Модель Су – Шриффера – Хигера

Простая модель топологического изолятора

Транс -полиацетилен

В физике конденсированного состояния модель Су–Шриффера–Хигера ( SSH ) или цепь SSH представляет собой одномерную решетчатую модель, которая представляет топологические особенности . ^[1] Она была разработана Ву-Пей Су, Джоном Робертом Шриффером и Аланом Дж. Хигером в 1979 году для описания увеличения электропроводности полимерной цепи полиацетилена при легировании на основе существования солитонных дефектов. ^{[2] [3]} Это квантово-механический подход сильной связи , который описывает прыжки бесспиновых электронов в цепи с двумя чередующимися типами связей. ^[1] Электроны в данном месте могут прыгать только в соседние места. ^[1]

В зависимости от соотношения между энергиями прыжка двух возможных связей система может находиться либо в металлической фазе (проводящей), либо в изолирующей фазе . Конечная цепь SSH может вести себя как топологический изолятор , в зависимости от граничных условий на краях цепи. Для конечной цепи существует изолирующая фаза, которая топологически нетривиальна и допускает существование краевых состояний, локализованных на границах. ^[1]

Описание

Модель описывает полузаполненную одномерную решетку с двумя узлами на элементарную ячейку, A и B , которые соответствуют одному электрону на элементарную ячейку. В этой конфигурации каждый электрон может либо перепрыгнуть внутрь элементарной ячейки, либо перепрыгнуть в соседнюю ячейку через ближайшие соседние узлы. Как и в любой одномерной модели с двумя узлами на ячейку, в дисперсионном соотношении будут две зоны (обычно называемые оптическими и акустическими зонами). Если зоны не соприкасаются, то существует запрещенная зона. Если щель лежит на уровне Ферми , то система считается изолятором .

Гамильтониан сильной связи в цепочке с N узлами можно записать как ^[1]

${\displaystyle H=v\sum _{n=1}^{N}|n,B\rangle \langle n,A|+w\sum _{n=1}^{N}|n+1,A\rangle \langle n,B|+\mathrm {h.c.} }$

где hc обозначает эрмитово сопряжение , v — энергия, необходимая для прыжка из узла A в B внутри элементарной ячейки, а w — энергия, необходимая для прыжка между элементарными ячейками. Здесь энергия Ферми зафиксирована на нулевом уровне.

Массовое решение

Эскиз зонной структуры топологического изолятора (как в объемной цепи SSH). Уровень Ферми попадает в объемную запрещенную зону.

Дисперсионное соотношение для объема может быть получено с помощью преобразования Фурье . Принимая периодические граничные условия , где , мы переходим в k -пространство, делая ${\displaystyle |N+1,X\rangle =|1,X\rangle }$ ${\displaystyle X=A,B}$

${\displaystyle |n,X\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k}e^{ikn}|k,X\rangle }$,

что приводит к следующему гамильтониану

${\displaystyle H=\sum _{k}(v+e^{ik}w)|k,A\rangle \langle k,B|+{\text{h.c.}}=\sum _{k}H(k)|k\rangle \langle k|,}$

${\displaystyle H(k)={\begin{pmatrix}0&v+e^{ik}w\\v+e^{-ik}w&0\end{pmatrix}}}$

где собственные энергии легко вычисляются как

${\displaystyle E_{vw}=\pm {\sqrt {v^{2}+w^{2}+2vw\cos k}},}$

и соответствующие собственные состояния

${\displaystyle |k,\pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\pm e^{i\phi _{k}}|k,A\rangle +|k,B\rangle \right),}$

где

${\displaystyle \tan \phi _{k}={\frac {w\sin k}{v+w\cos k}}.}$

Собственные энергии симметричны при замене , а дисперсионное соотношение в основном щелевое (изолятор), за исключением случая (металл). Анализируя энергии, можно сделать вывод, что проблема, по-видимому, симметрична относительно , ​​имеет ту же дисперсию, что и . Тем не менее, не все свойства системы симметричны, например, собственные векторы сильно различаются при замене . Например, можно показать, что связь Берри ${\displaystyle v\leftrightarrow w}$ ${\displaystyle v=w}$ ${\displaystyle v=w}$ ${\displaystyle v>w}$ ${\displaystyle v<w}$ ${\displaystyle v\leftrightarrow w}$

${\displaystyle A_{-}(k)=i\left\langle k,-\left|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\right|k,-\right\rangle =-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} \phi _{k}}{\mathrm {d} k}},}$

интегрирование по зоне Бриллюэна дает различные числа витков : ^[1] ${\displaystyle k\in \{-\pi ,\pi \}}$

