Модель Харди–Помо–Пацциса (HPP) является фундаментальным решеточным газовым автоматом для моделирования газов и жидкостей. Она была предшественником методов решеточного Больцмана . Из решеточных газовых автоматов можно вывести макроскопические уравнения Навье-Стокса . [1] Интерес к методам решеточных газовых автоматов выровнялся в начале 1990-х годов из-за растущего интереса к методам решеточного Больцмана. [2]
Впервые она была представлена в работах, опубликованных в 1973 и 1976 годах Жаном Харди, Ивом Помо и Оливье де Пацци, [3] чьи инициалы дали название модели. Модель может быть использована как простая модель для движения как газов, так и жидкости. [4]
Модель
В этой модели решетка принимает форму двумерной квадратной сетки, в которой частицы способны перемещаться в любую из четырех соседних точек сетки, имеющих общее ребро, а частицы не могут перемещаться по диагонали. Это означает, что каждая точка сетки может иметь только одно из шестнадцати возможных взаимодействий.
Частицы существуют только в узлах сетки, а не на краях или поверхности решетки.
Каждая частица имеет соответствующее направление (от одной точки сетки к другой, непосредственно соседней точке сетки).
Каждая ячейка решётки может содержать максимум одну частицу для каждого направления, т.е. содержать в общей сложности от нуля до четырёх частиц.
Модель также регулируется следующими правилами:
Отдельная частица движется в фиксированном направлении до тех пор, пока не столкнется с ней.
Две частицы, столкнувшиеся лоб в лоб, отклоняются перпендикулярно.
Две частицы сталкиваются не лоб в лоб, а просто проходят друг сквозь друга и продолжают движение в одном направлении.
При столкновении частицы с краями решетки она может также отскочить.
Процесс обновления моделей ГЭС состоит из двух этапов.
Шаг столкновения
На этом этапе проверяются и применяются вышеуказанные правила 2., 3. и 4., если произошли какие-либо столкновения. Это приводит к тому, что частицы, столкнувшиеся лоб в лоб, меняют направление, столкновения через проход остаются неизменными, а не столкнувшиеся частицы просто остаются прежними.
Транспортная ступенька
На втором этапе каждая частица перемещается на один шаг решетки в направлении, в котором она движется в данный момент, и которое могло быть изменено в результате описанного выше этапа столкновения.
Формальное определение
Модель работает на бесконечной двумерной квадратной решетке, где четыре единичных вектора связаны со следующими числами: . [5]
Пусть — допустимая конфигурация. Функция проверяет существование частицы с определенной скоростью, а делает обратное:
[5]
[5]
Последующую конфигурацию можно рассчитать, используя формулы из оригинальной статьи [5] :
Недостатки
Модель имеет серьезные недостатки, поскольку импульс всегда сохраняется как в горизонтальной, так и в вертикальной полосе. Никакая энергия никогда не удаляется из модели, ни столкновениями, ни движением, поэтому она будет продолжаться бесконечно.
Модель HPP не обладала вращательной инвариантностью , что делало ее высокоанизотропной . Это означает, например, что вихри, создаваемые моделью HPP, имеют квадратную форму. [6]
Примечания
^ Суччи, раздел 2.3 описывает процесс
^ Суччи, раздел 2.6
^ Ротман, Дэниел Х.; Залески, Стипейн, ред. (1997), "Простая модель механики жидкости", Клеточные автоматы на решеточном газе: Простые модели сложной гидродинамики , Коллекция Алеа-Сакле: Монографии и тексты по статистической физике, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 1–11, doi : 10.1017/CBO9780511524714.002, ISBN 978-0-521-60760-5, получено 2022-08-24
^ Гершенфельд, стр. 103
^ abcd Харди, Дж.; Помо, И.; де Паццис, О. (1973-07-30). «Временная эволюция двумерной классической решеточной системы». Physical Review Letters . 31 (5): 276–279. doi :10.1103/PhysRevLett.31.276.
^ Суччи, сноска на стр. 22
Ссылки
Sauro Succi (2001). Уравнение решеточного Больцмана для динамики жидкости и не только . Oxford Science Publications. ISBN 0-19-850398-9.(Глава 2 о клеточных автоматах на основе решетчатого газа)
Нил Гершенфельд (1998). Природа математического моделирования . Cambridge University Press. ISBN 978-0521570954.