магнетизму . 46 (12): 3990–4000. Бибкод : 2010ITM....46.3990C. дои : 10.1109/tmag.2010.2072933. S2CID  31552464.
10. Карделли, Эрманно (2011). «Общий оператор гистерезиса для моделирования векторных полей». Транзакции IEEE по магнетизму . 47 (8): 2056–2067. Бибкод : 2011ITM....47.2056C. дои : 10.1109/tmag.2011.2126589. S2CID  25965526.
11. Крамер, Исаак; Байер, Юваль; Адейемо, Тайво; Мау, Яир (14 апреля 2021 г.). «Гистезис гидравлической проводимости почвы, обусловленный соленостью и натрием - основа моделирования». Гидрология и науки о системе Земли . 25 (4): 1993–2008. doi : 10.5194/hess-25-1993-2021 . ISSN  1027-5606.
12. Флинн, Д; Рассказов О. (01.01.2005). «Об интегрировании ОДУ с производной нелинейности Прейсаха». Физический журнал: серия конференций . 22 : 43–55. дои : 10.1088/1742-6596/22/1/003 . ISSN  1742-6588.
13. Флинн, Денис; Макнамара, Хью; О'Кейн, Филип; Покровскю, Алексей (1 января 2006 г.), Бертотти, Джорджио; Майергойз, Исаак Д. (ред.), «Глава 7 - Применение модели Прейсаха к гистерезису почвы и влаги», The Science of Hysteresis , Oxford: Academic Press, стр. 689–744, doi : 10.1016/b978-012480874- 4/50025-7, ISBN 978-0-12-480874-4, получено 7 февраля 2022 г.
14. О'Кейн, JP; Флинн, Д. (17 января 2007 г.). «Пороги, переключатели и гистерезис в гидрологии от педона до масштаба водосбора: теория нелинейных систем». Гидрология и науки о системе Земли . 11 (1): 443–459. doi : 10.5194/hess-11-443-2007 . ISSN  1027-5606.
15. Макнамара, Х. (январь 2014 г.). «Оценка рассеяния энергии из-за гистерезиса влажности почвы». Исследования водных ресурсов . 50 (1): 725–735. дои : 10.1002/2012wr012634. ISSN  0043-1397. S2CID  129547567.
16. Гайер, Роберт А. (1 января 2006 г.), Бертотти, Джорджио; Майергойз, Исаак Д. (ред.), «Глава 6 - Гистерезисные упругие системы: геофизические материалы», Наука гистерезиса , Оксфорд: Academic Press, стр. 555–688, номер документа : 10.1016/b978-012480874-4/50024- 5, ISBN 978-0-12-480874-4, получено 7 февраля 2022 г.

Внешние ссылки

• Университетский колледж, Учебное пособие по пробковому гистерезису
• Будапештский университет технологии и экономики, Венгрия. Реализация в Matlab модели Прейзаха, разработанной Зс. Сабо.
• [1] Реализация модели Прейзаха на Python.
• [2] Реализация модели Прейзаха в Matlab.