${\displaystyle g=-{\frac {1}{\pi }}\int _{\rm {BZ}}A_{-}(k)\mathrm {d} k=\left\{{\begin{matrix}0&v>w\\{\text{undefined}}&v=w\\1&v<w\end{matrix}}\right.,}$

показывая, что две изолирующие фазы, и , топологически различны (небольшие изменения v и w изменяются , но не по зоне Бриллюэна). Число витков остается неопределенным для металлического случая . Это различие в топологии означает, что нельзя перейти от изолирующей фазы к другой, не закрыв зазор (проходя мимо металлической фазы). Это явление называется топологическим фазовым переходом. ^[1] ${\displaystyle v>w}$ ${\displaystyle v<w}$ ${\displaystyle A_{-}(k)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle v=w}$

Решение конечной цепи и краевые состояния

Физические последствия наличия разного числа витков становятся более очевидными для конечной цепи с четным числом узлов решетки. Гораздо сложнее аналитически диагонализировать гамильтониан в конечном случае из-за отсутствия трансляционной симметрии. ^[1] ${\displaystyle N}$

Димеризованные случаи

Существуют два предельных случая для конечной цепи, либо , либо . В обоих этих случаях цепь, очевидно, является изолятором, поскольку цепь разбита на димеры (димеризована). Однако один из двух случаев будет состоять из димеров, в то время как другой случай будет состоять из димеров и двух неспаренных участков на краях цепи. В последнем случае, поскольку нет внутренней энергии, если электрон оказывается на любом из двух краевых участков, его энергия будет равна нулю. Таким образом, либо случай , либо случай обязательно будет иметь два собственных состояния с нулевой энергией, в то время как другой случай не будет иметь собственных состояний с нулевой энергией. В отличие от объемного случая, два предельных случая не симметричны в своем спектре. ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle N/2}$ ${\displaystyle (N-2)/2}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle w=0}$

Промежуточные значения

Построив график собственных состояний конечной цепи как функции положения, можно показать, что существуют два различных типа состояний. Для ненулевых собственных энергий соответствующие волновые функции будут делокализованы по всей цепи, в то время как собственные состояния с нулевой энергией будут изображать локализованные амплитуды на краевых участках. Последние называются краевыми состояниями. Даже если собственные энергии лежат в зазоре, краевые состояния локализованы и соответствуют изолирующей фазе.

При построении спектра как функции для фиксированного значения , спектр делится на две изолирующие области, разделенные металлическим пересечением в . Спектр будет иметь щели в обеих изолирующих областях, но одна из областей будет показывать собственные состояния с нулевой энергией, а другая — нет, что соответствует случаям димеризации. Наличие краевых состояний в одной области и их отсутствие в другой демонстрирует разницу между изолирующими фазами, и именно этот резкий переход в соответствует топологическому фазовому переходу. ^[1] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w=v}$ ${\displaystyle w=v}$

Соответствие между конечными и объемными решениями

Случай с объемом позволяет предсказать, какая изолирующая область будет представлять краевые состояния, в зависимости от значения числа обмоток в случае с объемом. Для области, где число обмоток находится в объеме, соответствующая конечная цепь с четным числом узлов будет представлять краевые состояния, в то время как для области, где число обмоток находится в объеме, соответствующая конечная цепь не будет. Это соотношение между числами обмоток в объеме и краевыми состояниями в конечной цепи называется соответствием объем-край . ^[1] ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle g=0}$

Смотрите также

• Китаевская цепь
• переход Пайерлса

Ссылки

1. Батра, Навкетан; Лист, Гаутам (2020). «Физика с кофе и пончиками: понимание физики топологических изоляторов через модель Су-Шриффера-Хигера». Resonance . 25 (6): 765–786. arXiv : 1906.08435 . doi : 10.1007/s12045-020-0995-x. ISSN  0971-8044. S2CID  225802659.
2. Мейер, Эрик Дж.; Ан, Фанчжао Алекс; Гэдвэй, Брайс (2016-12-23). ​​«Наблюдение за топологическим солитонным состоянием в модели Су–Шриффера–Хигера». Nature Communications . 7 (1): 13986. arXiv : 1607.02811 . Bibcode :2016NatCo...713986M. doi :10.1038/ncomms13986. ISSN  2041-1723. PMC 5196433 . PMID  28008924. 
3. Su, WP; Schrieffer, JR; Heeger, AJ (1979-06-18). «Солитоны в полиацетилене». Physical Review Letters . 42 (25): 1698–1701. Bibcode : 1979PhRvL..42.1698S. doi : 10.1103/PhysRevLett.42.1698. ISSN  0031-9007.