Материал Кельвина-Фойгта

Модель вязкоупругого материала

Материал Кельвина -Фойгта , также называемый материалом Фойгта , является наиболее простой моделью вязкоупругого материала, демонстрирующего типичные резиноподобные свойства. Он является чисто эластичным в длительных временных масштабах (медленная деформация), но проявляет дополнительное сопротивление быстрой деформации. Модель была разработана независимо британским физиком лордом Кельвином ^[1] в 1865 году и немецким физиком Вольдемаром Фойгтом ^[2] в 1890 году. ^[3]

Определение

Схематическое изображение модели Кельвина–Фойгта.

Модель Кельвина–Фойгта, также называемая моделью Фойгта, представлена ​​чисто вязким демпфером и чисто упругой пружиной, соединенными параллельно, как показано на рисунке.

Если же мы соединим эти два элемента последовательно, то получим модель материала Максвелла .

Поскольку два компонента модели расположены параллельно, деформации в каждом компоненте идентичны:

${\displaystyle \varepsilon _{\text{Total}}=\varepsilon _{\rm {S}}=\varepsilon _{\rm {D}}.}$

где индекс D указывает на напряжение-деформацию в демпфере, а индекс S указывает на напряжение-деформацию в пружине. Аналогично, общее напряжение будет суммой напряжений в каждом компоненте: ^[4]

${\displaystyle \sigma _{\text{Total}}=\sigma _{\rm {S}}+\sigma _{\rm {D}}.}$

Из этих уравнений следует, что в материале Кельвина-Фойгта напряжение σ , деформация ε и скорости их изменения по времени t определяются уравнениями вида:

${\displaystyle \sigma (t)=E\varepsilon (t)+\eta {\frac {d\varepsilon (t)}{dt}},}$

или, в точечной нотации:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon +\eta {\dot {\varepsilon }},}$

где E — модуль упругости , а — вязкость . Уравнение можно применять как к сдвиговому напряжению , так и к нормальному напряжению материала. ${\displaystyle \eta }$

Эффект внезапного стресса

Зависимость безразмерной деформации от безразмерного времени при постоянном напряжении

Если мы внезапно приложим некоторое постоянное напряжение к материалу Кельвина-Фойгта, то деформации будут приближаться к деформации для чистого упругого материала, причем разница будет затухать экспоненциально: ^[4] ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}/E}$

${\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma _{0}}{E}}(1-e^{-t/\tau _{R}}),}$

где t — время, а — время замедления . ${\displaystyle \tau _{R}={\frac {\eta }{E}}}$

Если бы мы освободили материал в момент времени , то упругий элемент затормозил бы материал до тех пор, пока деформация не станет нулевой. Затормаживание подчиняется следующему уравнению: ${\displaystyle t_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon (t>t_{1})=\varepsilon (t_{1})e^{-(t-t_{1})/\tau _{R}}.}$

На рисунке показана зависимость безразмерной деформации от безразмерного времени . На рисунке напряжение в материале прикладывается в момент времени и снимается в более позднее безразмерное время . ${\displaystyle {\frac {E\varepsilon (t)}{\sigma _{0}}}}$ ${\displaystyle t/\tau _{R}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t_{1}^{*}=t_{1}/\tau _{R}}$

Поскольку все деформации обратимы (хотя и не мгновенно), материал Кельвина-Фойгта является твердым телом .

Модель Фойгта предсказывает ползучесть более реалистично, чем модель Максвелла, поскольку в бесконечном временном пределе деформация приближается к константе:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\varepsilon ={\frac {\sigma _{0}}{E}},}$

в то время как модель Максвелла предсказывает линейную зависимость между деформацией и временем, что чаще всего не соответствует действительности. Хотя модель Кельвина–Фойгта эффективна для прогнозирования ползучести, она не очень хороша для описания поведения релаксации после снятия нагрузки напряжения.

Динамический модуль

Комплексный динамический модуль материала Кельвина-Фойгта определяется по формуле:

${\displaystyle E^{\star }(\omega )=E_{0}(1+i\omega \tau ).}$

Таким образом, действительная и мнимая составляющие динамического модуля называются модулем накопления и соответственно: ${\displaystyle E^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime \prime }}$

${\displaystyle E^{\prime }=\Re [E^{\star }(\omega )],}$

${\displaystyle E^{\prime \prime }=\Im [E^{\star }(\omega )]=E_{0}\omega \tau .}$

Обратите внимание, что является константой, в то время как прямо пропорциональна частоте (где временная шкала является константой пропорциональности). Часто эта константа, умноженная на угловую частоту, называется модулем потерь . ${\displaystyle E^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \eta =\omega \tau }$

Ссылки

1. "IV. Об упругости и вязкости металлов". Труды Лондонского королевского общества . 14 : 289–297. 1865-12-31. doi :10.1098/rspl.1865.0052. ISSN  0370-1662.
2. Фойгт, Вольдемар (1890). «Ueber die Internale Reibung der festen Körper, insbesondere der Krystalle». Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft von Wissenschaften zu Göttingen (на немецком языке). 36 : 3–47.
3. Раджагопал, КР (2009). «Заметка о переоценке и обобщении модели Кельвина–Фойгта». Mechanics Research Communications . 36 (2): 232–235. doi :10.1016/j.mechrescom.2008.09.005.
4. Мейерс, Марк Андре; Чавла, Кришан Кумар (1999). "Раздел 13.11". Механическое поведение материалов. Cambridge University Press. стр. 570–580. ISBN 978-1-107-39418-6.

Смотрите также

• Материал для бургеров
• Обобщенная модель Максвелла
• Максвелл материал
• Стандартная линейная твердотельная модель